河南省洛陽市普高聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期理科數(shù)學(xué)測評(píng)卷（三）（ 含答案解析 ）

第1頁/共1頁普高聯(lián)考2022—2023學(xué)年高三測評(píng)（三）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先對(duì)集合解不等式化簡，然后利用補(bǔ)集和交集的定義即可求得結(jié)果.【詳解】由題意解得，因?yàn)閯t，又因?yàn)椋裕蔬x：C．2.“，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)，結(jié)合充分必要條件的概念即可判斷.【詳解】，時(shí)，，，時(shí)，，所以“，”是“”的充分而不必要條件，故選:.3.已知向量，，，且，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，根據(jù)向量垂直，則點(diǎn)乘為0，得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】，由可得，解得．故選：A．4.已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A為拋物線C上一點(diǎn)，且點(diǎn)A到直線x＝－p的距離為5，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線的定義：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的相等即可求得p，既而求得拋物線方程.【詳解】由拋物線的定義知點(diǎn)A到直線的距離為3，所以，解得p＝4，所以拋物線的方程為．故選：C．5.某正方形數(shù)陣如圖所示，依據(jù)觀察，位于第36行第8列的數(shù)為（）A.367 B.330 C.328 D.324【答案】B【解析】【分析】利用觀察法找規(guī)律，得出第一列的通項(xiàng)公式，則第36行的第一列的數(shù)字即確定，再觀察得出第36行的通項(xiàng)公式，

就可求得第36行第8列的數(shù).

【詳解】觀察可知，第n行和第n列均為相同的等差數(shù)列，第一列數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則第36行第1列的數(shù)為．第36行也等差數(shù)列，公差為37，則通項(xiàng)公式為，則．故選：B．6.函數(shù),若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)與y＝－x＋m的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，由圖象可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)與y＝－x＋m的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖，當(dāng)直線y＝－x＋m經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，m＝2，所以當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，.故選：D．7.如圖，在長方體中，，在面中作以棱CD為直徑半圓，且點(diǎn)E在半圓上（不含點(diǎn)C，D），連接AE，BE，CE，DE，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.平面平面 B.平面平面BCEC.平面ABE D.二面角E－AB－C的最大值為60°【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，由平面，可得平面平面；對(duì)于B，先證平面ADE，可得平面平面BCE；對(duì)于C，由，可得平面ABE；對(duì)于D，當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，可知二面角E－AB－C有最大值.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫?，平面ADE，所以平面平面，故A正確；對(duì)于B，線段CD是半圓的直徑，所以，又，，所以平面ADE，所以平面平面BCE，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋矫鍭BE，平面ABE，所以平面ABE，故C正確；對(duì)于D，過作，垂足為，過作，垂足為，連，因?yàn)?，所以平面，又，所以平面，所以，所以∠EMO為二面角E－AB－C的平面角，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立.即二面角E－AB－C的最大值為，故D錯(cuò)誤．故選：D．8.函數(shù)的最大值為2，且對(duì)任意的，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的最值可得A＝2，根據(jù)恒成立可得，由函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而求得，求出函數(shù)解析式，即可求解.【詳解】因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以A＝2，因?yàn)楹愠闪ⅲ援?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則，，所以，．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，即，所以，則．所以，故選：B．9.如果數(shù)列對(duì)任意的均有恒成立，那么稱數(shù)列為“M－數(shù)列”，下列數(shù)列是“M－數(shù)列”的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的通項(xiàng)公式，直接驗(yàn)證是否恒成立即得．【詳解】若，則，即，不滿足條件，不是“M－數(shù)列”；若，則，即，不滿足條件，不是“M－數(shù)列”；若，則，即，滿足條件，是“M－數(shù)列”；若，則，當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，，不滿足條件，不是“M－數(shù)列”．故選:C．10.已知三棱錐P-ABC的棱長均為6，且四個(gè)頂點(diǎn)均在球心為O的球面上，點(diǎn)E在AB上，，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出三棱錐外接球的半徑及球心，構(gòu)造直角三角形即可求得面積最小值.

