材料力學(xué)之應(yīng)力狀態(tài)

材料力學(xué)之應(yīng)力狀態(tài)第一頁，共137頁。本章要點（1）平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法和圖解法（2）強度理論（包括莫爾強度理論）重要概念單元體、平面應(yīng)力狀態(tài)、平面應(yīng)變狀態(tài)、主應(yīng)力、主應(yīng)變、廣義虎克定律，強度理論。2第二頁，共137頁?！?-1應(yīng)力狀態(tài)的概念和實例目錄§8-2平面應(yīng)力狀態(tài)下的任意斜截面上的應(yīng)力§8-3平面應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力,主應(yīng)力§8-4三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力§8-5廣義胡克定律§8-6強度理論3第三頁，共137頁?！?-1應(yīng)力狀態(tài)的概念和實例.應(yīng)力狀態(tài)的概念：

由第二章分析軸向拉壓時,直桿截面上的應(yīng)力時可知：隨著所取截面的方向不同,截面上的應(yīng)力也不同。由分析圓軸扭轉(zhuǎn)及梁彎曲時,

由橫截面上的應(yīng)力公式,可知:在同一橫截面上的各點,應(yīng)力也是不相同的,即應(yīng)力不僅隨著截面方向的不同而不同,而且在同一截面上的各點應(yīng)力也不一定完全相同。定義:截面上一點處,不同方位截面上在該點處應(yīng)力的全部情況,就稱為該點的

應(yīng)力狀態(tài)。1.一點的應(yīng)力狀態(tài)4第四頁，共137頁。為了研究一點的應(yīng)力狀態(tài)，圍繞該點截取一微小的

正六面體,這個微小正六面體就稱為單元體。由于單元體很微小,故可以把它的各個面上的應(yīng)力看做是均勻分布的。單元體兩個平行平面上的應(yīng)力,可看成是相等的。這個單元體的應(yīng)力情況可以代表該點的應(yīng)力狀態(tài)。在受力構(gòu)件中的某一點,總可以找出一個單元體,在這個單元體的各個面上只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力。主單元體：各個面上剪應(yīng)力為零的單元體；主平面：主單元體上的各個面；主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。2.單元體：3.主單元體,主平面,主應(yīng)力定義：312231xyxxyxxyyy5第五頁，共137頁。4.應(yīng)力狀態(tài)的分類：(1).單向應(yīng)力狀態(tài):三個主應(yīng)力中,只有一個不為零——又稱簡單應(yīng)力狀態(tài)。(2).二向應(yīng)力狀態(tài):三個主應(yīng)力中,只有一個為零。(3).三向應(yīng)力狀態(tài):三個主應(yīng)力都不為零?！蚝腿驊?yīng)力狀態(tài)又稱復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。312231221111三個主應(yīng)力用

σ1、σ2、σ3

表示，按代數(shù)值大小順序排列,即

σ1≥σ2≥σ3

6第六頁，共137頁。橫截面，周向面，直徑面各一對一對橫截面，兩對縱截面PPAs=FN/AsATeTeBt=Te/WnB同b)，但從上表面截取CtssPMeMeCPCABBtBCtCsCsCAsAsA從A、B、C三點截取單元體的選取:使單元體各個面上的應(yīng)力已知或可以計算。7第七頁，共137頁。例題

1畫出如圖所示梁S

截面的應(yīng)力狀態(tài)單元體.54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面8第八頁，共137頁。S平面254321543211x1x1x2x2223339第九頁，共137頁。12yxzy4321FSMZTxzy43213例題2畫出如圖所示梁的危險截面上,危險點的應(yīng)力狀態(tài)

單元體。

alSF10第十頁，共137頁。例題3分析薄壁圓筒受內(nèi)壓時的應(yīng)力狀態(tài)p薄壁圓筒的橫截面面積mmnp′(1).沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為FFnn11第十一頁，共137頁。直徑平面(2).假想用一直徑平面將圓筒截分為二,并取下半環(huán)為研究對象p"yOFNFNdｐｐ×Ｄ×ｌ12第十二頁，共137頁。圓桿受扭轉(zhuǎn)和拉伸共同作用13第十三頁，共137頁?！?-2平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示,

