二次函數(shù)與面積最值問(wèn)題

二次函數(shù)與面積最值問(wèn)題第一頁(yè)，共22頁(yè)。

二次函數(shù)最值問(wèn)題

1、小磊要制作一個(gè)三角形的鋼架模型，在這個(gè)三角形中，長(zhǎng)度為x(單位：cm)的邊與這條邊上的高之和為40cm，這個(gè)三角形的面積S(單位：cm2)隨x(單位：cm)的變化而變化．(1)請(qǐng)直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；(2)當(dāng)x是多少時(shí)，這個(gè)三角形面積S最大?最大面積是多少?解：（1）

（2）∵a=<0∴S有最大值∴∴S的最大值為∴當(dāng)x為20cm時(shí)，三角形面積最大，最大面積是200cm2。第二頁(yè)，共22頁(yè)。2.如圖，矩形ABCD的兩邊長(zhǎng)AB=18cm，AD=4cm，點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△PBQ的面積為y（cm2）.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）求△PBQ的面積的最大值.解：（1）∵S△PBQ=PB·BQ,

PB=AB－AP=18－2x，BQ=x∴y=（18－2x）x，即y=－x2+9x（0<x≤4）（2）由（1）知：y=－x2+9x，∴y=－(x－）2+）2+,∵當(dāng)0<x≤y隨x的增大而增大，而0<x≤4，∴當(dāng)x=4時(shí)，y最大值=20，即△PBQ的最大面積是20cm2第三頁(yè)，共22頁(yè)。3．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別到達(dá)B，C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)．（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)開始后第t秒鐘后，五邊形APQCD的面積為Scm2，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍．（2）t為何值時(shí)，S最??？最小值是多少？

解：（1）第t秒鐘時(shí)，AP=tcm，故PB=（6﹣t）cm，BQ=2tcm，故S△PBQ=?（6﹣t）?2t=﹣t2+6t∵S矩形ABCD=6×12=72．∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）；（2）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63，∴當(dāng)t=3秒時(shí)，S有最小值63cm．第四頁(yè)，共22頁(yè)。4．在某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長(zhǎng)15m）的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍成如圖，若設(shè)花園的BC邊長(zhǎng)為x（m）花園的面積為y（m2）（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量的x的范圍（2）當(dāng)x取何值時(shí)花園的面積最大，最大面積為多少？解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∵BC=xm，AB+BC+CD=40m，∴AB=∴花園的面積為：y=x?=﹣x2+20x（0＜x≤15）；∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x2+20x（0＜x≤15）；

（2）∵y=﹣x2+20x=﹣（x﹣20）2+200，

∵a=﹣＜0，

∴當(dāng)x＜20時(shí)，y隨x的增大而增大∴當(dāng)x=15時(shí)，y最大，最大值y=187.5．∴當(dāng)x取15時(shí)花園的面積最大，最大面積為187.5．第五頁(yè)，共22頁(yè)。二次函數(shù)中常見圖形的的面積問(wèn)題xyOMENA圖五OxyDC圖四xyODCEB圖六PxyOABD圖二ExyOABC圖一xyOAB圖三1、說(shuō)出如何表示各圖中陰影部分的面積？第六頁(yè)，共22頁(yè)。4、如圖1，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)，B(－3，0)兩點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）將A（1，0），B（﹣3，0）代入y=﹣x2+bx+c中得∴∴拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；第七頁(yè)，共22頁(yè)。(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；解：（2）存在理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1對(duì)稱∴直線BC與x=﹣1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)△AQC周長(zhǎng)最小∵y=﹣x2﹣2x+3∴C的坐標(biāo)為：（0，3）直線BC解析式為：y=x+3，Q點(diǎn)坐標(biāo)即為解得∴Q（﹣1，2）；第八頁(yè)，共22頁(yè)。(3)如圖2，在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（3）存在．理由如下：設(shè)P點(diǎn)（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0）∵S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣

若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大，∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OE（PE+OC）（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）

==當(dāng)x=﹣時(shí)，S四邊形BPCO最大值=

∴S△BPC最大=當(dāng)x=﹣時(shí)，﹣x2﹣2x+3=

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣，），）

第九頁(yè)，共22頁(yè)。方法二

如圖4，連接P0，設(shè)P點(diǎn)(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．第十頁(yè)，共22頁(yè)。3、已知拋物線與軸交與A、C兩點(diǎn)，與軸交與點(diǎn)B，（1）求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（2）求四邊形ABMC的面積.C第十一頁(yè)，共22頁(yè)。4、已知一拋物線與x軸的交點(diǎn)是A（-2，0）、B（1，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，8）．（1）求該拋物線的解析式；（2）求該拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）求四邊形ADBC的面積.第十二頁(yè)，共22頁(yè)。5、如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E。（1）求該拋物線的解析式；（2）求該拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（3）求四邊形ABDE的面積

