2018高考·數(shù)學(xué)-第14章第四講二項分布與其應(yīng)用、正態(tài)分布

2018高考·數(shù)學(xué)-第14章第四講二項分布與其應(yīng)用、正態(tài)分布第一頁，共44頁。目錄Contents考情精解讀考點1考點2A.知識全通關(guān)B.題型全突破考法1考法2考法4考法3C.能力大提升易混易錯第二頁，共44頁?？记榫庾x第三頁，共44頁?？季V解讀命題趨勢命題規(guī)律考情精解讀1考試大綱011.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念,理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布,并能解決一些簡單的實際問題.2.利用實際問題的直方圖,了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布第四頁，共44頁?？季V解讀命題規(guī)律考情精解讀2命題趨勢

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布考點2016全國2015全國2014全國自主命題區(qū)域二項分布及其應(yīng)用【30%】2016四川,12,5分正態(tài)分布【10%】全國Ⅰ,18(Ⅱ)2015山東,8,5分第五頁，共44頁?？季V解讀命題規(guī)律考情精解讀3返回目錄1.熱點預(yù)測

利用事件的相互獨立性或二項分布求概率、分布列、均值和方差仍然是高考考查本講內(nèi)容的重點,獨立事件的概率、二項分布、條件概率和正態(tài)分布一般以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn),分值為5分,分布列、均值和方差一般以解答題的形式呈現(xiàn),分值12分.2.趨勢分析

預(yù)測2018年,仍以獨立事件的概率,二項分布及其應(yīng)用的考查為主,條件概率和正態(tài)分布雖然考查比較少,但也需要引起重視.命題趨勢

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布第六頁，共44頁。知識全通關(guān)第七頁，共44頁。知識全通關(guān)1考點1

二項分布及其應(yīng)用繼續(xù)學(xué)習(xí)

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布1.條件概率及其性質(zhì)條件概率:一般地,設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率.條件概率的性質(zhì):(1)非負(fù)性:0≤P(B|A)≤1.(2)可加性:如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).第八頁，共44頁。知識全通關(guān)2

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)【注意】P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,而P(AB)表示事件A,B同時發(fā)生的概率,這是兩個不同的概念,在P(A)>0的條件下,P(AB)=P(A)P(B|A).2.事件的相互獨立性設(shè)A,B為兩個事件,若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨立.相互獨立事件的性質(zhì):(1)如果事件A,B相互獨立,那么A與,與B,與也相互獨立.(2)若事件A1,A2,…,An(n>2,n∈N*)相互獨立,則這n個事件同時發(fā)生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).(3)若A與B相互獨立,則P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)(P(A)>0).第九頁，共44頁。知識全通關(guān)3

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)互斥事件與相互獨立事件的相同點與不同點(1)相同點,二者都是描述兩個事件間的關(guān)系;(2)不同點,互斥事件強(qiáng)調(diào)兩事件不可能同時發(fā)生,相互獨立事件則強(qiáng)調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響;相互獨立事件不一定互斥,即可能同時發(fā)生,而互斥事件不可能同時發(fā)生.

【名師提醒】第十頁，共44頁。知識全通關(guān)4繼續(xù)學(xué)習(xí)

高考幫數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布3.獨立重復(fù)試驗與二項分布(1)獨立重復(fù)試驗:一般地,在相同的條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗.【注意】(1)獨立重復(fù)實驗的條件:①每次試驗在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行;②各次試驗是相互獨立的;③每次試驗都只有兩種結(jié)果,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生.(2)獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字樣,用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單.(2)二項分布:一般地,在n次獨立重復(fù)試驗中,設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.則稱隨機(jī)變量X服從二項分布,記作X~B(n,p),并稱p為成功概率.第十一頁，共44頁。知識全通關(guān)5

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)

【名師提醒】第十二頁，共44頁。知識全通關(guān)6

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)考點2

正態(tài)分布1.正態(tài)曲線及其特點我們把函數(shù)

x∈(-∞,+∞)(其中μ是樣本均值,σ是樣本標(biāo)準(zhǔn)差)的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線的性質(zhì):(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交;(2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱;(3)曲線在x=μ處達(dá)到峰值(最大值);(4)曲線與x軸之間的面積為1;(5)當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖14-4-1(1)所示;(6)當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖14-4-1(2)所示.圖14-4-1第十三頁，共44頁。知識全通關(guān)7高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)2.正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示如圖14-4-2,如果對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,常記作N(μ,σ2).如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則記為X~N(μ,σ2).(2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.(3)3σ原則由P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974,知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi).而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.在實際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之間的值,并簡稱之為3σ原則.圖14-4-2第十四頁，共44頁。返回目錄

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布題型全突破8【名師提醒】(1)在N(μ,σ2)中,第二個數(shù)是σ2,而不是σ;(2)若X~N(μ,σ2),則隨機(jī)變量X在μ的附近取值的概率很大,在離μ很遠(yuǎn)處取值的概率很小;3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在正態(tài)分布中,若μ=0,σ=1,則正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,相應(yīng)的分布密度函數(shù)為f(x)=

,x∈R,相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)在正態(tài)分布的研究中占有重要的地位,因為任何正態(tài)分布的概率問題都可以轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題來求解.第十五頁，共44頁。題型全突破第十六頁，共44頁?？挤?

