吉林省梅河口市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

數(shù)學(xué)

一、選擇題

|2021

Z=----

1.已知復(fù)數(shù)1+方（i是虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡復(fù)數(shù)z即可.

2021

i=i=i(l-2i)=2+i=2|l.

【詳解】l+2i-l+2i-(l+2i)(l-2i)-^-_5+51

.?.對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（I，..在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.

故選：A.

kit7t

2.己知集合知=《》％=------，左eZ\,=〈xx=-----1-—,keZ>,則（）

424

A.M=NB.MqN

C.N=MD.

【答案】C

【解析】

【分析】化簡集合M與N,可知N中的元素都在M中，即得.

k7l7t［I僅一2)萬

［詳解］因?yàn)镸%=丁_=Z,

I472rJ(|4

Jk7l711J(2:+1)-

N=4xx=---1——,KGZ>=<xx=------------,kGZ>,

244

當(dāng)AeZ時(shí)，％—2為整數(shù)，2Z+1為奇數(shù),

所以

故選：C.

3.已知COS6=—22叵，且與兀），貝ijtan26=（）.

【答案】B

【解析】

【分析】由Sin8=Jl—cos??？汕髎in。,由二可求lan。，再由正切二倍角公式可求tan2夕

cos夕

【詳解】,:cos6=一空,且Oejg,兀

5I，

故選：B.

4.已知圓C:(x—1尸+(丁一3)2=2,若點(diǎn)P在圓。上，并且點(diǎn)尸到直線y=x+l的距離為立，則滿足

2

條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由題可得圓心。(1,3)直線y=x+l的距離為半，進(jìn)而即得.

【詳解】由。：。一1)2+"-3)2=2可知圓心。(1,3),半徑為0,

又圓心C(l,3)直線y=x+l的距離為小詈i=立,

2

所以與直線y=x+i平行且距離為也的直線一條過圓。的圓心，另一條與圓相切,

2

所以滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

5.已知定義在R上的函數(shù)/(x)在(f,3］上單調(diào)遞增，且/(x+3)為偶函數(shù)，則不等式

〃x+l)>/(2x)的解集為()

A.B.(一8,1)。(|,+8)

C.(-00,1)D.(1,+<?)

【答案】B

【解析】

【分析】由可得函數(shù)/(x)關(guān)于x=3對稱，/(x)在［3,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得卜+1-3|<|2x—3|,

即得.

【詳解】?；/(x+3)為偶函數(shù)，

/(-x+3)=/(x+3),即函數(shù)/(x)關(guān)于x=3對稱，

又函數(shù)“X)在(TO,3］上單調(diào)遞增，

?.函數(shù)/(x)在［3,+<?)上單調(diào)遞減，

由〃x+l)>/(2x),可得(+1—3k|2x-3|,

整理得，3f_8x+5>0，

解得X<1或X>g.

故選：B.

6.在正方體A3CQ-AqGA中，AB=2,E為棱8瓦的中點(diǎn)，則平面AE2截正方體ABC。-AMGA

的截面面積為()

579

A.-B.-C.4D.一

222

【答案】D

【解析】

【分析】先作出平面AE。截正方體ABC。-A4G。的截面，再求出截面的高，由梯形面積公式得出截面

面積.

【詳解】取B￡的中點(diǎn)為M,連接EM,MD,,則EM//BCt，且EM=gBCt,則EM//AD,.又正

方體中，AB=2，所以MD】=AE=亞4=下,BC1二g=2日因此EM=gBG=J^,所

以平面AER截正方體ABCQ-aqq。所得的截面為等腰梯形A,因此該等腰梯形的高為

/二加/—產(chǎn)丁例］=舊［=乎，所以該截面的面積為S=g(AA+EM>〃=?.