單元體上有

x

,xy

和

y,yxxxyzyxyyxxyxyyx14第十四頁，共137頁。xyaxxyxxyefnxxyzyxyyxxyxyyx一.解析法：

—

求與主平面垂直的任意斜截面上的應(yīng)力15第十五頁，共137頁。σ：拉應(yīng)力為正τ：順時針轉(zhuǎn)動為正α：逆時針轉(zhuǎn)動為正efaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcos16第十六頁，共137頁。平衡對象—用斜截面截取的

微元局部

平衡方程tyx參加平衡的量—應(yīng)力乘以其作用的面積A平衡條件的應(yīng)用

—微元局部的平衡方程，Aα17第十七頁，共137頁。tyxdAqnsxtyxdAqtsx18第十八頁，共137頁。整理并應(yīng)用三角公式得到=常量19第十九頁，共137頁。二.最大正應(yīng)力及方位1.最大正應(yīng)力的方位令0

和

0+90°確定兩個互相垂直的平面,一個是最大正應(yīng)力所在的平面,另一個是最小正應(yīng)力所在的平面。20第二十頁，共137頁。2.最大正應(yīng)力將0

和

0+90°代入公式得到max

和min

(主應(yīng)力）下面還必須進一步判斷0

是

x

與哪一個主應(yīng)力間的夾角最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面就是主平面,最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力就是兩個主應(yīng)力21第二十一頁，共137頁。(1).當(dāng)

x>y

時，0

是x

與max

之間的夾角.

(2).

當(dāng)

x<y

時，0是x與min

之間的夾角.(3).

當(dāng)

x=y

時，

0

=45°，則確定主應(yīng)力方向的具體規(guī)則如下若約定

|0|<45°即

0

取值在

±45°范圍內(nèi)主應(yīng)力的方向可由單元體上切應(yīng)力情況直觀判斷出來.22第二十二頁，共137頁。三.最大切應(yīng)力及方位1.最大切應(yīng)力的方位:令1

和1+90o確定兩個互相垂直的平面,一個是最大切應(yīng)力所在的平面,另一個是最小切應(yīng)力所在的平面。23第二十三頁，共137頁。2.最大切應(yīng)力將

1和

1+90°代入公式得到

max和

min比較和可見24第二十四頁，共137頁。例題4

簡支梁如圖所示.已知:

mm

截面上A點的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為=-70MPa，=50MPa.確定:

A

點的主應(yīng)力及主平面的方位.AmmalA解：把從A點處截取的單元體放大如圖25第二十五頁，共137頁。因為x<y，所以0=27.5°與min

對應(yīng)xAA0131326第二十六頁，共137頁。xyxy例題5圖示單元體。已知:

x=-40MPa，y=60MPa，xy=-50MPa。試求:

ef截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位。n30°ef(1)求ef截面上的應(yīng)力27第二十七頁，共137頁。(2)求主應(yīng)力和主單元體的方位x=-40MPa

y=60MPa

xy=-50MPa=-30°因為x

<y

，所以0=-22.5°與min

對應(yīng)28第二十八頁，共137頁。xyxy22.5°1329第二十九頁，共137頁。解:(1)求主平面方位因為

x=y

，且

xy>0例題6

求:平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位.xy所以0=-45°與max

對應(yīng)45°（2）求主應(yīng)力1=，2=0，3=-1330第三十頁，共137頁?！?-3平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法

一.莫爾圓將斜截面應(yīng)力計算公式改寫為把上面兩式等號兩邊平方,然后相加便可消去

,得31第三十一頁，共137頁。因為x，y，xy

皆為已知量,所以上式是一個以

,為變量的圓周方程。當(dāng)斜截面隨方位角變化時,其上的應(yīng)力,

在-

直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個圓。1.圓心的坐標(biāo)2.圓的半徑此圓習(xí)慣上稱為

應(yīng)力圓,或稱為莫爾圓。32第三十二頁，共137頁。(1)建

-坐標(biāo)系,選定比例尺。o二.應(yīng)力圓作法1.步驟xyxxyxxyyy10MPa33第三十三頁，共137頁。Dxyo(2)量取OA=xAD

=xy得D

點xyxxyxxyxAOB=y(3)量取BD′=yx得D′點yByxD′(4)連接

DD′兩點的直線與軸相交于C點(5)以C為圓心,

CD為半徑作圓,該圓就是相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓.C34第三十四頁，共137頁。(1).該圓的圓心C

點到坐標(biāo)原點的距離為(2).該圓半徑為DxyoxAyByxD′C2.證明35第三十五頁，共137頁。三.應(yīng)力圓的應(yīng)用1.求單元體上任一截面上的應(yīng)力從應(yīng)力圓的半徑CD按方位角

的轉(zhuǎn)向,轉(zhuǎn)動

2,得到半徑CE

.圓周上E點的坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力

和切應(yīng)力

。DxyoxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn36第三十六頁，共137頁。證明:37第三十七頁，共137頁。2.幾種對應(yīng)關(guān)系1).

