新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測23圓柱圓錐圓臺球的表面積和體積（含解析）新人教A版必修第二冊

/09/9/圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為 ()A.12π B.π C.8π D.4π【解析】選A.設(shè)正方體棱長為a,則a3=8,所以a=2.所以正方體的體對角線長為2,所以正方體外接球的半徑為,所以球的表面積為4π·()2=12π.2.若一圓柱與圓錐的高相等,且軸截面面積也相等,那么圓柱與圓錐的體積的比值為 ()A.1 B. C. D.【解析】選D.設(shè)圓柱底面半徑為R,圓錐底面半徑為r,高都為h,由已知得2Rh=rh,所以r=2R,V柱∶V錐=πR2h∶πr2h=3∶4.3.圓臺上、下底面面積分別是π、4π,側(cè)面積是6π,這個(gè)圓臺的體積是()A.π B.2 C.π D.π【解析】D.SD.S1=π,S2=4π,所以r=1,R=2,S側(cè)=6π=π(r+R)l,所以l=2,所以h=.所以V=π(1+4+2)×=π.4.兩個(gè)半徑為1的鐵球,熔化后鑄成一個(gè)大球,則這個(gè)大球的半徑為 ()A. B. C.2 D.【解析】選A.設(shè)大球的半徑為r,則π×13×2=πr3,所以r=.5.若圓錐的高等于底面直徑,則它的底面積與側(cè)面積之比為 ()A.1∶2 B.1∶ C.1∶ D.∶2【解析】選C.設(shè)圓錐的高為a,則底面半徑為,則S底=π·=,S側(cè)=π··=πa2,所以=.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2020·全國Ⅲ卷)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________.?【解析】方法一:易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球,球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示,其中BC=2,AB=AC=3,且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn),設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O,由于AM==2,故S△ABC=×2×2=2,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=×AB×r+×BC×r+×AC×r=××r=2,解得r=,其體積:V=πr3=π.7.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是________寸.?(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)【解析】圓臺的軸截面是下底長為12寸,上底長為28寸,高為18寸的等腰梯形,雨水線恰為中位線,故雨水線直徑是20寸,所以降水量為=3(寸).答案:38.若兩球的體積之和是12π,經(jīng)過兩球球心的截面圓周長之和為6π,則兩球的半徑之差為________.?【解析】設(shè)兩球的半徑分別為R,r(R>r),解得由題意得半徑之差為1.答案:1三、解答題(每小題10分,共20分)9.某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=1,l=3,試求該組合體的表面積和體積.【解析】該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.該組合體的體積V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.10.(原創(chuàng)題)如圖,一個(gè)圓錐的底面半徑為1,高為3,在圓錐中有一個(gè)半徑為x的內(nèi)接圓柱.(1)試用x表示圓柱的高;(2)當(dāng)x為何值時(shí),圓柱的側(cè)面積最大,最大側(cè)面積是多少?【解析】(1)所求的圓柱的底面半徑為x,它的軸截面如圖,BO=1,PO=3,設(shè)圓柱的高為h,由圖得=,即h=3-3x(0<x<1).(2)因?yàn)镾圓柱側(cè)=2πxh=2πx(3-3x)=6π(x-x2),當(dāng)x=時(shí),圓柱的側(cè)面積取得最大值為π.所以當(dāng)圓柱的底面半徑為時(shí),它的側(cè)面積最大為π.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.一個(gè)正方體表面積與一個(gè)球表面積相等,那么它們的體積比是 ()A. B. C. D.【解析】選A.設(shè)a為正方體的棱長,R為球的半徑,由6a2=4πR2得=,所以===.2.已知三棱錐S-ABC,△ABC是直角三角形,其斜邊AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,則三棱錐的外接球的表面積為 ()A.64π B.68π C.72π D.100π【解析】選D.如圖所示,直角三角形ABC的外接圓的圓心為AB中點(diǎn)D,過D作面ABC的垂線,球心O在該垂線上,過O作球的弦SC的垂線,垂足為E,則E為SC中點(diǎn),球半徑R=OS==,因?yàn)镃D=AB=4,SE=3,所以R=5,所以棱錐的外接球的表面積為4πR2=100π.3.圓柱的一個(gè)底面積是S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是()A.4πS B.2πS C.πS D.πS【解析】選A.底面半徑是,所以正方形的邊長是2π=2,故圓柱的側(cè)面積是(2)2=4πS.4.