7.已知斜率為2的直線/與雙曲線。：二-馬=13>0,>>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且48的中點(diǎn)是M(2,l),

ab

則。的漸近線方程是()

A.y=±xB.y=+y［3xC.y=±2xD.y=+y/5x

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，聯(lián)立方程，表示出中點(diǎn)與斜率的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線方程

【詳解】設(shè)A8兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(%,y),

->222

則有：5一4=1,與一冬=1

a2b2a2b2

兩式相減，可得：工乜=q.21二&

22

由直線/的斜率為2,且中點(diǎn)”(2,1),可得：a=h

故。的漸近線方程為：y=±x

故選：A

8.已知函數(shù)/(x)=cos(8—7")(0>0)，若在上沒有零點(diǎn)，則①的取值范圍是

()

_28

B_--

39D.

【答案】A

【解析】

CD7C5、,71

------------71>K7T-------

37r7T71262

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得乙-々<2,，進(jìn)而即得.

226930)汽5,771

--------—

I262

【詳解】：乃)(①在713兀

/(x)=cos(s-:>0)上沒有零點(diǎn),

2'2

乃兀

—3——?,T—='71

222G

0<ty<L

713萬,5(07153①兀5、

由xe5,可得5——71G71、——71

7T626-----26)

keZ，又0<。41,

3(071

——7l<k7T+—

62

0<<y<一或一《?！兑?

939

2

28

0-

即0的取值范圍是99

3'9

故選：A.

9.若a,b,。均為正數(shù)，且c(a+0+c)+"=8,則a+Z?+2c的最小值為()

A2及B.4C.4及D.80

【答案】C

【解析】

【分析】將式子變形得到：(a+c)(O+c)=8,再由均值不等式得到

a+h+2c=a+c+b+c>2^(a+c)(/?+c)=4夜.

【詳解】a,b,。均為正數(shù)，且c(a+0+c)+"=8,

將式子變形得到公>+bc+曲+/=8=(a+c)僅+c)=8

根據(jù)均值不等式得至！J：a+h+2c=a+c+b+c>2y\^a+c^(b+c^=4A/2

等號成立的條件為：a+c=b+c^>a=b

故選：c.

2y1

10.已知橢圓c：j+=l(a>〃>0)的左、右焦點(diǎn)分別為"，K，點(diǎn)「是C上的一點(diǎn)，

aF

14-

tan/P耳工=],tanZ^P/^=-,則C的離心率是().

A.立B.EC,D.典

4455

【答案】D

【解析】

分析】由題知sinNPf；B=雪，sinNEP￡=1,tan/PB片=一3,sin/P心耳=今，，進(jìn)而

忻用

歸用+|P周‘再根據(jù)，=帚而求解即可.

結(jié)合正弦定理

sinNP/^B+sinAPF2F{sinZFtPF2

)4

【詳解】解：由題意可知，因?yàn)樵凇鞫?，tanZPf；^=-,tanZF,PF2=-f

所以sin/P耳g=*，sinNEPE=1,

tan4F\PF?+tan/PF、F2

所以tanZPF2F1=tan（兀_/耳PF?-ZPF1/^）=-

1-tanN片PF2tanZPF}F2

3A/10

所以sinN「鳥耳

10

在△。6心中，由正弦定理可得,I明孫I花周

sinZPF}F2sin/PF?F}sinN—PF?

忻圖

娟+歸段

所以IP

sin/PF；g+sin/P瑪?shù)膕in^F,PF2

4

c2c⑶居|sinZF.PF,5回

所以離心率e=—=丁=7?|—j=-~~.'=~n=~~-r=-=-T—

a2a|P^|+|PF,|sin/「耳工+smNPg片<103V105

10-10

故選：D.

/v2“—l,x<2.

11.已知函數(shù)/(x)=F1,若實(shí)數(shù)。、b、。滿足a<b<c且〃“)=〃6)=〃c),則

-x+5,x>2

2"+。+2"。的取值范圍為()

A.(16,32)B,(32,64)C.(4,32)D.(8,64)

【答案】B

【解析】

【分析】作出函數(shù)/(x)的圖象，求出。的取值范圍，可得出2,的取值范圍，利用=/(。)結(jié)合絕對

值的性質(zhì)可求得2"+2"=2，由此可求得2"'+2"'的取值范圍.

