第2講 三角函數(shù)(教師版)

2第二講角函2【識理一、內(nèi)容提示：1．y=sinx，x∈R和y=cosxx∈R的圖象，分別叫做正弦曲線和余弦曲線．2.三角函數(shù)的基本內(nèi)容）y=sinx和y=cosx的性質(zhì)：y=sinx

y=cosx五點法5個特殊點

(0,0)(2(2

3,1)((2

,-1)

(0,1)(2(2

3,0)((2

,0)定義域

x∈R

x∈R值域

［－1，1］

［－1，1］最大值最小值周期性奇偶性單調(diào)性（增）減

當(dāng)且僅當(dāng)x＝＋2kπk∈取得最大值1當(dāng)且僅當(dāng)x＝－＋2kπk∈取得最小值－12kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期最小正周期是2π奇（正弦曲線圖象關(guān)于原點O對稱）在每一個閉區(qū)［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到3在每一個閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－

當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z，取得最大值1當(dāng)且僅當(dāng)x＝(2k＋1)πk∈取得最小值－12kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π偶（余弦曲線關(guān)于y軸對稱）在每一個閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)其值從－增加到1在每一個閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1（2）正切函數(shù)的性質(zhì)：1定義域：

xz

2值域：R3周期性：

T4)．奇偶性：tan數(shù)

xxx3xxx35)．單調(diào)性：在開區(qū)內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增3.三角函數(shù)圖像問題：（1）y＝Asin(ωx：其中表示一個振動量時，A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常稱為這個振動的振幅；往復(fù)一次所需的時間T

，稱為這個振動的周期；單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)

，稱為振動的頻率相位；時的相T

稱為初相（2）三角函數(shù)變換：1）sinyA：y=Asinx，x且A圖象可看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的倍得到的它的值域[-A,A]，最大值是A,最小值是-A，若A<0可先作y=-Asinx的圖象，再以x軸為對稱軸翻折A

稱為振幅，這一變換稱為振幅變換2）sinxy

x：函數(shù)y=sinωx,x(ω>0且ω圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標(biāo)縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來倍（縱坐標(biāo)不變ω<0則可用誘導(dǎo)公式將符號“提出”再作圖ω決定了函數(shù)的周期，這一變換稱周期變換3）yx

)：函數(shù)y＝sin(x

)，x∈R(其

≠0)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點向左(0時)或向右(0時)平行移動個單位長度而得到(用平移法注意講清方向加左減右”)y＝sin(x與y＝sinx的圖象只是在平面直角坐標(biāo)系中的相對位置不一樣，這一變換稱為相位變換【型題【例1】求函＝sinπ的單調(diào)增區(qū)間解：將原函數(shù)變形為y－sinπ因此只需求sinπ＝y(tǒng)的減區(qū)間即可∵ｕ＝π為增函數(shù)∴只需求sinｕ的遞減區(qū)間∴2k＋≤π≤2π＋22解之得：4k+2≤≤4+4(k∈∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［k＋，4k＋］(∈Z)

y＝－2sin2x－·【例2】0≤≤條件下，求＝cos2x－sincosx－2x的最大值和最小值y＝－2sin2x－·解：利用二倍角余弦公式的變形公式，有1cosx＝2(cos2x－sin2)－1＝2(cos2cos

－sin2xsin)－14＝2cos(2＋)－1∵0≤x≤，≤2x＋≤4443cos(2x＋)在［0，）上是減函數(shù)8故當(dāng)x＝時有最大值

當(dāng)x＝

8

時有最小值－13cos(2x＋)在［，］上是增函數(shù)82故當(dāng)x＝

8

時，有最小值－1當(dāng)x＝時，有最大值－

綜上所述，當(dāng)x0時，y＝1max當(dāng)x＝

8

時，y＝－22－1min

步高校—生成主【例3】求函＝cos

2－3sinx最大值解：y＝cos

2x－3sin＝－sin

2x－3sinx＋＝－(sinx＋)

2

＋

∵－1≤sinx≤，∴當(dāng)sinx＝－1時，y＝3max說明：解此題易忽視sinx∈［－，］這一范圍，認(rèn)為sinx＝－時，y有最大值，造成誤解2．注意條件中角的范圍【堂習(xí)1、求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么1sin2x，x∈R2y=sin(3x+)-12下列三角函數(shù)的周期y=sin(x+)2+)3y=|sinx|23、不通過求值，指出下列各式大于0還是小于(1)sin(－

)－sin(－

)；(2)sin(－)(－)．44、函數(shù)y=ksinx+b的最大值為2,最小值為-4，求k,b的值5、求函數(shù)y＝sin

π的單調(diào)增區(qū)間6、求函數(shù)y＝sin

2x＋cosx＋a－(0≤x≤)的最大值27、畫出函數(shù)y＝sin(＋)，x∈R，＝sin(－)，x∈R簡圖8若將某函數(shù)的圖象向右平移以后所得到的圖象的函數(shù)式是y＝sin(x)，則原來的函數(shù)表達(dá)式為()Ay＝sin(x＋)By＝sin(x＋)Cy＝sin(x－)Dy＝sin(x＋)－49、函數(shù)y＝＋()

的圖象，可由y＝sinx圖象經(jīng)過下述哪種變換而得到A向右平移

個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍4/6

步高?！芍?B向左平移個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍1C向右平移個單位，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮小到原來的倍311D向左平移個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)縮小到原來的倍310知函數(shù)y＝Asin(x同一周期內(nèi)x＝時函數(shù)取得最大值2，當(dāng)x＝時函數(shù)取得最小值－2，則該函數(shù)的解析式為()Ay＝2sin(3x－)By＝2sin(3x＋)Cy＝2sin(

xx＋)Dy＝2sin(－)3611．函數(shù)

sin(2

是上的偶函數(shù)，則的值是（）A．

B．

C.

D.

12數(shù)

)3

的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2坐標(biāo)不變再將所得的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應(yīng)的僻析式是（）3A．

1

B．

1x

)

C.

1x)

D.

sin(2

)2

2

2

2

613．在函數(shù)ysin、ysin、ysin(2x正周期函數(shù)的個數(shù)為（）A．B．個C個D個

2

)、ycos(2x)中，最小14．若函數(shù)(x)kx

)最小正周期

T

滿足

1

,則自然k的為______.15．滿sinx

的的集合為________________________