物理實驗數(shù)據(jù)處理的基本方法

1引言物理學的理論是通過觀察、實驗、抽象、假說等研究方法，并通過實驗建立起來的。所以，物理學從根本上講是一門實驗科學，科學實驗在物理學的形成和發(fā)展中處于主導地位。在物理學的發(fā)展中，人類積累了豐富的實驗方法，創(chuàng)造出各種精密的儀器設備，促進了物理實驗技術的提高。物理實驗中的研究方法、觀察與分析手段、各種常規(guī)和精密的儀器設備在現(xiàn)代科學和工程實踐中均具有極大的普遍性、綜合性、多樣性和廣延性，促進了物理學的發(fā)展、自然科學的變革、以及工業(yè)技術的革命。物理實驗是人為地創(chuàng)造出一種條件，按照預定計劃，以確定順序重現(xiàn)一系列物理過程或物理現(xiàn)象，其目的不僅要讓學生受到嚴格的、系統(tǒng)的物理實驗技能訓練，掌握物理科學實驗的基本知識、方法和技術，更重要的是要培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W思維能力和創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際、分析和解決問題的能力?？茖W實驗的目的是為了找出事物的內(nèi)在規(guī)律，或檢驗某種理論的正確性，或準備作為以后實踐工作的依據(jù)。在物理實驗中，我們要對一些物理量進行測量，得到與之相關的數(shù)據(jù)，而對實驗數(shù)據(jù)進行記錄、整理、計算、作圖和分析，去粗取精，去偽存真，得到最終結論和實驗規(guī)律的過程稱為數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)處理是否科學，決定科學結論能否建立與推廣，它是物理實驗教學中培養(yǎng)學生實驗能力和素質的重要環(huán)節(jié)。數(shù)據(jù)處理的中心內(nèi)容是估算待測量的最佳值，估算測量結果的不確定度或尋求多個待測量間的函數(shù)關系。不會處理數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)處理方法不當，就得不到正確的實驗結果。由此可知，數(shù)據(jù)處理在整個實驗過程中有著舉足輕重的地位。在物理實驗中常用的數(shù)據(jù)處理方法有列表法、作圖法、圖解法、逐差法和最小二乘法（直線擬合）等，下面就各方法的內(nèi)容作詳細的介紹。2列表法2.1列表法的基本概述列表法就是將實驗中測量的數(shù)據(jù)、計算過程數(shù)據(jù)和最終結果等以一定的形式和順序列成表格。列表法是記錄和處理數(shù)據(jù)的基本方法，也是其他數(shù)據(jù)處理方法的基礎，一個好的數(shù)據(jù)處理表格，往往就是一份簡明的實驗報告。實驗數(shù)據(jù)既可以是同一個物理量的多次測量值及結果，也可以是相關幾個量按一定格式有序排列的對應的數(shù)值。在實驗過程中，對一個物理量進行多次測量或研究幾個量之間的關系時，我們往往借助的就是列表法進行數(shù)據(jù)處理。然而，表格的格式需要按照不同的實驗事先設計，一般要求把各個自變量（實驗中測量的量）數(shù)據(jù)、計算過程數(shù)值、因變量數(shù)值、最后結果按照一定的順序列成兩維表格?？梢圆捎檬仔惺欠枡?，首列是序號欄，其余是數(shù)據(jù)欄的格式。根據(jù)需要還可以列出除原始數(shù)據(jù)以外的計算欄目和統(tǒng)計欄目等。2.2列表法的優(yōu)點列表法簡單易行，結構緊湊、條目清晰，既可以簡明地反映有關量之間的函數(shù)關系，便于及時檢查和發(fā)現(xiàn)實驗中存在的問題，判斷測量結果的合理性；又有助于分析實驗結果，找出有關物理量之間存在的規(guī)律性聯(lián)系，進而求出經(jīng)驗公式。