因子分析例題

因子分析因子分析（FactorAnalysis）是主成分分析的推廣，它也是從研究相關(guān)矩陣內(nèi)部的依賴關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯綜復雜關(guān)系的變量歸結(jié)為少數(shù)幾個綜合變量的一種多變量統(tǒng)計分析方法。第一節(jié)因子分析的基本思想首先我們看下面兩個實際例子：例1.例1.某企業(yè)招聘人才，對每位應聘者進行外貌、申請書的形式、專業(yè)能力、討人喜歡的能力、自信心、洞察力、誠實、推銷本領(lǐng)、經(jīng)驗、積極性、抱負、理解能力、潛在能力、實際能力、適應性等15個方面的考核。這15個方面可歸結(jié)為應聘者的外露能力、討人喜歡的能力、經(jīng)驗、專業(yè)能力4個方面，每一方面稱之為一個公共因子。企業(yè)可根據(jù)這4個公共因子的情況來衡量應聘者的綜合水平。例2.例2.在企業(yè)經(jīng)濟效益的評價中，有經(jīng)濟效益的指標體系。通常這個指標體系有八項指標：固定資產(chǎn)利稅率、資金利稅率、銷售收入利稅率、資金利稅率、固定資產(chǎn)產(chǎn)值率、流動資金周轉(zhuǎn)天數(shù)、萬元產(chǎn)值能耗、全員勞動生產(chǎn)率等。這八項指標可概括為盈利能力、資金和人力利用、產(chǎn)值能耗三個方面。這三個方面在企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營活動中為主要因子，起著支配作用，企業(yè)要提高經(jīng)濟效益就要在這三個公共因子方面下功夫。因子分析的基本思想：是通過變量（或樣品）的相關(guān)系數(shù)矩陣（對樣品是相似系數(shù)矩陣）內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能控制所有變量（或樣品）的少數(shù)幾個隨機變量去描述多個變量（或樣品）之間的相關(guān)（相似）關(guān)系，但在這里，這少數(shù)幾個隨機變量是不可觀測的，通常稱為因子。因子分析分為兩類，即R型因子分析（對變量作因子分析），Q型因子分析（對樣品作因子分析）。第二節(jié)第二節(jié)因子分析的數(shù)學模型1.模型（R型）x=（X,X,…,x）為觀察到的隨機向量，F(xiàn)=（F,F，…,F）是不可觀測的向量設(shè)有即其12p/習夕A'J口JpXl/|/L早，12mIJ夕口JIF早。設(shè)有即其中￡=（￡i,…,￡p）‘稱作誤差或特殊因子。m<m<pcov(F,￡)=0，1）2）3)var（F）=I，var（￡）=diag（bj-.q2）稱F.為第i個公共因子，aj為因子載荷。因子分析與主成分的關(guān)系：

3)聯(lián)系：兩者都可以看作逼近協(xié)方差矩陣￡。差別：主成分分析的數(shù)學模型是一種變換，因子分析模型是描述X的協(xié)方差￡的結(jié)構(gòu)的一種模型。其次，主成分中％.唯一確定，但因子分析中，每個因子的系數(shù)不是唯一的。與多變量回歸分析不同，此處的“自變量”F是不可觀測的。公共因子：因子載荷和變量共同度的統(tǒng)計意義。假定因子模型中，所有變量和因子都已標準化。(1)因子載荷的統(tǒng)計意義設(shè)x=aF+—FaF+si=1,…,pTOC\o"1-5"\h\zii11inm由于Fk,Fj不相關(guān)，且r(F代1即E(xF)=￡aE(FF)=￡ar=aikkjik(FF)ij由于Fk,Fj不相關(guān)，且r(F代1即(i=1,(i=1,—,p)稱作變量氣的共同度：a2var(F)+b2=￡a2+b2=h2+q2

ijjiijiiij=1即1="2即共同度是公共因子所占的X的方差，其共同度越大，說明公共因子var(x)=^Evar(aF)+var(s)=￡iijjij=1包含的七的信息就越多。公共因子f.的方差貢獻的統(tǒng)計意義因子載荷矩陣中列的平方和。稱。為公共因子F｝對七的貢獻，是衡量公共因子相對重要性的指標。第三節(jié)第三節(jié)因子載荷的估計方法這是常用的主成分法，設(shè)隨機向量X=(x1,…，的協(xié)方差為￡，￡的特征值為人Z人>…>X>0其相應的特征向量為e,e,…e,(標準正交基)則.12p12p當公共因子F?有P個時，特殊因子為0，所以，X=AFA為因子載荷陣。因此，D(X)=var(AF)=Avar(F)4=AA,所以，￡=AA'，因此,A為/-,：^e，—，、入eA=(「人e,?—,、'*e)(111\pp)，所以，11Vp/所以第j列因子載何為第j個主成分七與(廠的乘積。所以稱為主成分法。當最后p-m個特征根很小時，去掉1虧，+1，…-"此時，A=(孫1。1，…習m)，方差￡=AA'+￡=(匕：仇e,—e*e)(\快e',—,(入eD'+diaQ(c2,—,c2)S11mm*11'mmag1p另外，當￡未知時，用樣本協(xié)方差，代替￡，或樣本相關(guān)陣R代替。一般設(shè)小、..八八X1>…>七為樣本相關(guān)陣R的特征根，相應的標準正交化特征向量為e1，…,ep。設(shè)人-/-匚刀~-必p，則因子載荷陣的估計為A=(%)即A=(『1匕，…*mem)