點面對應(yīng)—應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)值

對應(yīng)著微元某一方向截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力;2).

轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)—起量線(截面外法線與半徑線)

相對應(yīng),半徑線旋轉(zhuǎn)方向與法線方位角旋轉(zhuǎn)方向一致;3).

二倍角對應(yīng)—半徑轉(zhuǎn)過的角度是方位角旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。38第三十八頁，共137頁。點面對應(yīng)caA39第三十九頁，共137頁。C轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)、二倍角對應(yīng)q2qaAAa''yx40第四十頁，共137頁。2.求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置(1)主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1

和B1兩點為與主平面對應(yīng)的點，其橫坐標(biāo)為主應(yīng)力1，2

12DxyoxAyByxD′C20FE2B1A141第四十一頁，共137頁。20DxyoxAyByxD′C12A1B1(2)主平面方位由

CD

順時針轉(zhuǎn)20

到

CA1所以單元體上從x軸順時針轉(zhuǎn)0

（負(fù)值）即到1對應(yīng)的主平面的外法線0

即

1

對應(yīng)的主平面方位.42第四十二頁，共137頁。3.求最大切應(yīng)力G1和G2兩點的縱坐標(biāo)分別代表最大和最小切應(yīng)力

20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2因為最大最小切應(yīng)力等于應(yīng)力圓的半徑43第四十三頁，共137頁。o例題7

從水壩體內(nèi)某點處取出的單元體如圖所示,x=-1MPa,y=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx=0.2MPa,(1)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓(2)確定此單元體在=30o

和

=-40o

兩斜面上的應(yīng)力。xyxy解:(1)畫應(yīng)力圓量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2

,定出D點;ACBOB

=y=-0.4

和

BD′

=yx=0.2,定出D′點.

(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD’為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓。44第四十四頁，共137頁。將半徑CD

逆時針轉(zhuǎn)動

2=60°到半徑

CE,

E點的坐標(biāo)就代表=30°斜截面上的應(yīng)力。(2)確定=30°斜截面上的應(yīng)力E60°(3)確定=-40°斜截面上的應(yīng)力將半徑CD順時針轉(zhuǎn)

2=80°到半徑

CF,

F點的坐標(biāo)就代表=-40°斜截面上的應(yīng)力。F80°AD′CBoD30°40°40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa-40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa45第四十五頁，共137頁。例題8

兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，

梁的橫截面尺寸示于圖中。試:繪出截面c上a,b

兩點處的應(yīng)力圓,并用應(yīng)力圓求出這兩點處的主應(yīng)力。12015152709zab250KN1.6m2mABC46第四十六頁，共137頁。+200kN50kN+80kN.m解:

(1)首先計算支反力,并作出梁的剪力圖和彎矩圖Mmax=MC=80kN?mFSmax=FC左=200kN250KN1.6m2mABC47第四十七頁，共137頁。12015152709zab(2).橫截面

C上a點的應(yīng)力為a點的單元體如圖所示axxxyyx48第四十八頁，共137頁。由

x，xy

定出

D

點,由y，yx定出

D′點。以

DD′為直徑作應(yīng)力圓,OC(3).做應(yīng)力圓

x=122.5MPa，xy=64.6MPay=0，yx=-64.6MPa。

AB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1,A2

兩點的橫坐標(biāo)分別代表a點的兩個主應(yīng)力

1

和3.A1

點對應(yīng)于單元體上

1

所在的主平面49第四十九頁，共137頁。

axxxyyx01312015152709zab(4).橫截面

C

上b

點的應(yīng)力B點的單元體如圖所示bxx50第五十頁，共137頁。b

點的三個主應(yīng)力為1所在的主平面就是x平面,即梁的橫截面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′151第五十一頁，共137頁。例:一點處的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。試:用應(yīng)力圓求主應(yīng)力。120o2α0σ1σ152第五十二頁，共137頁。例:一點處的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示(應(yīng)力單位為MPa)。試:用應(yīng)力圓求主應(yīng)力及其作用平面。2α0α053第五十三頁，共137頁。已知:受力物體內(nèi)某一點處三個主應(yīng)力1、2、3利用應(yīng)力圓確定該點的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。一.空間應(yīng)力狀態(tài)下的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力§8-4三向應(yīng)力狀態(tài)分析31223154第五十四頁，共137頁。首先研究與其中一個主平面