不僅如此，列表還可以提高處理數(shù)據(jù)的效率，減少和避免差錯。根據(jù)需要，把某些計算中間項列出來，不但有利于進行有效數(shù)字的簡化處理，避免不必要的重復計算；還能隨時與原始數(shù)據(jù)進行核對，判斷運算是否有錯。所以，設計一個簡明醒目、合理美觀的數(shù)據(jù)表格，是每一位學生都要掌握的基本技能。2.3列表法遵循的原則列表雖然沒有統(tǒng)一的格式，但所設計的表格要能充分反映上述優(yōu)點，應遵循以下原則:表的上方應有表頭，寫明所列表格的名稱;標題欄目要簡單明了、分類清楚，便于顯示有關物理量之間的關系;各欄目（縱或橫）均應注明所記錄的物理量的名稱及單位，若名稱用自定義符號，則應加以說明;欄目的順序應充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計算順序，力求簡明、齊全、有條理；列表中的數(shù)據(jù)主要應是原始測量，數(shù)據(jù)不應隨便涂改，處理過程中的一些重要的中間計算結果也應列入表中;對數(shù)據(jù)的表格，應提供必要的說明和參數(shù)，包括表格名稱、主要測量儀器的規(guī)格（型號、量程、準確度級別或最大允許誤差等）、有關環(huán)境參數(shù)等;必要時附加說明?？偠灾?，列表的過程就是整理實驗思緒的過程，只有在清楚了解并通盤考慮實驗目的、原理、方法、步驟以及誤差處理要求的基礎上，才能列出科學、合理、實用、方便的數(shù)據(jù)處理表格。例2.1測量電阻的伏安特性，記錄數(shù)據(jù)如下表：序號(_2) 3J t1 iL 5)() 78ckJ10V/V(.0):.01. L.0):.04.0. r.0i 6.07.08.0c.0I/mA(.0):.0? Z.0L (.1、7.97(.7)11.813.816.017.9表2.1測電阻伏安特性數(shù)據(jù)記錄表10.09.93.作圖法3.1作圖法的基本概述物理實驗中測得的各物理量之間的關系，可以用函數(shù)式表示，也可以用各種圖線表示，后者稱為實驗數(shù)據(jù)的圖線表示法。實驗產(chǎn)生的大量數(shù)據(jù)其相互之間的關系不是很直觀，僅僅通過這些數(shù)據(jù)的觀察是難以把握它們之中所蘊涵的科學內(nèi)涵的。然而通過動手作圖能有效地幫助人們形象地，有聯(lián)系地“看到”這些數(shù)據(jù)，從而更有效地進行處理分析與推理，這正是數(shù)據(jù)的可視化。它把形象思維和邏輯思維有機地聯(lián)系在一起，從而達到啟迪思維、促進科學創(chuàng)新的目的。工程師和科學家一般對定量的圖線很感興趣，因為定量圖線的形象直觀、一目了然，不僅能簡明地顯示物理量之間的相互關系、變化趨勢，而且能方便地找出函數(shù)的極大值、極小值、轉折點、周期和其他奇異性，特別是對那些尚未找到適當解析函數(shù)表達式的實驗結果，可以從圖示法所畫出的圖線中去尋找相應的經(jīng)驗公式，從而提出物理量之間的變化規(guī)律。3.2作圖法的優(yōu)點利用作圖分析物理量之間的關系有以下優(yōu)點：作圖法具有簡明、直觀、形象地顯示物理量之間關系的特點。尤其是對多條圖線進行比較時，比列表法更形象?？梢愿鶕?jù)圖線的形狀和變化趨勢分析研究物理量之間的變化規(guī)律，找出相互對應的函數(shù)關系，甚至外推某些規(guī)律或得到所求的參量?？梢宰鞒鰞x器的校準曲線。曲線改值。在用圖像法處理實驗數(shù)據(jù)時，物理量之間可能存在各種各樣的函數(shù)關系。