【詳解】作出函數(shù)/(x)的圖象如下圖所示：

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=|2v-l|=l-2AG(O,1),

由圖可知，/(?)=/(/?)=/(c)G(0,1),即0<5-c<l,解得4<c<5,則16<2，<32，

由/(。)=/(匕)，即=即1一2a=2"-1，可得2"+2)=2，

因此，2"+。+=2’(2"+2")=2x2Cw(32,64).

故選：B.

12.已知a=刈，b=—,c=則()

32萬96

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a

【答案】B

【解析】

【分析】由題可得"?，b<￡~,C>?，然后構(gòu)造函數(shù)"x)=2產(chǎn)，,利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性即得.

■、斗而刀、.?1sin-fz^3\/37i2—7i15/3\[3

【詳解】?「sml3，3,/7=^—<—,c=--------=----+—>—,

~=2%6969366

/.c>a,c>b,

對于函數(shù)小)=嚀”?,f，(x)=xcos?sinx,

令g(x)=xcosx-sinx,XG,則g'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0,

；.g(x)在(0,最上單調(diào)遞減,

.?.g(x)<g(O)=O,即/'(x)<0,〃x)在(0,口上單調(diào)遞減,

.71

sin—

.?./⑴>/(?),即sinl>3

n

3

sinl摳

a=--->b=—,

32幾

c>a>b.

故選：B.

二、填空題

13.已知菱形ABCQ的邊長為2,NA3C=60°,點(diǎn)E是線段A8上的一點(diǎn).且3E=34E,則

ECCD=.

【答案】T

【解析】

【分析】先計(jì)算EC=BC—BE=BC—jBA,代入計(jì)算EC-CD=18C—，再計(jì)算

BCBA,BA＞即得結(jié)果.

【詳解】由題意知，BE^-BA,

4

____________3__

故衛(wèi)C=BC—BK=B?一一BA,

4

所以反?麗=(脛麗｝麗=方胡_：布2=2x2xg_?x22=—l.

故答案為：T.

14.在(f+x—2)丫的展開式中的系數(shù)是.

【答案】-160

【解析】

【分析】由題可知展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)而可得.

【詳解】因?yàn)?f+x-2y)’的展開式中，

通項(xiàng)公式心=C；(尤2+犬廠(-2y)r=(-2)rC；(x2+工廠/,

令r=3,解得篤+1=(-2)3或(/+*2)，3,

又(x2+x)-=x4+2x3+x2,

.??。3的系數(shù)為2x(—2)'c；=-160.

故答案為：—160.

15.在三棱錐P—A5c中，/%J_平面ABC,AB=AC=3C=2,點(diǎn)。是線段3C的中點(diǎn)，若三棱維

25

P-ABC的外接球的表面積是年兀，則直線PD與平面ABC所成角的大小是.

【答案】-##45°

4

【解析】

【分析】求出外接球半徑和AABC的外接圓半徑，得至UOE=JR2—產(chǎn)=且,進(jìn)而求出PA=2OE=G，

2

得到直線P。與平面ABC所成角為NPZM,求出NPD4的正切值，進(jìn)而求出NPD4.

【詳解】如圖，設(shè)外接球半徑為R，則471叱=§兀，解得：R二空,

36

因?yàn)锳B=AC=5C=2,所以AABC為等邊三角形,

因?yàn)辄c(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn)，

所以AD=y[3,

因?yàn)镻A_L平面ABC,

所以由勾股定理得：PB=PC,

故.PDtBC,

所以直線PD與平面ABC所成角為/PDA，

△A8C外接圓半徑為r=—=2叵，即AE=R

2sin60033

所以O(shè)E=JR2-/=3,

2

因?yàn)镼4_L平面ABC,

所以PA=2OE=X/L

所以1211/曲="=皇=1,

ADJ3

TT

故答案為：—

4

16.已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為s“，若$7>0,S8<0,則幺的取值范圍是

a5

【答案】（2,3）

【解析】

”的取值范圍.