(例如主應(yīng)力3

所在的平面)垂直的斜截面上的應(yīng)力。用截面法,沿求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分,取左下部分為研究對象211221355第五十五頁，共137頁。主應(yīng)力

3

所在的兩平面上是一對自相平衡的力，因而該斜面上的應(yīng)力

,

與3

無關(guān),只由主應(yīng)力

1,2決定.與3垂直的斜截面上的應(yīng)力可由1,2

作出的

應(yīng)力圓上的點來表示(看成二向應(yīng)力狀態(tài))2156第五十六頁，共137頁。該應(yīng)力圓上的點對應(yīng)于與3

垂直的所有斜截面上的應(yīng)力;

與主應(yīng)力

2

所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力

,,

可用由1

,3

作出的應(yīng)力圓上的點來表示;與主應(yīng)力

１所在主平面垂直的

斜截面上的應(yīng)力

,,可用由2

,3作出的

應(yīng)力圓的點來表示.A1O2BC32157第五十七頁，共137頁。

abc截面表示與三個主平面斜交的任意斜截面,

可以證明：該截面上應(yīng)力

和對應(yīng)的D點,必位于上述三個應(yīng)力圓所圍成的陰影內(nèi).nA1O2BC3三個應(yīng)力圓圓周上的點及由它們圍成的陰影部分上的

點的坐標(biāo)，代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力。D58第五十八頁，共137頁。A1O2BC3結(jié)論1.

三個應(yīng)力圓圓周上的點及由它們圍成的陰影部分上的

點的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力。2.

該點處的最大正應(yīng)力(指代數(shù)值)應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點的橫坐標(biāo)

1

即3.最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓的半徑4.

最大切應(yīng)力所在的截面,與

2

所在的主平面垂直,并與

1和3所在的主平面成

450角。5.與二向應(yīng)力狀態(tài)一樣,有：=常量59第五十九頁，共137頁。例題9

單元體的應(yīng)力如圖所示,作應(yīng)力圓,并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位。解:

該單元體有一個已知主應(yīng)力因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力

z

無關(guān),依據(jù)x

截面和y

截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓,求另外兩個主應(yīng)力。40MPaxyz20MPa20MPa20MPaσz=20MPa60第六十頁，共137頁。由x，xy

定出D

點,由y，yx

定出D′點.以DD′為直徑作應(yīng)力圓A1，A2

兩點的橫坐標(biāo)分別代表另外兩個主應(yīng)力

1

和3A1A2D′ODC131=46MPa3=-26MPa該單元體的三個主應(yīng)力1=46MPa2=20MPa3=-26MPa根據(jù)上述主應(yīng)力,作出三個應(yīng)力圓,可量出61第六十一頁，共137頁。一.各向同性材料的廣義胡克定律

——討論空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系1.符號規(guī)定(1).

正應(yīng)力:拉應(yīng)力為正,壓應(yīng)力為負(fù).(2).

切應(yīng)力:對單元體內(nèi)任一點取矩,若產(chǎn)生的矩為順時針，則τ為正；反之為負(fù).

(3).

線應(yīng)變:以伸長為正,縮短為負(fù)；(4).

切應(yīng)變:使直角減小為正,增大為負(fù).§8-5

廣義胡克定律

62第六十二頁，共137頁。x方向的線應(yīng)變用疊加原理,分別計算出

x,y,z

分別單獨存在時,

x，y，z方向的線應(yīng)變

x,y，z,然后代數(shù)相加。2.各向同性材料的廣義胡克定律單獨存在時單獨存在時

單獨存在時xyzzzxxyyxyzzzxxyy63第六十三頁，共137頁。在x

、y、z

同時存在時,x方向的線應(yīng)變

x為同理，在x

、y、z

同時存在時,y,z

方向的線應(yīng)變?yōu)樵趚y，yz，zx

三個面內(nèi)的切應(yīng)變?yōu)?4第六十四頁，共137頁。上式稱為廣義胡克定律——沿x、y、z軸的線應(yīng)變——在xy、yz、zx面內(nèi)的角應(yīng)變65第六十五頁，共137頁。對于平面應(yīng)力狀態(tài)(假設(shè)z=0，xz=0，yz=0