如果通過適當?shù)淖鴺俗儞Q，將物理量之間的非線性關系轉化為一次函數(shù)關系，則圖像將由曲線轉化為直線。這樣物理量之間的關系會變得更加直觀，研究問題的分析也會更加簡便。3.3作圖法所遵循的規(guī)則作圖并不復雜，但對于許多學生來說，卻是一種困難的科學技巧，這是由于他們?nèi)狈镜挠柧?，而在思想上對作圖又沒有足夠的重視所致。只要認真對待，并遵循一定的作圖的一般規(guī)則進行一段時間的訓練，是能夠繪制出相當好的圖線的。制作一副完整的、正確的圖線，其基本步驟包括：圖紙的選擇，坐標的分度和標記，標出每個實驗點，作出一條與許多實驗點基本符合的圖線，以及注解和說明等。圖紙的選擇

作圖必須用坐標紙。當決定了作圖的參量以后，根據(jù)情況選擇直角坐標紙（毫米方格紙）、極坐標紙或其他坐標紙。直線是最容易繪制的圖線，也便于使用，所以在已知函數(shù)關系的情況下，作兩個變量之間的關系圖線時，最好通過適當?shù)淖儞Q將某種函數(shù)關系的曲線改為線性函數(shù)的直線。例如：①y=ax+b,y與x為線性函數(shù)關系，所以選用直角坐標系就可以得直線。=a—=a—+bxu=——，若令x，則得y=au+b,歹與“為線性函數(shù)關系，以y、u作坐標時，在線性直角坐標紙上也是一條直線。③y=axb，取對數(shù)，則lgy=lga+blgx，lg歹與仗X為線性函數(shù)關系，應選用對數(shù)坐標紙，不必對x、y作對數(shù)計算，就能得到一條直線。④y=aebx，取自然對數(shù)，則lny=lna+bx，lny與兀為線性函數(shù)關系，應選用半對數(shù)坐標紙。圖紙大小的選擇，原則上以不損失實驗數(shù)據(jù)的有效位數(shù)為原則并能包括所有實驗點作為選取圖紙大小的最低限度，即圖上的最小分格至少應與實驗數(shù)據(jù)中最后一位準確數(shù)字相當。坐標的分度及標記對于直角坐標系，要以自變量為橫軸，以因變量為縱軸。用粗實線在坐標紙上描出坐標軸，標明其所代表的物理量（或符號）及單位，在軸上每隔一定間距標明該物理量的數(shù)值。坐標紙的大小及坐標軸的比例，要根據(jù)測得值的有效數(shù)字和結果的需要來定。原則上講，數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖中應為可靠的，而最后一位的估讀數(shù)在圖中亦是估計的，即不能因作圖而引進額外的誤差。在坐標軸上每隔一定間距應均勻地標出分度值，標記所有有效數(shù)字位數(shù)應與原始數(shù)字的有效位數(shù)相同，單位應與坐標軸的單位一致。坐標的分度應以不用計算便能確定各點的坐標為原則，為便于讀圖通常只用1、2、5、10等進行分度，而不用3、7等進行分度。為了充分利用坐標紙并使圖線布局合理，坐標分度不一定從零開始，可以用低于原始數(shù)據(jù)的某一整數(shù)作為坐標分度的起點，用高于測量所得最高值的某一整數(shù)作為終點，這樣的圖線就能充滿所選用的整個圖紙。（4）標實驗點要根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)，用明確的符號準確地表明實驗點，要做到不錯不漏。常用的符號表示有“+”“X”“O”“△”等符號標出。若在同一圖紙上畫不同圖線，標點應該用不同符號，以便區(qū)分。同時應在不同的曲線旁邊上文字標注，以便識別。還可用不同顏色對不同的曲線加以區(qū)分。（5）連接實驗圖線把實驗點連接成圖線。由于每個實驗數(shù)據(jù)都有一定的誤差，所以圖線不一定要通過每個實驗點。