第四節(jié)第四節(jié)因子旋轉(zhuǎn)建立因子分析數(shù)學模型的目的不僅是為了找出公共因子，更重要的是要知道每個公共因子的意義，以便對實際問題進行分析。如果每個公共因子的涵義不清，不便于對實際背景進行解釋，這時根據(jù)因子載荷陣的不唯一性，可對因子載荷陣實行旋轉(zhuǎn)，即用一個正交陣右乘使旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣結(jié)構(gòu)簡化，便于對公共因子進行解釋。所謂結(jié)構(gòu)簡化就是使每個變量僅在一個公共因子上有較大的載荷，而在其余公共因子上的載荷比較小。這種變換因子載荷的方法稱為因子旋轉(zhuǎn)。因子旋轉(zhuǎn)有方差最大正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)，此處只介紹方差最大正交旋轉(zhuǎn)。先考慮兩個因子的平面正交旋轉(zhuǎn)，設(shè)因子載荷矩陣為：(aa)1112A=aa::aaIplp2^r=，'cos甲^sin甲-sin甲'cos甲/r為正交矩陣。A%b—..—??（*）bbXplp2/這樣做目的是希望所得結(jié)果能使載荷矩陣的每一列元素按其平方值說或者盡（*）可能大或者盡可能小，即向1和0兩極分化，或者說因子的貢獻越分散越好。這實際上是希望將變量％，%2,…，七分成兩部分，一部分主要與第一因子有關(guān)，另一部分主要與第二因子有關(guān)，這也就是要求（?，...，""'^22）這兩組數(shù)據(jù)的方差要盡可能地大，考慮各列的相對方差這里取bJ是為了消除符號不同的影響，除以h2是為了消除各個變量對公共因子依賴程度不同的影響?，F(xiàn)在要求總的方差達到最大，即要求使G=匕+匕達到最大值，于是考慮G對中的導數(shù)，求出最大值。如果公共因子多于2個，我們可以逐次對每2個進行上述的旋轉(zhuǎn)，當公共因子數(shù)m>2時，可以每次取2個，全部配對旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時總是對A陣中第a列、P列兩列進行，此時公式（*）中只需將aji―aa，aj2―?七就行了。因此共需進行次旋轉(zhuǎn)，但是旋轉(zhuǎn)完畢后，并不能認為就已經(jīng)達到目的，還可以重新開始，進行第二輪Cm2次配對旋轉(zhuǎn)。依次進行，可以是總的方差越來越大，直到收斂到某一極限。例：考察我國各省市社會發(fā)展綜合狀況一、一、運用方法：多元統(tǒng)計一因子分析因子分析的基本思想：通過變量的相關(guān)系數(shù)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能夠控制所有變量的少數(shù)幾個隨機變量的少數(shù)幾個隨機變量去描述多個變量之間的相關(guān)關(guān)系，但在這里，這少數(shù).幾個隨機變量是不可觀測的，通常稱為因子。然后根據(jù)相關(guān)性的大小把變量分組，只得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，但不同組的變量相關(guān)性較低。二、二、因子分析方法的計算步驟：第一步：將原始數(shù)據(jù)標準化。第二步：建立變量的相關(guān)系數(shù)R。第三步：求R的特征根極其相應的單位特征向量。第四步：對因子載荷陣施行最大正交旋轉(zhuǎn)。第五步：計算因子得分。以下是我國各省市綜合發(fā)展情況做因子分析。數(shù)據(jù)表中選取了六個指標分別是:人均GDP（元）X1，新增固定資產(chǎn)（億元）X2，城鎮(zhèn)居民人均年可支配收入（元）X3,農(nóng)村居民機家庭純收入（元）X4，高等學校數(shù)量（所）X5，衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)量（所）X6。原始數(shù)據(jù)見下表：地區(qū)人均gdp新增資產(chǎn)城鎮(zhèn)人均農(nóng)村人均高校數(shù)量衛(wèi)生機構(gòu)北京1026530.8162353223654955天津816449.1349292406213182河北337677.76392116684710266山西281933.9733051206265922內(nèi)蒙古301354.5128631208194915遼寧6103124.0237061756616719吉林370328.6531741609433891黑龍江442748.5133751766387637上海15204128.9371914245455286江蘇5785101.09463424566712039浙江614941.8862212966378721安徽252155.7437951302356593福建538618.3545062048304537江西237626.2833761537315423山東4473102.54426417154810463河南247571.3632991231507661湖北334137.7542081511569744湖南270143.0146991425479137廣東638051.8274382699428848廣西277232.5247911446275571海南48025.354770151951653四川251680.97400211586418885貴州155322.0739311086223934云南249048.4840851010266395陜西234426.313309962466215甘肅192514.843152880174131青海29104.163319102971176寧夏26857.94338299871028新疆393526.6541631136213932數(shù)據(jù)來源《中國統(tǒng)計年鑒》1、將原始數(shù)據(jù)標準化2、建立六個指標的相關(guān)系數(shù)陣R3、共因子方差4、總方差解建立因子載荷陣：5、建立因子載荷陣：由于前三個特征值的累計貢獻率已達93.505%，所以取前三個特征值建立因子載荷陣如下：6、對因子載荷陣施行方差最大旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后得正交因子表矩陣如下：由此有：X1=0.947F1+0.178F2-0.115F3X2=0.940F1+0.105F2+0.261F3X3=0.893F1-0.0747F2+0.404F3X4=0.0364F