【詳解】如圖，因?yàn)槿忮F的棱長均為6，所以點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影H是的中心，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則點(diǎn)H在AD上，且，所以，，，則．設(shè)三棱錐P-ABC的外接球半徑為R，則OP＝OA＝R，在中，，解得．因?yàn)?，所以AE＝2，取AB的中點(diǎn)F，則EF＝1，且，所以．當(dāng)過點(diǎn)E的球O的截面與OE垂直時(shí)，截面面積最小，設(shè)截面圓的半徑為r，則，所以截面面積為．故選：A．11.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)B在直線上，且位于第一象限，直線與直線交于點(diǎn)A，且A是線段的中點(diǎn)，，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程可設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)和O是的中點(diǎn)，得出，建立等量關(guān)系得，即可求得離心率.【詳解】方法一：由題知直線是雙曲線的兩條漸近線，如圖，因?yàn)镺是的中點(diǎn)，且，所以，設(shè)，則解得即．因?yàn)锳是的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)A在直線上，所以，解得c＝2a，所以，故選：B．方法二：因?yàn)镺是的中點(diǎn)，，所以，因?yàn)锳是的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，所以，則c＝2a，所以．故選：B．12.已知關(guān)于x的不等式對(duì)任意的恒成立，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí)對(duì)原式變形，將含有自變量的移到不等式的一邊，即，構(gòu)造新的函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的極值即最小值，要對(duì)任意的不等式恒成立，則需，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則可變形為．設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處有極小值，即最小值為．因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，即．故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，滿足，，，則______．【答案】2【解析】【分析】對(duì)左右兩邊同時(shí)平方，化簡代入數(shù)值即可求得.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：2.14.若，且，則______．【答案】##90°【解析】【分析】利用三角恒等變換及兩角和差公式即可求得的值.【詳解】，即，即，則，又，則，，則，即．（寫成90°也給分）故答案為：或90°.15.與直線相切于點(diǎn)的圓C過點(diǎn)，則圓C的半徑為______．【答案】【解析】【分析】由題意知圓心在過點(diǎn)且與直線垂直的直線，求出直線方程，圓心又在MN的垂直平分線上，則兩條直線的交點(diǎn)即為圓心，圓心點(diǎn)的距離即為半徑.【詳解】過點(diǎn)且與直線垂直的直線為，則圓心在直線上，又圓心在線段MN垂直平分線上，即圓心在直線上.所以圓心坐標(biāo)為，則圓的半徑．故答案為：16.實(shí)數(shù)x，y滿足目標(biāo)函數(shù)的最大值為6，正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)簡單的線性規(guī)劃可得k＝2．由題意可得，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式可得a＝3b時(shí)取得最大值，根據(jù)可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中，，．因?yàn)閗＞0，直線：y＝－kx平移到B點(diǎn)時(shí)目標(biāo)函數(shù)取最大值，即2k＋2＝6，解得k＝2．因?yàn)椋?，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即a＝3b時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為4．故答案為：4.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)，，且．（1）求a的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．【答案】（1）a＝0，，（2）最小值－1，最大值2【解析】【分析】（1）化簡函數(shù)解析式，由條件列方程求a的值，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）結(jié)合不等式的性質(zhì)及正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，，，由?＋a＝1，則a＝0，所以．令，，則，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【小問2詳解】由（1）知，，則，當(dāng)，即x＝0時(shí)，函數(shù)有最小值－1；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值2．18.數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用與的關(guān)系求通項(xiàng)即可；(2)利用錯(cuò)位相減法求通項(xiàng).【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，．①，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，即，當(dāng)時(shí)，滿足公式，所以．【小問2詳解】由（1）知，則③，④，③-④得，所以．19.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知角A為銳角，的面積為S，且滿足．（1）若，求A；（2）求的最大值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換化簡整理即可結(jié)果；（2）根據(jù)題意利用余弦定理邊化角整理可得，在以為整體結(jié)合正弦函數(shù)的有界性運(yùn)算求解.【小問1詳解】由正弦定理和，得，又∵，∴，因?yàn)椋?，則，即，又∵，則．【小問2詳解】∵，由余弦定理得，所以，則，又∵，則，當(dāng)，即時(shí)，取最大值，最大值為4．20.在直三棱柱中，，D，，E分別為AC，，的中點(diǎn)，，點(diǎn)M在直線上，且，．（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面；（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面ABM與平面所成銳二面角的余弦值為？【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）由線線垂直證平面，可證，再線線垂直證平面，可證，由幾何關(guān)系可證，即可證平面；（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，即可由向量法得二面角的余弦值的關(guān)系式，求解即可【小問1詳解】由題知，又，且，平面，所以平面，∵平面，則．設(shè)，，連接，BD，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且．因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫裕B接，如圖，，，因?yàn)?，所以，則，所以，則，則，所以．因，平面，所以平面．（說明：也可以直接建立空間直角坐標(biāo)系，證明平面）【小問2詳解】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，，，則令，則．設(shè)平面ABM的法向量為，，，則令，則．，解得或，所以當(dāng)或時(shí)，平面ABM與平面所成銳二面角的余弦值為．21.已知?jiǎng)訄AM與圓：外切，與圓：內(nèi)切，動(dòng)圓M的圓心M的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的軌跡方程；（2）過點(diǎn)的直線l與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在點(diǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)動(dòng)圓與兩圓的位置關(guān)系得到，則其軌跡為橢圓，再利用待定系數(shù)法求出的值即可；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立橢圓得到，，計(jì)算的值，將韋達(dá)定理式整體代入得到，則，解出，最后不忘討論直線l的斜率為0的情況.【小問1詳解】設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，圓，圓的半徑分別為，，圓心分別為，．由題知，，則，則動(dòng)圓M的圓心M到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的和為定值，且，所以點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓E：，則，，，所以曲線E的軌跡方程為．【小問2詳解】假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值．當(dāng)直線l的斜率不為零時(shí)，可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，．，，所以，要使上式為定值，即與m無關(guān)，應(yīng)有，解得，此時(shí)．當(dāng)直線l的斜率為零時(shí)，不妨設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為時(shí)，．綜上所述，存在點(diǎn)，使得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是設(shè)采取設(shè)線法，注意為了簡化計(jì)算，可引入?yún)?shù)，然后聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，再整體代入計(jì)算，得到，此處注意一個(gè)問題，若為定值，則分式一定可以約分為一個(gè)常數(shù)值，那么其系數(shù)成比例，則有，解出即可，最后不忘討論直線斜率為0的情況.22已知函數(shù)，，．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小整數(shù)值．【答案】（1）或（2）1【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)處的切線，聯(lián)立，令即可求解a的值；（2）采用參變分離法得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而確定最值范圍，即可求解.【小問