)xyzxyxyyxxyxyyx66第六十六頁，共137頁。3.主應(yīng)力-主應(yīng)變的關(guān)系二向應(yīng)力狀態(tài)下：設(shè)3=0已知

1、2、3；1、2、3

為主應(yīng)變或67第六十七頁，共137頁。二.各向同性材料的體積應(yīng)變123a1a2a3構(gòu)件每單位體積的體積變化,稱為體積應(yīng)變用θ表示.各向同性材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變：如圖所示的單元體,三個邊長為a1,a2,a3變形后的邊長分別為變形后單元體的體積為a1(1+，a2(1+2，a3(1+3V1=a1(1+·a2(1+2·a3(1+3單元體的單位體積變化為—體積應(yīng)變68第六十八頁，共137頁。體積應(yīng)變?yōu)榇霃V義胡克定律略去應(yīng)變的二次以上微量或69第六十九頁，共137頁。1.

純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變即在小變形下,切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變.2.

三向等值應(yīng)力單元體的體積應(yīng)變?nèi)齻€主應(yīng)力的平均值為單元體的體積應(yīng)變mmm平均應(yīng)力123a1a2a3體積應(yīng)變胡克定律70第七十頁，共137頁。這兩個單元體的體積應(yīng)變相同mmm123a1a2a3單元體的三個主應(yīng)變?yōu)?1第七十一頁，共137頁。如果變形前單元體的三個棱邊成某種比例,由于三個棱邊應(yīng)變相同,則變形后的三個棱邊的長度仍保持這種比例。所以在三向等值應(yīng)力

m的作用下,單元體變形后的形狀和變形前的相似,稱這樣的單元體是形狀不變的.在一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下,材料的體積應(yīng)變只與三個線應(yīng)變x，y，z

有關(guān),仿照上述推導(dǎo)有：在任意形式的應(yīng)力狀態(tài)下,各向同性材料內(nèi)一點處的體積應(yīng)變與通過該點的任意三個相互垂直的平面上的正應(yīng)力之和成正比,而與切應(yīng)力無關(guān).切應(yīng)力只與單元體的形狀改變有關(guān)。72第七十二頁，共137頁。例題10

邊長

a=0.1m的銅立方塊,無間隙地放入體積

較大,變形可略去不計的鋼凹槽中,如圖所示.已知：銅的彈性模量E=100GPa

,泊松比=0.34,

受到F=300kN的均布壓力作用。求：該銅塊的主應(yīng)力、體積應(yīng)變以及最大切應(yīng)力.解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力aaaFzyxzxy銅塊受力如圖所示,變形條件為73第七十三頁，共137頁。聯(lián)立解兩個式子，解得銅塊的主應(yīng)力為最大切應(yīng)力體積應(yīng)變?yōu)?4第七十四頁，共137頁。例題11一直徑

d=20mm

的實心圓軸,在軸的的兩端加

扭矩

m=126N·m.。在軸的表面上某一點A處用變形儀

測出與軸線成-45°方向的應(yīng)變

=5.010-4

。

試求:此圓軸材料的剪切彈性模量

G。mmA45°x75第七十五頁，共137頁。解：圍繞A點取一單元體A13xy-45°A76第七十六頁，共137頁。Dtymkx例題12

壁厚

t=10mm,外徑D=60mm的薄壁圓筒,在表面上k

點與其軸線成45°和135°角，即x,y

兩方向分別貼上應(yīng)變片，然后在圓筒兩端作用矩為m

的扭轉(zhuǎn)力偶，如圖所示。已知：圓筒材料的彈性常數(shù)為E=200GPa和

=0.3,若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi)，且max=80MPa。試求：k

點處的線應(yīng)變

x,y

以及變形后的筒壁厚度.77第七十七頁，共137頁。解:從圓筒表面k點處取出單元體,其各面上的應(yīng)力分量如圖所示可求得Dtymkx-45°xyk13maxmaxk78第七十八頁，共137頁。K點處的線應(yīng)變