條件概率的計算

繼續(xù)學(xué)習(xí)

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布題型全突破1考法指導(dǎo)

計算條件概率的方法一般有下面兩種:(1)利用定義計算,先分別計算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=(2)利用縮小樣本空間法計算(局限在古典概型內(nèi)),即將原來的樣本空間Ω縮小為已知的事件A,原來的事件B縮小為AB,利用古典概型計算概率:P(B|A)=【注意】

P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之間關(guān)系的應(yīng)用,即P(B|A)=,P(A|B)=,P(AB)=P(A|B)·P(B)=P(B|A)·P(A）.第十七頁，共44頁。高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破2考法示例1

在100件產(chǎn)品中有95件合格品,5件不合格品.現(xiàn)從中不放回地取兩次,每次任取一件,則在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率為

.

【思路分析】根據(jù)條件概率的定義求解或用縮小樣本空間的方法求解.第十八頁，共44頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破3【解析】

解法二

第一次取到不合格品后,也就是在第二次取之前,還有99件產(chǎn)品,其中有4件不合格的,因此第二次取到不合格品的概率為解法一

設(shè)事件A為“第一次取到不合格品”,事件B為“第二次取到不合格品”,則P(AB)=所以P(B|A)=第十九頁，共44頁。高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布考法2相互獨立事件概率的計算繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破4考法指導(dǎo)

1.求相互獨立事件概率的步驟計算相互獨立事件同時發(fā)生的概率,一般分為以下幾步:第一步,先用字母表示出題中有關(guān)事件;第二步,根據(jù)題設(shè)條件,分析事件間的關(guān)系;第三步,將需要計算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個乘積之和(相互乘積的事件之間必須滿足相互獨立);第四步,利用乘法公式計算概率.此外,也可以從對立事件入手計算概率.第二十頁，共44頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破52.相互獨立事件的概率的求法(1)直接法:利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解;(2)間接法:正面計算較煩瑣(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時,可從其對立事件入手計算.與相互獨立事件A,B有關(guān)的概率的計算公式如下表:事件A,B相互獨立概率計算公式A,B同時發(fā)生P(AB)=P(A)P(B)A,B同時不發(fā)生P(

)=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)A,B至少有一個不發(fā)生P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)A,B至少有一個發(fā)生P=1-P(AB)=1-P()P()=P(A)+P(B)-P(A)P(B)A,B恰有一個發(fā)生P=P(A+B)=P(A)P()+P()·P(B)=P(A)+P(B)-2P(A)P(B)第二十一頁，共44頁。高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破6考法示例2

甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球.約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都投球3次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為,乙每次投籃投中的概率為,且各次投籃互不影響.(1)求甲獲勝的概率;(2)求投籃結(jié)束時甲的投球次數(shù)ξ的分布列與期望【思路分析】(1)直接利用互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式求解(2)求出ξ取各個值的概率→求分布列和期望第二十二頁，共44頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破7【解析】

設(shè)Ak,Bk分別表示“甲、乙在第k次投籃投中”,則(1)記“甲獲勝”為事件C,由互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式知第二十三頁，共44頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破8【解析】

(2)ξ的所有可能取值為1,2,3,且P(ξ=1)=P(A1)+P(B1)=

P(ξ=2)=P(A2)+P(B2)=綜上知,ξ的分布列為ξ123P第二十四頁，共44頁。知識全通關(guān)10高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)一個實際問題中往往涉及多個事件,正確理解這些事件之間的相互關(guān)系是解決問題的核心,一般的思路是先把所要解決的隨機(jī)事件分成若干個互斥事件的和,再把這些互斥事件中的每一個事件分成若干個相互獨立事件的乘積,把所要求的隨機(jī)事件的概率計算轉(zhuǎn)化為已知的一些事件的概率之積、之和的計算,這是化解概率計算問題難點的關(guān)鍵..【突破攻略】第二十五頁，共44頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布考法3二項分布的應(yīng)用繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破11考法指導(dǎo)

1.二項分布的簡單應(yīng)用是求n次獨立重復(fù)試

驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率.解題的一般思路是:根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量→分析出隨機(jī)變量服從二項分布→找到參數(shù)n,p→將k值代入求解概率→寫出二項分布的分布列.2.若離散型隨機(jī)變量X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p),即其均值和方差的求解既可以利用定義,也可以直接代入上述公式.第二十六頁，共44頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破12考法示例3