【分析】利用等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)可得進(jìn)而可求得

2d%

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝公差為d,

由S7=7q+^^>0,可得6+3d>0,

S8=8^+^-^-<0,可得4+：d<0,

7ci

；?d<0,—<~~<—3,

2d

所以，，<幺+4<1,

2d

&=4+5"_d__1_,)

所以，&G+4dq+4dq+4I').

1

故答案為：(2,3).

三、解答題

17.如圖，在平面四邊形A8C。中，若A8=6,5C=10,CD=\2,ZABC=120°,

ZACB=/ACD.

(1)求cosNBCD的值;

(2)求AD的長度.

71

【答案】⑴而

(2)AD=2不

【解析】

【分析】(1)在AABC中，由余弦定理得AC=14,由正弦定理得sinN6c4=±8,再根據(jù)二倍角公式

14

71

求解即可得cos/BCD=—；

98

13

（2）結(jié)合（1）得cos/5cA=一,進(jìn)而在八4。。中，根據(jù)余弦定理得AD=2j7.

14

【小問1詳解】

解：在AABC中，因?yàn)锳B=6,BC=10,ZABC=120°,

由余弦定理，可得AC?=AB2+BC2-2*A8XBCXCOSNABC=196,

所以AC=14.

ABAC

又由正弦定理可得

sinNBCAsinZABC

所以sinNBG4=A〃sinl2°°=迪

AC14

,71

所以cosZBCD=l-2sin2ZBCA=—

98

【小問2詳解】

___________1Q

解：由(1),因?yàn)镹BC4為銳角，可得cos乙BCA=J1—sir?NBCA=」

14

在公的。。中，根據(jù)余弦定理，可得AD?=AC2+a>2一2AC.C￡）.COSZBC4

,,13

=142+122-2xl4xl2x—=28,

14

所以A0=2g.

18.已知數(shù)列｛6J滿足且4=1.

〃+ln”(〃+1)

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式;

（2）若數(shù)列也｝滿足勿=券，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Sn.

【答案】U）%=2〃一1

(2)S“=3-空

n3〃一1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系的特征采用累加法求解即可（2）根據(jù)數(shù)列抄“｝通項(xiàng)公式的特征采用錯(cuò)位相減

法求和

【小問1詳解】

111

因?yàn)?/p>

n+\n+n?+l

所以巴t_&L=J__l(n>2),

nn-1n-\n

n-\n-2n-2n-1

1

?2￡L-1I，

212

所以=1---(n>2).

nn

所以&=@Z1,所以4=2〃-1(〃22).

又4=1,

nn

又4=1,也符合上式，

所以a“=2〃-1.

【小問2詳解】

2n-l

結(jié)合(1)得勿=拳]，所以

2n—1

7+2+4+…+，①

"3°313233

11352n-l八

產(chǎn)c=§+?+予+…+丁，②

①-②，得，2公°"=1,+2(般1+鏟1+-+產(chǎn)11》下2〃一「1

2x1

32〃-1.2n+2

=1+---------=2--------'

3"3”

3

所以S“=3一詈

19.某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長社團(tuán)，由課外活動小組對高一學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，問卷共100道

題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的問卷成績(單位：分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),

將數(shù)據(jù)按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將

不低于60分的稱為“文科方向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生.

頻率

(1)根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“文科方向”與性別有關(guān)?

理科方向文科方向總計(jì)

男40

女45

總計(jì)一100

(2)將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取4次，記被抽取的

4人中“文科方向”的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

,?、、2niad-bcV",

參考公式：X=;---八7----777----\T，---7\'其中〃=。+匕+c+d.

參考臨界值:

e=P(%I")0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，有99.5%的把握認(rèn)為“文科方向''與性別有關(guān)

Q

(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望m

【解析】

【分析】(1)先利用題給條件求得低于60分的學(xué)生人數(shù)，進(jìn)而完成列聯(lián)表，再計(jì)算出力2后與參考臨界值

進(jìn)行比較即可判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“文科方向”與性別有關(guān).

（2）先求得X的所有可能取值分別對應(yīng)的概率，進(jìn)而得到X的分布列，再利用公式即可求得X的數(shù)學(xué)

期望.