x,y

為（壓應(yīng)變）（拉應(yīng)變）

圓筒表面上

k

點處沿徑向(z軸)的應(yīng)變和圓筒中任一點(該點到圓筒橫截面中心的距離為

)處的徑向應(yīng)變?yōu)橐虼?該圓筒變形后的厚度并無變化,仍然為t=10mm。79第七十九頁，共137頁。bhzb=50mmh=100mm例題13

已知：矩形外伸梁受力F1，F(xiàn)2作用,彈性模量

E=200GPa,泊松比

=0.3,

F1=100KN,F2=100KN。求（1）A

點處的主應(yīng)變

1,

2,3。

（2）A點處的線應(yīng)變

x,

y,z。aAF1F2F2l80第八十頁，共137頁。解：梁為拉伸與彎曲的組合變形.A點有拉伸引起的正應(yīng)力和彎曲引起的切應(yīng)力。（拉伸）（負(fù)）Ax=20x=30(1)A點處的主應(yīng)變

1,2,3:81第八十一頁，共137頁。(2)A點處的線應(yīng)變

x,

y,z:82第八十二頁，共137頁。例題14

簡支梁由

18號工字鋼制成.其上作用有力

F=15kN，E=200GPa,=0.3。求:A點沿

00，450，900

方向的線應(yīng)變0.50.50.25FA0°45°90°h/483第八十三頁，共137頁。解：

yA，Iz，d查表得出為圖示面積對中性軸

z的靜矩zAh/4AA=50.8A=68.884第八十四頁，共137頁。0.5F13500.50.25A0°45°90°h/4AA=50.8A=68.885第八十五頁，共137頁?！?-6復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度（比能）一.應(yīng)變能密度的定義二.應(yīng)變能密度的計算公式1.單向應(yīng)力狀態(tài)下,物體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能密度為物體在單位體積內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能（比能）2.三個主應(yīng)力同時存在時,單元體的應(yīng)變能密度為86第八十六頁，共137頁。uV

—表示與單元體體積改變相應(yīng)的那部分應(yīng)變能密度，稱為

體積改變能密度

ud—表示與單元體形狀改變相應(yīng)的那部分應(yīng)變能密度,稱為形狀改變能密度（畸變能密度）把應(yīng)變能密度分成兩部分：將廣義胡克定律代入上式,經(jīng)整理得87第八十七頁，共137頁。(a)123(b)1-m3-m2-m圖a所示單元體的三個主應(yīng)力不相等，因而，變形后既發(fā)生體積改變也發(fā)生形狀改變。圖c所示單元體的三個主應(yīng)力相等，因而，變形后的形狀與原來的形狀相似，即只發(fā)生體積改變而無形狀改變。則：圖b所示單元體只發(fā)生形狀改變而無體積改變。(c)mmm=(1+2+3)/3=+應(yīng)變能密度的計算：88第八十八頁，共137頁。圖c

所示單元體的體積改變能密度a單元體的比能為空間應(yīng)力狀態(tài)下單元體的

畸變能密度123(c)mmm=(1+2+3)/389第八十九頁，共137頁。一.強度理論的概念1.引言§8-7強度理論軸向拉、壓彎曲剪切扭轉(zhuǎn)彎曲切應(yīng)力強度條件正應(yīng)力強度條件90第九十頁，共137頁。上述強度條件具有如下特點:(1).

危險點處于單向應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài)。(2).

材料的許用應(yīng)力,是通過拉(壓)試驗或純剪試驗測定試件在破壞時其橫截面上的極限應(yīng)力,以此

極限應(yīng)力作為強度指標(biāo),除以適當(dāng)?shù)陌踩禂?shù)而得,即根據(jù)相應(yīng)的試驗結(jié)果建立的強度條件。都沒考慮

材料破壞的形式和原因。工程實踐和試驗都證明:發(fā)生不同形式的破壞時,

引起破壞的原因不同。為了全面研究材料的強度問題,提出了強度理論的概念。2.

強度理論的概念關(guān)于構(gòu)件發(fā)生某種形式破壞時,引起破壞的主要因素

的的假說。91第九十一頁，共137頁。4.基本觀點構(gòu)件受外力作用而發(fā)生破壞時,不論破壞的表面現(xiàn)象如何復(fù)雜,其破壞形式總不外乎幾種類型,而同一類型的破壞則可能是某一個共同因素所引起的。

