高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程3.3點(diǎn)到直線的距離3.4兩條平行直線間的距離基礎(chǔ)訓(xùn)練含解析新人教A版必修

PAGEPAGE10點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離基礎(chǔ)過關(guān)練題組一點(diǎn)到直線的距離1.(2021浙江湖州高二上期末)點(diǎn)(-1,0)到直線x+y-1=0的距離是 ()A.2 B.22 C.1 D.2.若點(diǎn)(1,a)到直線x-y+1=0的距離是322,則實(shí)數(shù)a的值為 (A.-1 B.5 C.-1或5 D.-3或33.點(diǎn)P在x軸上,且到直線3x-4y+6=0的距離為6,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ()A.(8,0) B.(-12,0)C.(8,0)或(-12,0) D.(-8,0)或(12,0)4.(2021四川遂寧高二上期末)直線x+y-1=0與直線x-2y-4=0交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到直線kx-y+1+2k=0(k∈R)的最大距離為 ()A.2 B.2 C.25 D.45.若直線l經(jīng)過點(diǎn)(-1,-2),且原點(diǎn)到直線l的距離為1,則直線l的方程為 ()A.3x-4y-5=0B.x=-1C.3x-4y-5=0或y=-1D.3x-4y-5=0或x=-16.點(diǎn)P是直線5x-12y+8=0上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|OP|的最小值為 ()A.13 B.813 C.8 D.7.點(diǎn)(a,b)到直線xb+ya=0的距離d=8.(2021河南許昌高一期末)已知點(diǎn)A(1,3),B(3,1),C(-1,0),則△ABC的面積為.

9.(2021海南三亞高一月考)已知直線l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0(m∈R)過定點(diǎn)A,則點(diǎn)A到直線l':x+y=1的距離是.

10.已知點(diǎn)A(4,-3),B(2,-1)和直線l:4x+3y-2=0,求一點(diǎn)P,使|PA|=|PB|且點(diǎn)P到直線l的距離等于2.11.在△ABC中,A(3,3),B(2,-2),C(-7,1),求∠BAC的平分線AD所在直線的方程.題組二兩條平行直線間的距離12.(2020天津和平高二月考)兩直線3x+4y-2=0與6x+8y-5=0之間的距離等于 ()A.3 B.7 C.110 D.13.(2020湖南雅禮中學(xué)高一期末)設(shè)兩條直線的方程分別為x+y-a=0,x+y+b=0,已知a,b是關(guān)于x的方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則這兩條直線之間的距離是()A.24 B.2 C.22 14.(2021北京石景山高二上期中)若平面內(nèi)兩條平行線l1:x+(a-1)y+2=0與l2:ax+2y+1=0間的距離為355,則實(shí)數(shù)a的值為 (A.-2 B.-2或1C.-1 D.-1或215.(2020天津?yàn)I海新區(qū)高二上期中)若兩平行直線x+2y+m=0(m>0)與x-ny-3=0間的距離是5,則m+n= ()A.0 B.1 C.-1 D.-216.(2020江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下期中)已知直線l1:4x+2y-7=0和l2:2x+y-1=0,直線m分別與l1,l2交于A,B兩點(diǎn),則線段AB長度的最小值為.

17.(2021華東師大二附中高二上月考)若直線m被兩平行線l1:x+y=0與l2:x+y+6=0所截得的線段的長為23,則m的傾斜角可以是.(寫出所有正確答案的序號)

①15°;②45°;③60°;④105°;⑤120°;⑥165°.能力提升練一、選擇題1.(2021山東濟(jì)南高二上期末,)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在直線l1:3x-4y+1=0上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q在直線l2:6x+my+4=0上運(yùn)動(dòng),且l1∥l2,則|PQ|的最小值為 ()A.35 B.310 C.152.()若兩平行直線3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之間的距離為21313,則c+2a的值為A.-1 B.1 C.0 D.-1或13.()若點(diǎn)(a,b)是直線y=3x-3上的點(diǎn),則(a+1)2+b2的最小值是 ()A.0 B.3 C.32 4.()若動(dòng)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動(dòng),則線段AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A.32 B.23 C.33 D.425.(2021陜西榆林高一上期末,)已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足ab=c-1d-3=43,則(a-c)2+(b-dA.8125 B.95 C.12125二、填空題6.()若直線l:x-3y-2=0上的兩點(diǎn)與點(diǎn)M(-2,2)構(gòu)成等邊三角形,則這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、.

7.()已知平面上一點(diǎn)M(5,0),若直線l上存在點(diǎn)P,使|PM|=4,則稱該直線為點(diǎn)M的“相關(guān)直線”,下列直線中是點(diǎn)M的“相關(guān)直線”的是(填序號).

