新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步單元素養(yǎng)檢測（含解析）新人教A版必修第二冊

/17/17/單元素養(yǎng)檢測(三)(第八章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)1.用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體,各個(gè)截面都是圓面,則這個(gè)幾何體一定是()A.圓柱 B.圓錐C.球體 D.圓柱、圓錐、球體的組合體【解析】選C.截面是任意的且都是圓面,則該幾何體為球體.2.已知圓錐的高為3,底面半徑為QUOTE,若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的體積等于()A.QUOTEπB.QUOTEπC.16πD.32π【解析】選B.設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R,依題意得,R2=(3-R)2+(QUOTE)2,解得R=2,所以所求球的體積V=QUOTEπR3=QUOTEπ×23=QUOTEπ.3.如圖所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1,且AA1⊥底面ABC,則三棱錐B1-ABC1A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積,三棱錐A-B1BC1的高為QUOTE,底面積為QUOTE,故其體積為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.4.(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α∥β的充要條件是()A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面【解析】選B.當(dāng)α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行,也可能兩平面相交,故A錯(cuò).同樣當(dāng)α,β平行于同一條直線或α,β垂直于同一平面時(shí),兩平面也可能相交,故C,D錯(cuò).由面面平行的判定定理可得B正確.5.在梯形ABCD中,∠ABC=QUOTE,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A.4π B.(4+QUOTE)πC.6π D.(5+QUOTE)π【解析】選D.因?yàn)樵谔菪蜛BCD中,∠ABC=QUOTE,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,所以將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為AB=1,高為BC=2的圓柱減去一個(gè)底面半徑為AB=1,高為BC-AD=2-1=1的圓錐的組合體,所以幾何體的表面積S=π×12+2π×1×2+QUOTE×2π×1×QUOTE=(5+QUOTE)π.6.已知平面α,直線m,n滿足m?α,n?α,則“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.因?yàn)閙?α,n?α,m∥n,所以根據(jù)線面平行的判定定理得m∥α.由m∥α不能得出m與α內(nèi)任一直線平行,所以m∥n是m∥α的充分不必要條件,故選A.7.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=QUOTE,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.用一個(gè)與原長方體相同的長方體拼到原長方體的前面,如圖,則B1P∥AD1,連接DP,易求得DB1=DP=QUOTE,B1P=2,則∠DB1P是異面直線AD1與DB1所成的角,由余弦定理可得cos∠DB1P=QUOTE=QUOTE=QUOTE.8.(2019·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為()A.8QUOTEπ B.4QUOTEπ C.2QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】選D.方法一:設(shè)PA=PB=PC=2x,E,F分別為PA,AB的中點(diǎn),所以EF∥PB,且EF=QUOTEPB=x,因?yàn)椤鰽BC是邊長為2的等邊三角形,所以CF=QUOTE,又∠CEF=90°,所以CE=QUOTE,AE=QUOTEPA=x,在△AEC中,利用余弦定理得cos∠EAC=QUOTE,作PD⊥AC于D,因?yàn)镻A=PC,所以D為AC的中點(diǎn),cos∠EAC=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以2x2+1=2,所以x2=QUOTE,x=QUOTE,所以PA=PB=PC=QUOTE,又AB=BC=AC=2,所以PA,PB,PC兩兩垂直,所以2R=QUOTE=QUOTE,所以R=QUOTE,所以V=QUOTEπR3=QUOTEπ×QUOTE=QUOTEπ,故選D.方法二:因?yàn)镻A=PB=PC,△ABC是邊長為2的等邊三角形,所以P-ABC為正三棱錐,易得PB⊥AC,又E,F分別為PA,AB的中點(diǎn),所以EF∥PB,所以EF⊥AC,又EF⊥CE,CE∩AC=C,所以EF⊥平面PAC,PB⊥平面PAC,所以∠BPA=90°,所以PA=PB=PC=QUOTE,所以P-ABC為正方體一部分,2R=QUOTE=QUOTE,即R=QUOTE,所以V=QUOTEπR3=QUOTEπ×QUOTE=QUOTEπ,故選D.