而這些因素的極限值可利用材料在單向應(yīng)力狀態(tài)時的試驗來測定。這樣就可利用材料在單向應(yīng)力狀態(tài)時的試驗結(jié)果,來建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件。二.材料破壞的兩種類型(常溫、靜載荷)1.屈服失效：材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力。2.斷裂失效：(1).脆性斷裂:無明顯的變形下突然斷裂。(2).韌性斷裂:產(chǎn)生大量塑性變形后斷裂。92第九十二頁，共137頁。引起破壞的某一共同因素形狀改變比能最大切應(yīng)力最大線應(yīng)變最大正應(yīng)力—以脆斷作為破壞的標(biāo)志—以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標(biāo)志93第九十三頁，共137頁。根據(jù):當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過大時,其危險點處的

材料就會沿最大拉應(yīng)力所在截面發(fā)生脆斷破壞。

1.最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）基本假說:最大拉應(yīng)力

1

是引起材料脆斷破壞的因素。脆斷破壞的條件：1=b

四.第一類強度理論強度條件:

1[

=[b/n]試驗證明：

這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷結(jié)果相符,這些材料在軸向拉伸時的斷裂破壞發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面上。脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞,也是沿拉應(yīng)力最大的斜面發(fā)生斷裂,這些都與最大拉應(yīng)力理論相符。

但這個理論沒有考慮其它兩個主應(yīng)力的影響。（單向拉伸下）94第九十四頁，共137頁。2.最大伸長線應(yīng)變理論(第二強度理論)根據(jù):當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過大時,其危險點處的材料就會沿垂直于最大伸長線應(yīng)變方向的平面發(fā)生破壞?；炯僬f:最大伸長線應(yīng)變

1是引起材料脆斷破壞的因素。脆斷破壞的條件最大伸長線應(yīng)變強度條件試驗證明：

煤,石料或砼等材料在軸向壓縮試驗時,如端部無摩擦,

試件將沿垂直于壓力的方向發(fā)生斷裂,這一方向就是最大伸長線應(yīng)變的方向,這與第二強度理論的結(jié)果相近。（單向拉伸下）95第九十五頁，共137頁。1.最大切應(yīng)力理論(第三強度理論)基本假說:最大切應(yīng)力

max

是引起材料屈服的因素。根據(jù):當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過大時,其危險點處的材料就會沿最大切應(yīng)力所在截面滑移而發(fā)生屈服失效。屈服條件五.第二類強度理論在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下一點處的最大切應(yīng)力為強度條件

第三強度理論曾被許多塑性材料的試驗結(jié)果所證實,且稍偏安全。這個理論所提供的計算式比較簡單,故它在工程設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用。該理論沒有考慮中間主應(yīng)力

σ2的影響,其帶來的最大誤差不超過15％,而在大多數(shù)情況下遠(yuǎn)比此為小。有（單向拉伸下）96第九十六頁，共137頁。2.畸變能密度理論(第四強度理論)基本假說：畸變能密度

ud

是引起材料屈服的因素。單向拉伸下，1=

s，

2=

3=0，

材料的極限值強度條件屈服準(zhǔn)則這個理論和許多塑性材料的試驗結(jié)果相符,用這個理論判斷碳素鋼的屈服失效是相當(dāng)準(zhǔn)確的。97第九十七頁，共137頁。六.相當(dāng)應(yīng)力把各種強度理論的強度條件寫成統(tǒng)一形式r

稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的相當(dāng)應(yīng)力.98第九十八頁，共137頁。莫爾認(rèn)為:最大切應(yīng)力是使物體破壞的主要因素,但滑移面上的摩擦力也不可忽略(莫爾摩擦定律)。綜合最大切應(yīng)力及最大正應(yīng)力的因素,莫爾得出了他自己的強度理。

（§8-7）莫爾強度理論一.引言:99第九十九頁，共137頁。二.莫爾強度理論：

任意一點的應(yīng)力圓若與極限曲線相接觸,則材料即將屈服或剪斷.公式推導(dǎo)MO2OO1O3FNTL[c][t]1M′L′T′代入強度條件100第一百頁，共137頁。1.適用范圍及選用原則：(1).一般脆性材料選用第一或第二強度理論；(2).