①y=x+1;②y=2;③4x-3y=0;④2x-y+1=0.三、解答題8.(2021河南焦作高一上期末,)分別求出符合下列條件的直線方程:(1)經(jīng)過點(diǎn)(3,1)但不過坐標(biāo)原點(diǎn),且在x軸上的截距等于在y軸上截距的3倍;(2)經(jīng)過直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的交點(diǎn)P,且與點(diǎn)A(1,1),B(-5,7)等距離.9.(2019山東平邑第一中學(xué)高一測試,)過點(diǎn)(2,3)的直線l被兩平行直線l1:2x-5y+9=0與l2:2x-5y-7=0所截線段AB的中點(diǎn)恰在直線x-4y-1=0上,求直線l的方程.10.(2019甘肅武威十八中高一測試,)(1)求平行于直線3x+4y-12=0,且與它的距離是7的直線方程;(2)求垂直于直線x+3y-5=0,且與點(diǎn)P(-1,0)的距離是310511.(2021浙江紹興高二上期末,)已知直線l1:x+2y-3=0和l2:2x+y-3=0相交于點(diǎn)A.(1)求經(jīng)過點(diǎn)A且與l1垂直的直線方程;(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P(0,-1)的直線l與l1,l2分別交于B,C兩點(diǎn),若|AB|=|AC|,求直線l的方程.3.3.3點(diǎn)到直線的距離3.3.4兩條平行直線間的距離基礎(chǔ)過關(guān)練1.A2.C3.C4.C5.D6.B12.C13.C14.C15.A1.A點(diǎn)(-1,0)到直線x+y-1=0的距離d=|-1+0-1|122.C由點(diǎn)到直線的距離公式可得|1-a+1|12+(-1)23.C設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0),則|3x-4×0+6|32+∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,0)或(-12,0),故選C.4.C由x+y-1=0,x由kx-y+1+2k=0,得k(x+2)-y+1=0,所以直線kx-y+1+2k=0恒過點(diǎn)(-2,1),設(shè)為Q,所以點(diǎn)P到直線kx-y+1+2k=0的最大距離為|PQ|=[2-(-2)]25.D當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),方程為x=-1,滿足題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0,∴原點(diǎn)到直線l的距離d=|k解得k=34∴直線l的方程為34x-y-54=0,即3x-4y綜上所述,直線l的方程為x=-1或3x-4y-5=0,故選D.6.B點(diǎn)P是直線5x-12y+8=0上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|OP|的最小值就是點(diǎn)O到該直線的距離,即|0-0+8|527.答案a解析把直線方程xb+ya=0化成一般式為ax+利用點(diǎn)到直線的距離公式,得d=|a2+8.答案5解析由題意得|AB|=(3-1AB邊所在直線的方程為y-31-3=x-13-1,即x+y-4=0,點(diǎn)C因此,S△ABC=12×22×529.答案22解析由2x+mx+y-2my+4-3m=0,得2x+y+4+m(x-2y-3)=0,令2解得x所以A(-1,-2),所以點(diǎn)A到直線l':x+y=1的距離為|-1-2名師支招定點(diǎn)問題:求直線或曲線經(jīng)過的定點(diǎn),常用分離參數(shù)法,一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)λ∈R,結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程,分離參數(shù)得到等式λ2f1(x,y)+λf2(x,y)+f3(x,y)=0(一般地,fi(x,y)(i=1,2,3)為關(guān)于x,y的二元一次代數(shù)式),由上述原理可得方程組f1(10.解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b).易知AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-2),kAB=-3所以線段AB的垂直平分線的方程為y+2=x-3,即x-y-5=0.由題意可知,點(diǎn)P(a,b)在直線x-y-5=0上,故a-b-5=0.①又點(diǎn)P到直線l的距離為2,所以|4由①②得a=1,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-4)或27711.解析設(shè)M(x,y)為∠BAC的平分線AD上的任意一點(diǎn).易知AC邊所在直線的方程為x-5y+12=0,AB邊所在直線的方程為5x-y-12=0.由角平分線的性質(zhì)得|x-5所以x-5y+12=5x-y-12或x-5y+12=y-5x+12,即y=-x+6或y=x.在平面直角坐標(biāo)系中作出△ABC及直線AD,如圖所示,由圖可知kAC<kAD<kAB,即15<kAD所以y=-x+6不合題意,舍去.