(多選題)下列說法正確的為 ()A.設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)A,球心為O,截面圓心為O1,則△AO1O是以O(shè)1為直角頂點(diǎn)的直角三角形B.若將氣球的半徑擴(kuò)大到原來的2倍,則它的體積增大到原來的8倍C.若將氣球的半徑擴(kuò)大2倍,則其體積擴(kuò)大27倍D.球與圓柱的底面和側(cè)面均相切,則球的直徑等于圓柱的高,也等于圓柱底面圓的直徑【解析】選ABD.A正確.球心與截面圓圓心的連線垂直于截面內(nèi)的任一直線;B正確.體積增大到原來的8倍;C錯(cuò)誤.若將氣球的半徑擴(kuò)大2倍,則體積就擴(kuò)大=26倍;D正確.球與圓柱底面和側(cè)面均相切,顯然球的直徑恰好等于圓柱的高,而球的直徑也恰好等于底面圓的直徑.二、填空題(每小題5分,共20分)5.(2020·江蘇高考)如圖,六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的,已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3.?【解析】記此六角螺帽毛坯的體積為V,正六棱柱的體積為V1,圓柱的體積為V2,則V1=6××2×2×sin60°×2=12(cm3),V2=π×(0.5)2×2=(cm3),所以V=V1-V2=12-(cm3).答案:12-6.如圖,在邊長為a的正方形中,剪下一個(gè)扇形和一個(gè)圓,分別作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底,則此圓錐的體積為________.?【解析】設(shè)圓的半徑為r,扇形的半徑為x,則=·2πx=πx.又因?yàn)?2πr,所以πx=2πr.所以x=4r,AC=x+r+r.所以(5+)r=a,所以r=()a.又因?yàn)閳A錐的高h(yuǎn)==r,所以圓錐體積V=πr2·h=πa3.答案:πa37.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是__________【解析】當(dāng)球的半徑最大時(shí),球的體積最大.在直三棱柱內(nèi),當(dāng)球和三個(gè)側(cè)面都相切時(shí),因?yàn)锳B⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的內(nèi)切圓的半徑即為此時(shí)球的半徑r==2,直徑為4>側(cè)棱.所以球的最大直徑為3,半徑為,此時(shí)體積V=.答案:8.如圖所示的△OAB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,產(chǎn)生的幾何體的表面積為________,體積為____________.?【解析】繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體是一個(gè)上、下底面半徑分別為2,3,高為3的圓臺,挖去了一個(gè)底面半徑為3,高為3的圓錐,如圖所示.其表面積是圓臺的半徑為2的底面積、圓臺的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積之和.圓臺的母線長是,圓錐的母線長是3,故表面積S1=π·22+π(2+3)·+π·3·3=(4+5+9)π;體積為V1=π(22+32+2×3)×3-π×32×3=π(4+9+6-9)=10π.答案:(4+5+9)π10π三、解答題(每小題10分,共30分)9.圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4,若母線長為10,求圓臺的表面積.【解析】圓臺的軸截面如圖所示,設(shè)上底面半徑為r,下底面半徑為R,則它的母線長為l===5r=10,所以r=2,R=8.故S側(cè)=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,S表=S側(cè)+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.10.已知過球面上A,B,C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半,且AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面積和體積.【解析】因?yàn)锳B∶BC∶AC=18∶24∶30=3∶4∶5,所以△ABC是直角三角形,∠B=90°.又球心O在截面△ABC上的投影O′為截面圓的圓心,即是Rt△ABC的外接圓的圓心,所以斜邊AC為截面圓O′的直徑(如圖所示),設(shè)O′C=r,OC=R,則球半徑為R,截面圓半徑為r,在Rt△O′CO中,由題設(shè)知sin∠O′CO==,所以∠O′CO=30°,所以=cos30°=,即R=r,(*)又2r=AC=30?r=15,代入(*)得R=10.所以球的表面積為S=4πR2=4π×(10)2=1200π.球的體積為V=πR3=π×(10)3=4000π.11.有三個(gè)球,第一個(gè)球內(nèi)切于正方體,第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切,第三個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn),求這三個(gè)球的表面積之比.【解題指南】本題是求三個(gè)球的表面積之比,解題的關(guān)鍵是得出半徑之比,可在各幾何體內(nèi)作出截面,找到球心,易求半徑.【解析】設(shè)正方體的棱長為a.(1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體