【拓展延伸】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1A.QUOTE B.2QUOTE C.QUOTE D.3QUOTE【解析】選C.如圖,由球心作平面ABC的垂線,則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM=QUOTEBC=QUOTE=QUOTE,OM=QUOTEAA1=6,所以球O的半徑R=OA=QUOTE=QUOTE.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.設(shè)α,β,γ為兩兩不重合的平面,l,m,n為兩兩不重合的直線,則下列命題中正確的是()A.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥βB.若m⊥α,n⊥β且m⊥n,則α⊥βC.若l∥α,α⊥β,則l⊥βD.若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,則m∥n【解析】選BD.由α,β,γ為兩兩不重合的平面,l,m,n為兩兩不重合的直線,知:A.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α與β相交或平行,故A錯(cuò)誤;B.若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,則由面面垂直的判定得α⊥β,故B正確;C.若l∥α,α⊥β,則l與β相交、平行或l?β,故C錯(cuò)誤;D.若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,則由線面平行的性質(zhì)定理得m∥n.故D正確.10.給出下列命題,其中命題正確的是()A.棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形B.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直C.在四棱柱中,若兩個(gè)過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱D.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體【解析】選BCD.選項(xiàng)A不正確,根據(jù)棱柱的定義,棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形,但不一定全等;選項(xiàng)B正確,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角;選項(xiàng)C正確,因?yàn)閮蓚€(gè)過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱,又垂直于底面;選項(xiàng)D正確,如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C111.α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,下列四個(gè)命題其中正確的是()A.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥βB.如果m⊥α,n∥α,那么m⊥nC.如果α⊥β,m?α,那么m⊥βD.如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等【解析】選BD.對于選項(xiàng)A,α,β可以平行,可以相交也可以不垂直,故錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)B,由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α,n∥l,又m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正確.對于選項(xiàng)C,因?yàn)棣痢挺?又m?α,所以可能有m⊥β可能m∥β也可能m與β相交,故不正確.對于選項(xiàng)D,因?yàn)閙∥n,所以m與α所成的角和n與α所成的角相等.因?yàn)棣痢桅?所以n與α所成的角和n與β所成的角相等,所以m與α所成的角和n與β所成的角相等,故正確.12.如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD.則在三棱錐A-BCD中,下列命題正確的是()A.CD⊥平面ABDB.AB⊥平面BCDC.平面BCD⊥平面ABCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】選AD.在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC,又AB?平面ABC,從而平面ABC⊥平面ADC.三、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖,邊AB平行于y軸,BC,AD平行于x軸.已知四邊形ABCD的面積為2QUOTEcm2,則原平面圖形的面積為________cm2.?【解析】依題意可知∠BAD=45°,則原平面圖形為直角梯形,上下底面的長與BC,AD相等,高為梯形ABCD的高的2QUOTE倍,所以原平面圖形的面積為8cm2.答案:814.已知Rt△ABC的斜邊在平面α內(nèi),直角頂點(diǎn)C是α外一點(diǎn),AC、BC與α所成角分別為30°和45°,則平面ABC與α所成銳角為________.?【解析】如圖所示,過點(diǎn)C作垂直于α的直線CO,交α于點(diǎn)O.