【小問1詳解】

由題意可得分?jǐn)?shù)在［60,80）之間的學(xué)生人數(shù)為0.0125x20x100=25（名）,

在［80,10（）］之間的學(xué)生人數(shù)為0.0075x20x100=15（名），

所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為100—15—25=6（）（名）.

所以2x2列聯(lián)表如下：

理科方向文科方向總計(jì)

男401555

女202545

總計(jì)6040100

100x(40x25-15x20)2

所以/。8.249>7.879,

60x40x55x45

所以有99.5%的把握認(rèn)為“文科方向”與性別有關(guān).

小問2詳解】

易知從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為尸=40=g2

1005

X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

所以P（X=0）崇尸(X=2)=C；

,八3

P(X=3)=C：|、—3—_9_6

\75-625

⑶416

P（X=4）

625

所以X的分布列為:

X01234

812162169616

P

625625625625625

所以E（X）=Ox生+lx"+2x紗+3x受+4、也=8

,）6256256256256255

20.如圖，四邊形ABC￡＞為菱形，ZABC=60.AB=2,平面ABEEJ_平面ABCD,EF//AB,

ZBAF=90>AE=EF=1，點(diǎn)P在線段CE上（不包含端點(diǎn)）.

（1）求證：BDLFC；

（2）是否存在點(diǎn)尸，使得二面角P—AB—。的余弦值為立若存在，則求出”的值；若不存在，

7PC

請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

EPI

（2）存在，—=-

PC2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明平面ABC。，可得AbLBD，再根據(jù)線面垂直的判定

里證明BD1平面AFC,從而可得BD1FC；

（2）連接AC,交BD于點(diǎn)、O,取FC的中點(diǎn)G,連接OG.以。為原點(diǎn)，以。B,OC,OG所在的直

線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接AC,因?yàn)樗倪呅蜛BC。為菱形，所以AC_LBD.

因?yàn)镹BA尸=90，所以84_LAF，又平面A3EF_1_平面ABC。，

平面ABEbCl平面ABC￡>=AB,AFu平面ABEF,所以AE_L平面ABCO.

又BDu平面A8C。，所以

又A尸C|AC=A,AF>ACu平面AFC,所以8。_L平面AFC.

又/Cu平面AFC,所以BD上FC.

【小問2詳解】

連接AC,交B。于點(diǎn)。，取FC的中點(diǎn)G,連接。G.

在VC4尸中，。，G分別是AC,”■的中點(diǎn)，所以O(shè)G//A尸.

由（1）知Ab_L平面ABC。，又AC,BDu平面ABC。，所以AE_LAC,AF±BD,

又OG//AF,所以O(shè)GLAC,OG1BD.

以。為原點(diǎn)，以O(shè)B,oc,OG所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則A（0,—l,0）,B（V3,O,O）,C（0,l,0）,F（0,-l,l）,所以而=（6,1,0）,AF=（0,0,1）,

所以平面。AB的一個(gè)法向量是標(biāo)=（0,0,1）.

設(shè)E（a,c）,則在=（。力+1,c—1）=g=；（6,1,0）,

同1

解得ci=—?b=—,c=1?

22

即陋-111所以反=,弓,|,一1

22

___（h%\

設(shè)麗=2皮=-^-2,-2,-2（2e（0,l））,

所以而=荏+方=j立,立九34_/l]=（3—直九,+3；1/_/1

777

設(shè)平面aw的一個(gè)法向量為元=（玉,y,zj,

n-AB=#>X[+y=0

則<_一（J3yfl3\,、

nAP[~2---F%X+[5+52），+（1-九）4=0

解得義="!?或;1=一1（舍）.

3

所以存在點(diǎn)。，使得二面角P—AB—。的余弦值為叵，此時(shí)竺=」.

7PC2

21.如圖所示，已知拋物線C:;/=2x,過點(diǎn)P（O,1）的直線/交C于不同的A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在尸，B之

間），記點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)分別為丹，當(dāng)，過A作x軸的垂線交直線02于點(diǎn)。（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（2）求△OLD的面積的最大值.