應該按照實驗點的總趨勢，把實驗點連成光滑的曲線（儀表的校正曲線不在此列），使大多數(shù)的實驗點落在圖線上，其他的點在圖線兩側均勻分布，這相當于在數(shù)據(jù)處理中取平均值。對于個別偏離圖線很遠的點，要重新審核，進行分析后決定是否應剔除。在確信兩物理量之間的關系是線性的，或所有的實驗點都在某一直線附近時，將實驗點連成一直線。（6）注解和說明作完圖后，在圖的明顯位置上標明圖名、作者和作圖日期，有時還要附上簡單的說明，如實驗條件等，使讀者能一目了然，最后要將圖粘貼在實驗報告上。圖為3.1銅絲電阻與溫度之間的關系曲線。溫度77"C圖3.1銅絲的電阻與溫度的關系曲線4圖解法4.1圖解法的概述利用已作好的圖線，定量地求得待測量或得出經(jīng)驗公式，稱為圖解法。例如，可以通過圖中直線的斜率或截距求得待測量的值；可以通過內(nèi)插或外推求得待測量的值；還可以通過圖線的漸近線，以及通過圖線的疊加、相減、相乘、求導、積分、求極值等來得出某些待測量的值。這里主要介紹直線圖解法求出斜率或截距，進而得出完整的直線方程，以及插值法求待測量的值。4.2圖解法的步驟圖解法就是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作好的圖線，用解析法找出相應的函數(shù)形式。實驗中經(jīng)常遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線、對數(shù)曲線。特別是當圖線是直線時，采用此方法更為方便。一般步驟如下：選點在直線上選兩點A(xl,y1)和B(x2,y2),A、B兩點一般不為實驗點。為了減小誤差，A、B兩點應相隔遠一些。如果兩點太靠近，計算斜率時會使結果的有效數(shù)字減少；但也不能超出實驗數(shù)據(jù)的范圍以外,因為選這樣的點無實驗依據(jù)。用與表示實驗點不同的符號將A、B兩點在直線上標出，并在旁邊標明其坐標值。求斜率將A、B兩點的坐標值分別代入直線方程y=kx+b，可解得斜率y-y214—1)x-x4—1)21求截距如果橫坐標的起點為零，則直線的截距可從圖中直接讀出；如果橫坐標的起點不為零，則可用下式計算直線的截距：b二"2叮3歹2x2-x1 (4—2)將求得的k、b的數(shù)值代入方程y=kX+b中，就得到經(jīng)驗公式。下面介紹用圖解法求2個物理量線性的關系，并用直角坐標紙作圖驗證歐姆定律。給定電阻為R=500Q，所得數(shù)據(jù)見表1-2和圖1-1。表1-1驗證歐姆定律數(shù)據(jù)表次序0序12345678910U1234567891/V.00.00.00.00.00.00.00.00.000.00I2467911111/mA.12.10.05.85.701.833.786.027.869.94

//mA圖0-2電流與電壓關系求直線斜率和截距而得出經(jīng)驗公式時，應注意以下兩點。第一，計算點只能從直線上取，不能選用實驗點的數(shù)據(jù)。從圖中不難看出，如用實驗點a、b來計算斜率，所得結果必然小于直線的斜率。第二，在直線上選取計算點時，應盡量從直線兩端取，不應選用兩個靠得很近的點。圖0-2中如選c、d兩點，則因c、d靠得很近，(Ic-Id)及(Uc-Ud)的有效數(shù)字位數(shù)會比實測得的數(shù)據(jù)少很多，這樣會使斜率k的計算結果不精確。因此必須用直線兩端的A、B//mA圖0-2電流與電壓關系k_I”_/“ (19.94-2.12)mA)斜率-ua-ub=Go.oo-1.00)V)17.82弭) /、=9.00?)=1.98x10-3C)= = Q不難看出，將UA-UB取為整數(shù)值可使斜率的計算方便得多。5逐差法逐差法又稱逐差計算法，是對等間隔測量的數(shù)據(jù)進行逐項或隔項相減來獲得實驗結果的數(shù)據(jù)處理方法。