所以∠CAO=30°,∠CBO=45°.設(shè)CO=a,所以在Rt△ACO中,AC=2a,在Rt△BCO中,BC=QUOTEa.過C點(diǎn)在平面ABC內(nèi)作CD⊥AB,連接OD,則∠CDO為平面ABC與α所成的銳角,AB=QUOTEa,所以CD=QUOTEa所以在Rt△CDO中,sin∠CDO=QUOTE=QUOTE,所以∠CDO=60°.答案:60°15.(2019·北京高考)已知l,m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出一個(gè)正確的命題:____________________.?【解析】選兩個(gè)論斷作為條件,一個(gè)作為結(jié)論,一共能夠組成3個(gè)命題,即①②?③,①③?②,②③?①,只有①②?③為假命題,其余兩個(gè)為真命題.答案:若m∥α,l⊥α,則l⊥m(或若l⊥m,l⊥α,則m∥α)16.(2020·新高考全國Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,∠BAD=60°,以D1為球心,QUOTE為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________.?【解析】由已知連接BD,B1D1,則BD=B1D1=2,取BB1和CC1的中點(diǎn)E,F.連接EF,D1E,D1F,則D1E=D1F=QUOTE,故E,F在球面上.平面BCC1B1截球面的截面圓的圓心是B1C1的中點(diǎn)O,OE=OF=QUOTE,球面與側(cè)面BCC1B1的交線是側(cè)面上以O(shè)為圓心,QUOTE為半徑的圓弧EF,QUOTE的長為QUOTE·2QUOTEπ=QUOTEπ.答案:QUOTEπ四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)直三棱柱的高為6cm,底面三角形的邊長分別為3cm,4cm,5cm,將棱柱削成圓柱,求削去部分體積的最小值.【解析】如圖所示,只有當(dāng)圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時(shí),圓柱的體積最大,削去部分體積才能最小,設(shè)此時(shí)圓柱的底面半徑為R,圓柱的高即為直三棱柱的高6cm.因?yàn)樵凇鰽BC中,AB=3cm,BC=4cm,AC=5cm,所以△ABC為直角三角形.根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得7-2R=5,所以R=1cm,所以V圓柱=πR2·h=6πcm3.而三棱柱的體積為V三棱柱=QUOTE×3×4×6=36(cm3),所以削去部分的最小體積為36-6π=6(6-π)(cm3).18.(12分)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1求證:(1)E,C,D1,F四點(diǎn)共面;(2)CE,D1F【證明】(1)如圖所示,連接CD1,EF,A1B,因?yàn)镋,F分別是AB和AA1的中點(diǎn),所以EF∥A1B且EF=QUOTEA1B.又因?yàn)锳1D1??BC,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,所以A1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以EF與CD1確定一個(gè)平面,即E,C,D1,F四點(diǎn)共面.(2)由(1)知EF∥CD1且EF=QUOTECD1,所以四邊形CD1FE是梯形,所以CE與D1F設(shè)交點(diǎn)為P,則P∈CE,且P∈D1F又CE?平面ABCD,且D1F?平面A1ADD1所以P∈平面ABCD,且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1=AD,所以P∈AD,所以CE,D1F【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),AC∩BD=P,A1(1)D,B,E,F四點(diǎn)共面.(2)若A1C【證明】(1)連接B1D1.因?yàn)镋,F分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),所以EF∥B1D1又因?yàn)锽1D1∥BD,所以EF∥BD,所以EF與BD共面,所以D,B,E,F四點(diǎn)共面.(2)因?yàn)锳C∩BD=P,所以P∈平面AA1C1同理,Q∈平面AA1C1因?yàn)锳1C∩所以R∈平面AA1C1所以P,Q,R三點(diǎn)共線.19.(12分)養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏融雪鹽(供融化高速公路上的積雪之用),已建的倉庫的底面直徑為12m,高4m.養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉庫,以存放更多融雪鹽.現(xiàn)有兩種方案:一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m(高不變);二是高度增加4m(底面直徑不變).(1)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的體積;(2)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的表面積;(3)哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些?