第十三頁(yè)，共22頁(yè)。CPOABy6、已知二次函數(shù)與B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P.（1）結(jié)合圖形，提出幾個(gè)面積問(wèn)題，并思考解法；（2）求A、B、C、P的坐標(biāo)，并求出一個(gè)剛剛提出的圖形面積；（3）在拋物線上（除點(diǎn)C外），是否存在點(diǎn)N，使得,若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解（1）略（2）當(dāng)y=0時(shí),x

2

﹣2x﹣3=0,

解得：x

1

=3,x

2

=﹣1,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3,0）,

當(dāng)x=0時(shí),y=﹣3,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,﹣3）,∵

y=x

2

﹣2x﹣3=（x﹣1）

2

﹣4,

∴P（1,﹣4）,

即A（﹣1,0）,B（3,0）,C（0,﹣3），P（1,﹣4）;

軸交于A、B兩點(diǎn)（A在第十四頁(yè)，共22頁(yè)。AyBOC變式一圖變式一：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存點(diǎn)N，使得，若存在直接寫出N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.第十五頁(yè)，共22頁(yè)。7、拋物線與軸交與A、B（點(diǎn)A在B右側(cè)），與軸交與點(diǎn)C，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△EBC的面積最大,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)和△EBC的最大面積．提示：點(diǎn)E的坐標(biāo)可以設(shè)為(

),x的取值范圍是-3＜x＜0,根據(jù)題2求三角形面積的思路建立△EBC的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，體會(huì)點(diǎn)E位置的不確定性對(duì)方法的選擇是否有影響．第十六頁(yè)，共22頁(yè)。如果拋物線

過(guò)定點(diǎn)M（1，1），則稱此拋物線為

定點(diǎn)拋物線。

（1）張老師在投影屏幕上出示了一個(gè)題目：請(qǐng)你寫出一條定點(diǎn)拋

物線的一個(gè)解析式。小敏寫出了一個(gè)答案：，

請(qǐng)你寫出一個(gè)不同于小敏的答案；

（2）張老師又在投影屏幕上出示了一個(gè)思考題：已知定點(diǎn)拋物線

，求該拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小時(shí)的解析式，請(qǐng)你解答。解：（1）依題意，選擇點(diǎn)（1，1）作為拋物線的頂點(diǎn)，二次項(xiàng)系數(shù)是1根據(jù)頂點(diǎn)式得：y=x2-2x+2；（2）∵定點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（b，c+b2+1），且-1+2b+c+1=1，∴c=1-2b，∵頂點(diǎn)縱坐標(biāo)c+b2+1=2-2b+b2=（b-1）2+1，∴當(dāng)b=1時(shí)，c+b2+1最小，拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小，此時(shí)c=-1，∴拋物線的解析式為y=-x2+2x第十七頁(yè)，共22頁(yè)。如圖，拋物線y＝ax2＋c（a＞0）經(jīng)過(guò)梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中A（－2,0），B（－1,－3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）在第（2）問(wèn)的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使S△PAD＝4S△ABM成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在拋物線上，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)適合拋物線方程∴解得：所以為所求拋物線的解析式

（2）如圖2，連接BD，交y軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所求作的點(diǎn)設(shè)BD的解析式為，則有，，

解得：所以BD的解析式為；令則

所以第十八頁(yè)，共22頁(yè)。解：(3)、如圖3，連接AM，BC交y軸于點(diǎn)N，如圖，拋物線y＝ax2＋c（a＞0）經(jīng)過(guò)梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中A（－2,0），B（－1,－3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）在第（2）問(wèn)的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使S△PAD＝4S△ABM成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．由（2）知，OM=OA=OD=2，

易知BN=MN=1，

易求

設(shè)依題意有：，即：解得：，，故符合條件的P點(diǎn)有三個(gè)第十九頁(yè)，共22頁(yè)。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D為拋物線的頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若OA、OB（OA＜OB）的長(zhǎng)分別是方程x2-4x+3=0的兩根，且∠DAB=45°．

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AD交拋物線于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)A任作直線l交線段CD于點(diǎn)P，若點(diǎn)C、D到直線l的距離分別記為d1、d2，試求的d1+d2的最大值．解：（1）解方程x2-4x+3=0得：x=1或x=3，而OA＜OB，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；∵A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，∴△DAB是等腰三角形，而∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三角形，得D（1，-