第三講 不等式與線性規(guī)劃

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不等式與線性規(guī)劃一、選擇題1．沈陽質(zhì)監(jiān))已xR，則“－3x＞”是“x－4＞0”的()A．充分必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：注意到x

－3x＞0?x＜或x＞3，－＞0＞4.

－3x＞0不能得出x－4＞0；反過來，x－4＞0可得出x－x＞0，因“x－3x＞0”是“－4＞0”的必要不充分條件，選B.答案：B2．大慶質(zhì)檢)若ab＜0，則下列不等式不能成立的是()11＞B.＞a－bC．|a＞|bD．＞解析：由a＜b0，可用特值法加以驗證，1取a＝－2，＝－1，則＞不成立，選a－b答案：Ay≤x3．廣東卷)若變量，滿足約束條件≤1，y≥－1最大值和最小值分別為和n，則－n＝()A．8B．7C．6D．5

，且z＝2＋的解析：作出可行域(如圖中陰影部分所示)后，結(jié)合目標函數(shù)可知，當(dāng)直線－1＝－2x＋經(jīng)過點A的值最大?y＝1－1

＝＝×2max－1－1－1＝3.當(dāng)直線＝－2x＋經(jīng)過點時，z值最小，由?x－1則n＝＝×(－1)－1＝－3，故－n＝6.min答案：C

，≤

2，4平面直角坐標系的區(qū)D由不等式組，x≤

給定

1＋x1231＋x12331313x1313→→(x，y為D上的動點，點A的坐標為2，則z＝·OA的最大值為)A．42B．3C．4D．3→→解析：z＝OM＝，，1)＝＋.≤

2，由，x≤2

畫出可行域，如圖陰影部分所示．作直線l：y＝－，由圖知，0當(dāng)平移直線l至l的位置時，01z得最大值，此時l過點(2，2)，1故z＝×＋＝4.max答案：C5云南第一次檢測)已知f()＝()

，x＜0，＞0

則f(x≥－的解集是－＋∞)B.－(0,4]C.，＋∞)D.，1＋解析：當(dāng)x＜0時，()－2，即≥－2，可轉(zhuǎn)化為1＋x≤－2，得1－；x＞0，f()≥－2，logx≥－2，可轉(zhuǎn)化log≥4解02＜x≤4.綜上可知不等式的解集為－答案：B6(2014·重慶卷已知△ABC的內(nèi)滿足A＋－B＋)＝C

2222228222322286464212222228222322286464212x2xxab1120ababab1－A－＋，面積滿足1≤≤2，記a，b，分別為A，，C所對的邊，則下列不等式一定成立的是()A．(b＋cB．(a＋b2C．6≤≤12D．12≤abc≤241解析為A＋＋C＝sin2＋sin(－B＋)＝C－A－B)＋得11＋sin2B＋＝即A＋)＋(A－B)]＋sin[(＋B)－－B)]＋＝，1整理得2sinCcos(A－)＋2sinC＝C[cos(A－)－cos(＋B)]＝整理得1111C＝，即ABsin又＝ab＝bcA，因此111S＝bcAsinsin＝c.1≤S≤2得≤ac≤2，8≤≤162選項C不一定成立＋ca>0bc(b＋)>bca，即b＋c)>8選項A一定成立又＋b>>0因此ab(a＋b)>abc≥8即(＋b，顯然不能得出(a＋b，選項B一定成立．綜上所述，選A.答案：A二、填空題x7．合肥質(zhì)檢)若于任意＞0，≤a成立，則a的取值范x＋3x＋1圍是__________x1解析：＝，因為＞0，所以x＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取x＋3x＋13＋x＋11x11等號),則≤＝，即的最大值為，故a≥.13＋25＋3＋153＋x＋答案：a≥

15y≤x，8．湖南卷)若變量，滿足約束條件≤4，y≥k，小值為－6則＝

且z＝2＋的最解析：畫出可行域圖略，由題意可知不等式組表示的區(qū)域為一三角形，平移參照直線＋＝0，可知在點，)＝2＋y取得最小值，故z＝＋kmin＝－6，解得＝－2.答案：－29(2014·山西診斷已知a都是正實數(shù)數(shù)＝2a＋b圖象過點(，11則＋的最小值是__________．解析：依題意得2a＋＝2a＋b1，＋＝a＋b＝3＋＋

aba2ab22222222xxxx－4x4x42aba2ab22222222xxxx－4x4x42xxxxxxxx212＋2

b2aba×＝＋，當(dāng)且僅當(dāng)＝，＝－＝－時取等號，因11此＋的最小值是322.答案：3＋22三、解答題lg2x10黃州月考已知函數(shù)(x＝的定義域為A9－求A；若B＝{x|x

－2x＋1－k

≥0}，且A∩≠?，求實數(shù)k的取值范圍．－2x＞0，解：由x＞0

解得－＜x02＜x＜3，∴A＝(－3,0)∪．－2x＋1－k≥0，∴當(dāng)k≥0時，x≤1－k或≥1＋k，當(dāng)k＜0，x≤1＋k或≥1－k，00，∵A∩≠?，∴或≥－3k≤30，或或≥－3k≤3，

∴k∈[4,4]．11資陽二診設(shè)函數(shù)f(x＝(4＋＋axa∈R：4若函數(shù)f()是定義在R上的偶函數(shù)，求的值；若不等式f()＋(－)≥mt＋對任意x∈Rt∈[2,1]恒成立，求實的取值范圍．解：由函數(shù)f()是定義在R上的偶函數(shù)，則f(x＝f(－x恒成立，即(4＋＋＝log－＋1)ax，444＋1所以2ax＝＝log＝－x，4＋1所以(2a1)x＝0恒成立，1則2a1＝0，故a＝－.f()f(－)log＋1)＋axlog(4＋1)－ax＝log(4log＋44441)(4＋1)·(4＋1)＝log(2＋44)≥＋24×4)＝1.444所以mt＋m≤1對任意∈[－2,1]恒成，令ht)＝mt＋m，≤，由，

1解得－≤≤，故實數(shù)m的取值范圍是12(2014·南通二調(diào)為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃單位：毫克/立方米)隨著時

8－128－128－－1濃度(xx8－2間x單位：天)化的函數(shù)關(guān)系式近似為

y＝

16－0≤x≤4，，4＜x≤10.

若多次噴灑某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用．若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達幾天？若第一次噴灑2單位的凈化劑天后再噴a(1≤a≤4)個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化求a的最小值精確到0.1考數(shù)據(jù)：2取．解：因為一次噴灑4單位的凈化劑，－，0≤≤4，所以濃度f(x＝4y＝－2x，＜≤10.則當(dāng)0≤≤4，由

64－≥4，8－解得0≤≤8所以此時0≤≤4.當(dāng)4＜x≤時，由－2x≥，解得x≤8，所以此時＜≤8.綜合得0≤≤8一次投放個單位的凈化劑有效凈化時間可達8天設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)