【解析】(1)如果按方案一,倉庫的底面直徑變成16m,則倉庫的體積V1=QUOTESh=QUOTEπ×82×4=QUOTEπ(m3);如果按方案二,倉庫的高變成8m,則倉庫的體積V2=QUOTESh=QUOTE×π×62×8=QUOTEπ(m3).(2)如果按方案一,倉庫的底面直徑變成16m,半徑為8m.圓錐的母線長為l=QUOTE=4QUOTE(m),則倉庫的表面積S1=π×8×4QUOTE=32QUOTEπ(m2);如果按方案二,倉庫的高變成8m.圓錐的母線長為l=QUOTE=10(m),則倉庫的表面積S2=π×6×10=60π(m2).(3)V2>V1,S2<S1,所以方案二比方案一經(jīng)濟(jì).20.(12分)如圖,在多面體ABCDEF中,AD∥BC,AB⊥AD,FA⊥平面ABCD,FA∥DE,且AB=AD=AF=2BC=2DE=2.(1)若M為線段EF的中點(diǎn),求證:CM∥平面ABF;(2)求多面體ABCDEF的體積.【解析】(1)取AD的中點(diǎn)N,連接CN,MN,因?yàn)锳D∥BC且AD=2BC,所以AN∥BC且AN=BC,所以四邊形ABCN為平行四邊形,所以CN∥AB.因?yàn)镸是EF的中點(diǎn),所以MN∥AF.又CN∩MN=N,AB∩AF=A,所以平面CMN∥平面ABF.又CM?平面CMN,所以CM∥平面ABF.(2)因?yàn)镕A⊥平面ABCD,所以FA⊥AB.又AB⊥AD,且FA∩AD=A,所以AB⊥平面ADEF,所以CN⊥平面ADEF.連接AC,則多面體ABCDEF的體積VABCDEF=VF-ABC+VC-ADEF=QUOTE×QUOTE×2×1×2+QUOTE×QUOTE×(1+2)×2×2=QUOTE.【拓展延伸】如圖,在三棱錐D-ABC中,AB=2AC=2,∠BAC=60°,AD=QUOTE,CD=3,平面ADC⊥平面ABC.(1)證明:平面BDC⊥平面ADC.(2)求三棱錐D-ABC的體積.【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理可得,BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以BC2+AC2=AB2,所以BC⊥AC,因?yàn)槠矫鍭DC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,所以BC⊥平面ADC,又BC?平面BDC,所以平面BDC⊥平面ADC.(2)由余弦定理可得cos∠ACD=QUOTE,所以sin∠ACD=QUOTE,所以S△ACD=QUOTE·AC·CD·sin∠ACD=QUOTE,則VD-ABC=VB-ADC=QUOTE·BC·S△ACD=QUOTE.21.(12分)如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧QUOTE所在平面垂直,M是QUOTE上異于C,D的點(diǎn).(1)證明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC∥平面PBD?說明理由.【解析】(1)由題意知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因?yàn)镸為QUOTE上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM?平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)存在,當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí),MC∥平面PBD.理由如下:連接AC交BD于O.因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為AC的中點(diǎn).連接OP,因?yàn)镻為AM的中點(diǎn),所以MC∥OP.又MC?平面PBD,OP?平面PBD,所以MC∥平面PBD.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長為2的正方形,四邊形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,G,H分別是CE,CF的中點(diǎn).(1)求證:AC⊥平面BDEF.(2)求證:平面BDGH∥平面AEF.【證明】(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AC⊥BD.又平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,且AC?平面ABCD,所以AC⊥平面BDEF.(2)在△CEF中,因?yàn)镚,H分別是CE,CF的中點(diǎn),所以GH∥EF.又GH?平面AEF,EF?平面AEF,所以GH∥平面AEF.設(shè)AC∩BD=O,連接OH,在△ACF中,因?yàn)镺,H分別為CA,CF的中點(diǎn),所以O(shè)H∥AF.因?yàn)镺H?平面AEF,AF?平面AEF,所以O(shè)H∥平面AEF.因?yàn)镺H∩GH=H,OH,GH?平面BDGH,所以平面BDGH∥平面AEF.22.(12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AB=6,BC=2QUOTE,AC=2QUOTE,D為線段AB上的點(diǎn),且AD=2DB,PD⊥AC.(1)求證:PD⊥平面ABC;(2)若∠PAB=QUOTE,求點(diǎn)B到平面PAC的距離.【解析】(1)連接CD,據(jù)題知AD=4,BD=2,AC2+BC2=AB2,所以∠ACB=90°,所以cos∠ABC=QUOTE=QUOTE,所以CD2=22+(2QUOTE)2-2×2×2QUOTEcos∠ABC=8,所以CD=2QUOTE,所以CD2+AD2=AC2