它計算簡便，既可以驗證函數(shù)的表達形式，又可以充分利用測量數(shù)據(jù)，及時發(fā)現(xiàn)錯誤、總結規(guī)律，起到減小隨機誤差的作用。當兩個變量之間存在線性關系，且自變量為等差級數(shù)變化的情況下，常采用逐差法處理一元線性擬合問題。逐差法不像作圖法擬合直線那樣具有較大的隨意性，且比最小二乘法計算簡單而結果相近，在物理實驗中是常用的數(shù)據(jù)處理方法。5.1逐項逐差逐項逐差可以驗證線性函數(shù)。方法是：將對應于各個自變量^的函數(shù)值yi逐項相減，如果相應的各函數(shù)值逐項相減一次都得一常量，即說明y是x的函數(shù)。對線性函數(shù)的驗證如下所述。當y=ax+b時，測得(X，y「)，令x=xo+加，有y二a+b(x+込兀) (i=1,2,…,n)對以上各方程逐差一次，得y廠yi_1二bAx (i-1,2,…,n)以上各式中的Ax是自變量每次的增量，但由于x是等間隔變化的，所以bAx為一恒量。因此，當各函數(shù)值的一次逐差結果都是恒量時，則函數(shù)是線性函數(shù)。隔項逐差隔項逐差是物理實驗中經(jīng)常采用的數(shù)據(jù)處理方法之一，該方法一般用于等間隔線性變化的測量中。根據(jù)誤差處理，我們知道多次測量的算術平均值是測量的最佳值，為了減小隨機誤差，在實驗過程中測量次數(shù)應盡量多。但在等間隔線性變化測量中，如果仍用一般的求平均值的方法，結果將發(fā)現(xiàn)只有第一次和最后一次測量值有用，其中間值全部抵消了，這樣就無法反映出多次測量能減小隨機誤差的優(yōu)點。為保持多次測量的優(yōu)點，應采用隔項逐差的方法。該方法是：將測得的數(shù)據(jù)按次序等分為前后兩組，將后一組的第一項與前一組的第一項相減，后一組的第二項與前一組的第二項相減……，再利用各項減項的差值求出被測量的算術平均值。一次逐差和二次逐差對多項式實施一次逐差處理，即逐差一次，稱為一次逐差。在對多項式進行一次逐差之后，再接著進行第二次逐差處理，即逐差二次，二次逐差要在一次逐差的基礎上進行。一次逐差用于線性函數(shù)的驗證與求值，二次逐差用于二次多項式的驗證與求值。現(xiàn)僅對二次逐差作一簡單介紹。當y=a+bx+cx2時，測得(xi,y.)，則可以推到s2y=§y-5y=2c(Ax)2 (i二1,2,,n)i i+1 i其中§yi=yi+1-yi為一次逐差結果，心為自變量每次變化值(為恒定值),故若發(fā)現(xiàn)二次逐差量為定值時，可說明y是"的二次多項式。關于逐差法的說明在驗證函數(shù)表達式的形式時，要用逐項逐差，不用隔項逐差，這些可以檢驗每個數(shù)據(jù)點之間的變化是不是符合規(guī)律。在求某一物理量的算術平均值時，要用隔項逐差，不用逐項逐差；否則只有首位兩項數(shù)據(jù)起作用，中間數(shù)據(jù)會相互消去而白白浪費。一次逐差用于線性函數(shù)，二次逐差用于二次多項式。在工科物理教學實驗中所用到的逐差法，大多為線性函數(shù)的求值問題，因此，對一次隔項逐差求算術平均值的方法，應當牢固掌握、熟練運用。逐差法只適用于自變量x為等間隔變化而函數(shù)y為線性函數(shù)或多項式形式的函數(shù)。后者需用多次逐差，一般用來驗證多項式形式的函數(shù)關系逐差法的局限性逐差法有其局限性，如非線性函數(shù)線性化以后，如果原來各個數(shù)據(jù)是等精度的，經(jīng)過函數(shù)變換以后可能成為非等精度的，此時用逐差法處理數(shù)據(jù)就是要考慮這個問題；其次，用逐差法求多項式的系數(shù)時，是先得求出最高次項系數(shù)，再逐步推其低次項系數(shù)，而高次項系數(shù)是經(jīng)n次逐差而得到的，在某些情況下可以較準確，而在許多情況下往往是不太準確的。