基本不等式的綜合應(yīng)用Word版含解析

第2課時(shí)基本不等式的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會(huì)用基本不等式求函數(shù)的最大(小)值問題．(重點(diǎn))2．能利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題．(難點(diǎn))1．通過基本不等式求函數(shù)最值的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．已知x、y都是正數(shù)，(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值eq\f(s2,4)；(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y取得最小值2eq\r(p).上述命題可歸納為：和定積最大，積定和最小．思考：(1)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的積為定值，它們的和一定可以用基本不等式求最小值嗎？(2)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為定值，它們的積一定可以用基本不等式求最大值嗎？提示：(1)不一定，例如a2＋2與eq\f(1,a2＋2)，它們的積為定值，但等號(hào)取不到，因此不能用基本不等式求最小值．(2)不一定，例如1＋a2與1－a2，它們的和為定值，但等號(hào)取不到，因此不能用基本不等式求最大值．1．若a＞1，則a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．2B．a(chǎn)C．eq\f(2\r(a),a－1)D．3D[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋eq\f(1,a－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(（a－1）·\f(1,a－1))＋1＝3.當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝eq\f(1,a－1)，即a＝2時(shí)，等號(hào)成立．]2．設(shè)x＞0，則y＝3－3x－eq\f(1,x)的最大值是()A．3B．－3eq\r(2)C．3－2eq\r(3)D．－1C[∵x＞0，∴y＝3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq\r(3x·\f(1,x))＝3－2eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)3x＝eq\f(1,x)，且x＞0，即x＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，等號(hào)成立．]3．某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元．那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站________千米處．5[依題意得y1＝eq\f(20,x)，y2＝eq\f(4,5)x為倉(cāng)庫(kù)與車站的距離，∴y1＋y2＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)≥2eq\r(16)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)取等號(hào)，所以倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站5千米處．]4．當(dāng)x<eq\f(3,2)時(shí)，求函數(shù)y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值．[解]y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq\f(3,2)，∵當(dāng)x<eq\f(3,2)時(shí)，3－2x>0，∴eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝－eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．于是y≤－4＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，故函數(shù)有最大值－eq\f(5,2).]基本不等式求函數(shù)最值【例1】(1)設(shè)0<x<2，求函數(shù)y＝eq\r(3x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－3x)))的最大值；(2)若x>4，求y＝eq\f(3,x－4)＋x的最小值．[思路點(diǎn)撥](1)3x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－3x))＝8；(2)eq\f(3,x－4)＋x＝eq\f(3,x－4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))＋4.可利用基本不等式求解．[解](1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6，8－3x＞2＞0，∴y＝eq\r(3x（8－3x）)≤eq\f(3x＋（8－3x）,2)＝eq\f(8,2)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝8－3x，即x＝eq\f(4,3)時(shí)，取等號(hào)．∴當(dāng)x＝eq\f(4,3)時(shí)，y＝eq\r(3x（8－3x）)的最大值是4.(2)當(dāng)x＞4時(shí)，x－4＞0，∴eq\f(3,x－4)＋x＝eq\f(3,x－4)＋(x－4)＋4≥2eq\r(\f(3,x－4)×（x－4）)＋4＝2eq\r(3)＋4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,x－4)＝x－4，即x＝4＋eq\r(3)時(shí)，取等號(hào)；∴當(dāng)x＝4＋eq\r(3)時(shí)，y＝eq\f(3,x－4)＋x的最小值是2eq\r(3)＋4.1．應(yīng)用基本不等式求最值必須滿足三個(gè)條件，“一正、二定、三相等”．2．應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，“湊定值”是一個(gè)難點(diǎn)，常用技巧有“拆項(xiàng)”、“添項(xiàng)”、“常值代換”等．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．求函數(shù)y＝eq\f(x2＋7x＋10,x＋1)(x>－1)的最小值.[解]令x＋1＝t>0，∴x＝t－1，∴y＝eq\f(（t－1）2＋7（t－1）＋10,t)＝eq\f(t2＋5t＋4,t)＝t＋eq\f(4,t)＋5≥2eq\r(t·\f(4,t))＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(4,t)，即t＝2，x＝1時(shí)等號(hào)成立．∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝eq\f(x2＋7x＋10,x＋1)(x>－1)取得最小值9.