【答案】（1）證明見解析

、27

（2）—

64

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)直線/的方程為丁=日+1（%。0）,進(jìn)而與拋物線聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解

即可;

222

(2)結(jié)合(1)得到=■；―/=—,y,e(0,2),直線08：y=—x,進(jìn)而得y=』_，故△OA。的

1+0-2ky2y2

面積S-一y；卜—y,G(0,2),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)/(x)=2Y”,xe(O,2)的

最值即可得答案.

【小問1詳解】

證明：由題意，直線/的斜率顯然存在,

設(shè)直線I的方程為y=kx+l(kh0),

"V—KX1

聯(lián)立方程組《「，可得62—2y+2=0,

y=2x

2

y+%=7

211

所以《X%=7,所以—+一

kX%

△=4—8攵〉0

【小問2詳解】

解：由(1)可得A=4—8A>0,解得女<—且左。0.

2

2-<4—8k2

因?yàn)辄c(diǎn)A在P,8之間，所以y=

2k1+J1—2%

國為-2X

所以ye(0,2),直線OB：y=

A%

2

/2A22

設(shè)點(diǎn)。￥，如，由點(diǎn)。在直線OB：y=——x

上可得yD^—

%y2

12

所以△。4。的面積S=-x2_xy-乜

22%-

1,11y,2

因?yàn)橐?1-----,所以S=；；x=xy.-y.1-—f2，

y2yl22X

又XG(0,2),所以S—y；|=；(2y：—y；)，J,e(O,2).

令/(%)=2/一%4,XG(0,2),則/，(1)=6x?—4^3=2X2(3-2X),

所以〃x)在(o,；)上單調(diào)遞增，在椅,2)上單調(diào)遞減,

所以小小，圖=2x《)一(|27

76

1?7273

所以5皿=一X一=二，當(dāng)且僅當(dāng)乂==時(shí)取最大值.

416642

27

即△OAZ)的面積的最大值是一.

64

22.已知函數(shù)/(x)=(l-x)e*-a(f+l)(a￡R).

(I)求"》)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)內(nèi),々，證明：X,+X,＜0.

【答案】(1)詳見解析；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)由題可得八X)=—X(e'+2a),然后分?=<a<0,a<一』討論即

222

得;

(2)由題可知上止1=。有兩個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)g(x)=Q；')e，,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得

X+1X+1

占＜0＜々＜1，然后經(jīng)過分析可得證明g(Z)-g(-X2)＜0即可，再構(gòu)造函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)

性即得.

【小問1詳解】

,//(%)=(1—x)ev—a(x2+1)(。eR),

/.f(x)=-xex-2ax=-x(e*+2a),

當(dāng)。時(shí)，令ra)＞o,解得尤＜(),令尸(幻＜0,解得工〉。，

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)；

當(dāng)ln(-2a)=0,即。=—g時(shí)，/'(x)40在(—,+<?)上恒成立,

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(F,+0。)，

當(dāng)ln(-2a)<0,即-g<a<0時(shí)，令/"(x)>0,解得ln(-2a)<尤<0,

令/'(x)<(),解得x<ln(—2a)或尤>0,

所以Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為(In(-2。),0),/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間為(-oo/n(—2a)),(0,+oo);

當(dāng)ln(-2a)>0,即—；時(shí)，令/'(x)>0,解得0<x<ln(—2a),令/'(x)<0,解得x<()或

x>ln(-2a),

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(o,ln(—2。))，“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,0),(ln(-2a),+oo);

綜上，當(dāng)時(shí)，/5)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一00,0)；

當(dāng)。=一！時(shí)，f(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,+00)；

2

當(dāng)一!<。<0時(shí)，Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為(In(-2。),0),〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(―8,ln(—2。))，

2

(0,+oo).

當(dāng)。<一,時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,ln(-2a)),/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-oo,0),(ln(-2?),+oo);

2

【小問2詳解】

令f(x)=0,即(1—x)e‘一。(/+[)=0,即