由于誤差的傳遞，低次項系數(shù)的精確度就更差了。因此，逐差法處理數(shù)據(jù)除一次項逐差法外，較少求低次項系數(shù)。但是，由于逐差法只是需要用簡單的代數(shù)運算就可以進行計算，其處理方法的物理內(nèi)涵明確，方法簡單易懂。因此，作為基本的實驗數(shù)據(jù)處理方法的訓練內(nèi)容，在基礎物理實驗中還是一種良好的處理方法。在拉伸法測量鋼絲的楊氏彈性模量實驗中，已知望遠鏡中標尺讀數(shù)x和加砝碼質量m之間滿足線性關系m=kx，式中k為比例常數(shù)，現(xiàn)要求計算k的數(shù)值，

見表1-2表1-2、序欠12345678910ni 0112233445/kg.500.000.500.000.500.000.500.000.500.000x1111111222/cm5.956.557.187.808.409.029.630.220.841.47如果用逐項相減，然后再計算每增加0.500kg砝碼標尺讀數(shù)變化的平均值Ax，即iAxiYAxAxii-i=1 n一x■2 1一x■2 1-x)+■3 2 +(x10 9(x-x)21.47-15.95—io 1-=9=9=0.613(cm)于是比例系數(shù)Axik二Am=1.23(cm/kg)=1.23X10-2(m/kg)這樣中間測量值x9，兀8，…，x2全部未用，僅用到了始末2次測量值xio數(shù)據(jù)分成后組（x10，x9 ，數(shù)據(jù)分成后組（x10，x9 ，x8 ，x7，兀6）和前組（兀5， ，x3，x2，xi），-x-x)+(x-x)+(x-x) 3 7 2 6 1—5(x-x)+(x-x)+(x10 5 9 4 ；Ax_5=丄=5[(21.47-18.40)+(20.84-17.80)+(20.22-17.18)+(19.63—16.55)+

(19.02-15.95)]1=5(3.07+3.04+3.04+3.08+3.07)=3.06(cm)于是，25 3.06k二5m=5x0.500=1.22(cm/kg)=1.22X10亠(m/kg)A“5是每增加5個砝碼，標尺讀數(shù)變化的平均值。這樣全部數(shù)據(jù)都用上，相當于重復測量了5次。應該說，這個計算結果比前面的計算結果要準確些，它保持了多次測量的優(yōu)點，減少了測量誤差。5最小二乘法（線性回歸）由一組實驗數(shù)據(jù)擬合出一條最佳直線，常用的方法是最小二乘法。設物理量y和x之間的滿足線性關系，則函數(shù)形式為y=a+bx最小二乘法就是要用實驗數(shù)據(jù)來確定方程中的待定常數(shù)a和b，即直線的斜率和截距。我們討論最簡單的情況，即每個 “圖5-1y的測量偏差i￡n，見圖5-1。這樣，將實驗數(shù)據(jù)（x,，y,）測量值都是等精度的，且假定x和y值中只有y有明顯的測量隨機誤差。如果x和y均有誤差，只要把誤差相對較小的變量作為x即可。由實驗測量得到一組數(shù)據(jù)為W，y,;=12n），其中x=x.時對應的y=y,。由于測量總是有誤差的，我們將這些誤差歸結為y圖5-1y的測量偏差i￡n，見圖5-1。這樣，將實驗數(shù)據(jù)（x,，y,）y-(a+bx)=￡111y-(a+bx)=￡222y-(a+bx)=￡nnn我們要利用上述的方程組來確定a和b，那么a和b要滿足什么要求呢？顯然，比較合理的a和b是使￡1，￡n數(shù)值上都比較小。但是，每次測量的誤差不會相同，反映在￡1，￡然，比