某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%,計算(結(jié)果保留到小數(shù)點后第2位):(1)5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率;(2)5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率;(3)5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確,且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率.【思路分析】直接代入公式求解,其中第(2)問可以利用對立事件求概率.第二十七頁，共44頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破13【解析】

【點評】弄清“5次中有2次準(zhǔn)確且第3次準(zhǔn)確”表示的意義是求解第(3)問的關(guān)鍵,它表示第3次準(zhǔn)確,其他4次有1次是準(zhǔn)確的.令X表示5次預(yù)報中預(yù)報準(zhǔn)確的次數(shù),則X~B(5,),故其分布列為(1)“5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確”的概率為(2)“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的概率為(3)“5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確,且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確”的概率為第二十八頁，共44頁。高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破14考法示例4

某市為了調(diào)查學(xué)?！瓣柟怏w育活動”在高三年級的實施情況,從本市某校高三男生中隨機(jī)抽取一個班的男生進(jìn)行投擲實心鉛球(重3kg)測試,成績在6.9米以上的為合格.把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后,分成5組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖14-4-5所示),已知成績在[9.9,11.4)的頻數(shù)是4.(1)求這次鉛球測試成績合格的人數(shù);(2)若從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機(jī)抽取兩名,記ξ表示兩人中成績不合格的人數(shù),利用樣本估計總體,求ξ的分布列、均值與方差.第二十九頁，共44頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破15【解析】

(1)由頻率分布直方圖,知成績在[9.9,11.4)的頻率為1-(0.05+0.22+0.30+0.03)×1.5=0.1.因為成績在[9.9,11.4)的頻數(shù)是4,故抽取的總?cè)藬?shù)為4/0.1=40.又成績在6.9米以上的為合格,所以這次鉛球測試成績合格的人數(shù)為40-0.05×1.5×40=37.第三十頁，共44頁。高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破16【解析】

(2)

ξ的所有可能的取值為0,1,2,利用樣本估計總體,從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機(jī)抽取一名成績合格的概率為,成績不合格的概率為,可判斷ξ~B(2,).X012P第三十一頁，共44頁。高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布考法4

正態(tài)分布及其應(yīng)用繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破17考法指導(dǎo)

對于正態(tài)分布N(μ,σ2),由x=μ是正態(tài)曲線的對稱軸知:(1)P(x≥μ)=P(x≤μ)=0.5;(2)對任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);(3)P(X<x0)=1-P(X≥x0);(4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).服從N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率的求法:(1)利用P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值直接求;(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這些特殊性質(zhì)求解.第三十二頁，共44頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破18考法示例5

若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),已知P(ξ<-1.96)=0.025,則P(|ξ|<1.96)=

【思路分析】由題意可知μ=0→可知正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱→可得P(|ξ|<1.96)第三十三頁，共44頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破19【解析】

由隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),得P(ξ<1.96)=1-P(ξ≤-1.96),所以P(|ξ|<1.96)=P(-1.96<ξ<1.96)=P(ξ<1.96)-P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ<-1.96)=1-2×0.025=0.950.【答案】C第三十四頁，共44頁。高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破20考法示例6

為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況,抽查了該地區(qū)1000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況,抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(μ,22),且正態(tài)曲線如圖14-4-6所示.若體重大于58.5kg小于等于62.5kg屬于正常情況,則這1000名男生中體重屬于正常情況的人數(shù)是

A.997 B.954 C.819 D.683【思路分析】解決本題的關(guān)鍵是求P(58.5<X≤62.5).第三十五頁，共44頁。返回目錄

高考幫·數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布題型全突破21【解析】

由題意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,從而體重屬于正常情況的人數(shù)是1000×0.6826≈683.【答案】

D第三十六頁，共44頁。能力大提升第三十七頁，共44頁?；煜椃植寂c超幾何分布致誤繼續(xù)學(xué)習(xí)

高考幫數(shù)學(xué)第四講二項分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布能力大提升1二項分布和超幾何分布是兩類重要的概率分布模型,這兩種分布存在著很多的相似之處,在應(yīng)用時應(yīng)注意各自的適用條件和情境,以免混用出錯.

示例7某農(nóng)場計劃種植某種新作物,為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗.現(xiàn)在在總共8小塊地中,隨機(jī)選4小塊地種植品種甲,另外4小塊地種植品種乙.種植完成后若隨機(jī)選出4塊地,其中種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X,求X的分布列和均值.【思路分析】判斷分布的類型→確定X的取值及其概率→列出分布列并求均值第三十八頁，共44頁。繼續(xù)學(xué)習(xí)

高考幫·數(shù)學(xué)