利用基本不等式求條件最值【例2】已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)的最小值.[思路點(diǎn)撥]注意x＋y＝1的使用，構(gòu)造出eq\f(8y,x)和eq\f(2x,y)利用基本不等式．[解]∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1，∴eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))(x＋y)＝10＋eq\f(8y,x)＋eq\f(2x,y)≥10＋2eq\r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＝18.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(8y,x)＝eq\f(2x,y)，即x＝2y時(shí)等號(hào)成立，∴當(dāng)x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)時(shí)，eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)有最小值18.1．本題在解答中要注意使eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)a、b的值也要一并解出來．2．解含有條件的最值問題，常結(jié)合要求最值的式子，采用“配”、“湊”、“常值代換”的方法，構(gòu)造成基本不等式的形式，從而得出最值．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．若x＞0，y＞0，且eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，則x＋y的最小值是()A．3B．6C．9D．12C[x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝1＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)＋4＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥5＋2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝5＋4＝9.當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)＝1,\f(y,x)＝\f(4x,y)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝6))時(shí)等號(hào)成立，故x＋y的最小值為9.]利用基本不等式解決實(shí)際問題【例3】從等腰直角三角形紙片ABC上，剪下如圖所示的兩個(gè)正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，則這兩個(gè)正方形的面積之和的最小值為________．eq\f(1,2)[設(shè)兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為a，b，則由題可得2a＋2b＝2，即a＋b＝1，S＝a2＋b2≥2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up8(2)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．]利用基本不等式解決實(shí)際問題要遵循以下幾點(diǎn)：(1)在理解題意的基礎(chǔ)上設(shè)變量，確定問題中量與量之間的關(guān)系，初步確定用怎樣的函數(shù)模型；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)解析式，將實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)回到實(shí)際問題中，檢驗(yàn)并寫出正確答案．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．要設(shè)計(jì)一個(gè)矩形，現(xiàn)只知道它的對(duì)角線長(zhǎng)度為10，則在所有滿足條件的設(shè)計(jì)中，面積最大的一個(gè)矩形的面積為()A．50B．25eq\r(3)C．50eq\r(3)D．100A[設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為x、y，則x2＋y2＝100.于是S＝xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝50，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立．]運(yùn)用基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)求最值時(shí)．要注意：(1)“拆”“拼”“湊”等變形技巧，使其滿足基本不等式“正”“定”“等”的條件；(2)連續(xù)使用基本不等式時(shí)，取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求每次等號(hào)成立的條件都要滿足．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若a＞1，則a＋eq\f(1,a－1)的最小值是eq\f(2\r(a),a－1).()(2)若a<0，則a＋eq\f(1,a)的最小值是－2.()(3)eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))的最小值是2.()[答案](1)×(2)×(3)×2．若x2＋y2＝1(x、y∈R)，則xeq\r(1＋y2)的最大值為()A．1B．eq\f(\r(5),4)C．eq\r(2)D．以上都不對(duì)A[xeq\r(1＋y2)≤eq\f(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(1＋y2)))\s\up8(2),2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋y2))＋1,2)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)取等號(hào)．]3．設(shè)0<x<1，a，b都為大于零的常數(shù)，則eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)的最小值為()A．(a－b)2 B．(a＋b)2C．a(chǎn)2b2 D．a(chǎn)2B[∵eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)＝(1－x＋x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)＋\f(b2,1－x)))＝eq\f(（1－x）a2,x)＋eq\f(xb2,1－x)＋a2＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(a,a＋b)時(shí)，取等號(hào)，∴選B.]4．若x>0，則x＋eq\f(2,x)的最小值是________．2eq\r(2)[x＋eq\f(2,x)≥2eq\r(x·\f(2,x))＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，等號(hào)成立．]5．已知0<x<eq