塑性材料選用第三或第四強度理論；

(3).在二向和三向等拉應(yīng)力時,無論是塑性還是脆性材料都發(fā)生脆性破壞,故選用第一或第二強度理論；(4).在二向和三向等壓應(yīng)力狀態(tài)時.無論是塑性還是脆性材料都發(fā)生塑性破壞,故選用第三或第四強度理論.三.各種強度理論的適用范圍及其應(yīng)用101第一百零一頁，共137頁。2.強度計算的步驟(1)外力分析:確定所需的外力值；(2)內(nèi)力分析:畫內(nèi)力圖,確定可能的危險面；(3)應(yīng)力分析:

畫危險面應(yīng)力分布圖，

確定危險點并畫出單元體,求主應(yīng)力；(4)強度分析：選擇適當(dāng)?shù)膹姸壤碚?，計算相?dāng)應(yīng)力,然后進行強度計算。3.應(yīng)用舉例102第一百零二頁，共137頁。例題15一蒸汽鍋爐承受最大壓強為p,圓筒部分的內(nèi)徑

為D,厚度為t,且

t遠(yuǎn)小于

D

。

已知:p=3.6MPa，t=10mm，D=1m，[]=160MPa.

試:用第四強度理論校核圓筒部分內(nèi)壁的強度.p（a）Dyzt（b）103第一百零三頁，共137頁。內(nèi)壁的強度校核所以圓筒內(nèi)壁的強度合適.用第四強度理論校核圓筒內(nèi)壁的強度′

"

104第一百零四頁，共137頁。例題16根據(jù)強度理論,可以從材料在單軸拉伸時的可推知低碳鋼類塑性材料在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的.純剪切應(yīng)力狀態(tài)下:1=,2=0,3=–按第三強度理論得強度條件為：另一方面，剪切的強度條件是：所以[]=0.5105第一百零五頁，共137頁。[]為材料在單向拉伸時的許用拉應(yīng)力.材料在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的許用切應(yīng)力為[].按第四強度理論得強度條件為：按第三強度理論得到：按第四強度理論得到：[]=0.5[]≈0.6106第一百零六頁，共137頁。例題17

對于圖示各單元體,試分別按第三強度理論及

第四強度理論求相當(dāng)應(yīng)力.120MPa(d)50MPa70MPa40MPa30MPa120MPa(a)(b)

140MPa

110MPa

(C)140MPa80MPa70MPa107第一百零七頁，共137頁。解：（1）單元體（a）120MPa(a)（2）單元體（b）(b)140MPa110MPa108第一百零八頁，共137頁。(c)140MPa80MPa70MPa(d)50MPa70MPa40MPa30MPa（3）單元體（c）（4）單元體（d）109第一百零九頁，共137頁。解：危險點

A的應(yīng)力狀態(tài)如圖例題18

直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,

T=7kNm,F=50kN,

材料為鑄鐵，[]=40MPa。試:用第一強度理論校核桿的強度.故安全.FFTTAA110第一百一十頁，共137頁。例題19

薄壁圓筒受最大內(nèi)壓時,測得x=1.8810-4，

y=7.3710-4。已知:鋼的E=210GPa,[]=170MPa,泊松比

=0.3,

試:用第三強度理論校核其強度.解：由廣義虎克定律xyAAsxsy111第一百一十一頁，共137頁。所以,此容器不滿足第三強度理論,不安全。主應(yīng)力相當(dāng)應(yīng)力112第一百一十二頁，共137頁。例題20

兩端簡支的工字鋼梁承受載荷如圖所示已知：其材料Q235鋼的許用應(yīng)力為=170MPa,

=100MPa

。試：按強度條件選擇工字鋼的型號.0.42200kN200kNCDAB0.421.662.50113第一百一十三頁，共137頁。解:作鋼梁的內(nèi)力圖.FSC左=FSmax=200kNMC=Mmax=84kN·mC,D

為危險截面(1)按正應(yīng)力強度條件選擇截面取C

截面計算0.42200kN200kNCDAB0.421.662.50選用28a

工字鋼,其截面的Wz=508cm3200kNFS圖200kN+-+M圖84kN·m114第一百一十四頁，共137頁。(2)按切應(yīng)力強度條件進行校核

對于

28a工字鋼的截面,查表得最大切應(yīng)力為選用

28a工字鋼能滿足切應(yīng)力的強度要求.12213.7126.32808.5126.3115第一百一十五頁，共137頁。

取

A

點分析

(3)腹板與翼緣交界處的的強度校核（+）122

13.7126.32808.5

126.3AA

點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示AAA116第一百一十六頁，共137頁。A點的三個主應(yīng)力為由于材料是Q235鋼,所以在平面應(yīng)力狀態(tài)下,應(yīng)按第四強度理論來進行強度校核.應(yīng)另選較大的工字鋼.若選用

28b工字鋼,算得