故所求直線的方程為y=x.12.C解法一:易知兩直線平行,將直線3x+4y-2=0化為6x+8y-4=0,則兩直線間的距離d=|-4-(-5解法二:易知兩直線平行,在3x+4y-2=0上任取一點(diǎn)0,12,其到直線6x+8y-5=0的距離即為兩平行線間的距離,則距離d=0+8×13.C因?yàn)閍,b是關(guān)于x的方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=-1,所以這兩條直線之間的距離d=|-a-b|1214.C∵l1∥l2,∴a(a-1)=2,解得a=-1或a=2,當(dāng)a=-1時(shí),l1:x-2y+2=0,l2:x-2y-1=0,兩直線間的距離為355,當(dāng)a=2時(shí),l1:x+y+2=0,l2:x+y+12=0,兩直線間的距離為324故選C.15.A由直線x+2y+m=0(m>0)與x-ny-3=0平行可得-n=2,即n=-2,因?yàn)橹本€x+2y+m=0(m>0)與x+2y-3=0間的距離為5,所以|m+3|12+22=5,解得m=2或m=-8(故選A.16.答案5解析直線l2:2x+y-1=0即直線4x+2y-2=0,故直線l1,l2為平行直線,則線段AB長度的最小值為兩平行直線間的距離,即|-2-(-717.答案④⑥解析兩平行線間的距離為|6-0|1+1因?yàn)橹本€m被平行線截得的線段的長為23,所以直線m和兩平行線的夾角為30°.易知兩條平行線的傾斜角為135°,故直線m的傾斜角為105°或165°.故答案為④⑥.能力提升練1.C2.D3.D4.A5.A一、選擇題1.C因?yàn)閘1∥l2,所以63=m-4≠41,解得m=-8,所以l2:3x設(shè)l1,l2間的距離為d,則d=|2-1由平行線的性質(zhì)知|PQ|的最小值為15故選C.2.D由題意,得63=a-2≠c-1,所以a=-4,c≠-2.所以直線方程6x+ay+c=0可化為3x-2y+c2=0.由兩平行線間的距離公式,得c解得c=2或c=-6,所以c+2a的值為-1或1,故選3.D(a+1)2+b2可看成點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)(-1,0)之間的距離.易求點(diǎn)(-1,0)到直線y=3x-3∴(a+1)2+b2的最小值為d2=3.故選D.4.A由題意知,點(diǎn)M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上,設(shè)該直線的方程為x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),則|c+7|2=|c+5|2,即c=-6,所以點(diǎn)M在直線x+y-6=0上,所以點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值就是原點(diǎn)到直線x+y5.A因?yàn)閷?shí)數(shù)a,b,c,d滿足ab=c-1所以3a-4b=0,3c-4d+9=0,所以點(diǎn)(a,b)在直線3x-4y=0上,點(diǎn)(c,d)在直線3x-4y+9=0上,所以(a-c)2+(b-d)2的幾何意義就是直線3x-4y=0上的點(diǎn)到直線3x-4y+9=0上點(diǎn)的距離的平方,故所求最小值為|9-0故選A.名師支招本題考查求代數(shù)式的最小值,解題方法是利用平方和的幾何意義(表示兩點(diǎn)間距離的平方),確定坐標(biāo)含參的兩點(diǎn)分別在兩條平行直線上,由平行線間距離公式可得結(jié)論,注意如果所求代數(shù)式是分式型的代數(shù)式,其可能的幾何意義是兩點(diǎn)間連線的斜率.二、填空題6.答案3-1解析易知與l垂直且經(jīng)過點(diǎn)M(-2,2)的直線l'的方程為3x+y+4=0,由x-3所以直線l與l'的交點(diǎn)為N(-1,-1).設(shè)直線l上等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為Ba,a-23,則|MN即(-2+1)2+(解得a=3-1或a=-3-1.所以所求兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為3-1,7.答案②③解析①點(diǎn)M到直線y=x+1的距離d=|5-0+1|12+(-1)2=32>4,即點(diǎn)M與該直線上的點(diǎn)的距離的最小值大于4,所以該直線上不存在點(diǎn)P,使②點(diǎn)M到直線y=2的距離d=|0-2|=2<4,即點(diǎn)M與該直線上的點(diǎn)的距離的最小值小于4,所以該直線上存在點(diǎn)P,使|PM|=4成立,故②中直線是點(diǎn)M的“相關(guān)直線”.③點(diǎn)M到直線4x-3y=0的距離d=|4×5-3×0|42+(-3)2=4,即點(diǎn)M與該直線上的點(diǎn)的距離的最小值等于4,所以該直線上存在點(diǎn)P,使④點(diǎn)M到直線2x-y+1=0的距離d=|2×5-0+1|22+(-1)2=1155>4,即點(diǎn)M與該直線上的點(diǎn)的距離的最小值大于4,所以該直線上不存在點(diǎn)P三、解答題8.解析(1)因?yàn)橹本€不過原點(diǎn),所以可設(shè)所求直線方程為x3a+ya=1(將(3,1)代入所設(shè)方程,解得a=2,所以直線方程為x+3y-6=0.(2)由3x+4y-2=0,2當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程是y-2=k(x+2),即kx-y+(2+2k)=0,由點(diǎn)到直線的距離公式得|k-1+(2+2k)|此時(shí)直線方程為x+y