決勝2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘專(zhuān)題15動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題（教師版含解析）

決勝2021中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品

專(zhuān)題15動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題

r、

【考點(diǎn)1】動(dòng)點(diǎn)之全等三角形問(wèn)題

[例1]1.如圖,CA_LBC,垂足為C,AC=2Cm,BC=6cm,射線(xiàn)BM_LBQ,垂足為B,動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以lcm/s

的速度沿射線(xiàn)CQ運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N為射線(xiàn)BM上一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足PN=AB,隨著P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)秒

時(shí)，ABCA與點(diǎn)P、N、B為頂點(diǎn)的三角形全等.（2個(gè)全等三角形不重合）

【分析】

此題要分兩種情況：①當(dāng)P在線(xiàn)段BC上時(shí)，②當(dāng)P在BQ上，再分別分兩種情況AC=BP或AC=BN進(jìn)行

計(jì)算即可.

【詳解】

解：①當(dāng)P在線(xiàn)段BC上，AC=BP時(shí)，AACB^APBN,

，BP=2,

.?.CP=6-2=4,

.二點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為44-1=4（秒）；

②當(dāng)P在線(xiàn)段BC上，AC=BN時(shí)，AACB^ANBP,

這時(shí)BC=PN=6,CP=O,因此時(shí)間為0秒；

③當(dāng)P在BQ上，AC=BP時(shí)，AACB^APBN,

：AC=2,

，BP=2,

，CP=2+6=8,

.?.點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8+1=8（秒）；

④當(dāng)P在BQ上，AC=NB時(shí)，AACB^ANBP,

VBC=6,

，BP=6,

，CP=6+6=12,

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12+1=12（秒），

故答案為0或4或8或12.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角

必須是兩邊的夾角.

【變式J-1］已知正方形A3CQ的對(duì)角線(xiàn)AC與5。交于點(diǎn)0,點(diǎn)E、尸分別是線(xiàn)段05、0C上的動(dòng)點(diǎn)

（1）如果動(dòng)點(diǎn)E、尸滿(mǎn)足8E=0尸（如圖），且f時(shí)，問(wèn)點(diǎn)E在什么位置？并證明你的結(jié)論；

（2）如果動(dòng)點(diǎn)E、尸滿(mǎn)足8E=C〃（如圖），寫(xiě)出所有以點(diǎn)E或尸為頂點(diǎn)的全等三角形（不得添加輔助線(xiàn)）.

【答案】（1）當(dāng)AE_L8尸時(shí)，點(diǎn)E在80中點(diǎn)，見(jiàn)解析；⑵以點(diǎn)E或F為頂點(diǎn)的全等三角形有△ABE四△BCF,

△AOEdBOF,/^ADE^/\BAF.

【分析】

（I）根據(jù)正方形性質(zhì)及已知條件得出△8EA/SZ^4E0,ABEMsABOF,再根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可得出

答案；

（2）根據(jù)正方形性質(zhì)及8E=C/即可得出全等的三角形.

【詳解】

解：（1）當(dāng)AE_LBR時(shí)，點(diǎn)￡在8。中點(diǎn).證明如下：

延長(zhǎng)AE交BE于點(diǎn)M，如圖所示：

?;ZBME=ZAOE,ABEM=ZAEO,

.-.ABEM^AAEO,

BMEM

..---=----,

OAEO

?；NMBE=/OBF,NBME=NBOF,

.BMEM

,,一，

BOOF

vAO=BO,

1.EO=OF,

?；BE=OF,

BE=EO,

故當(dāng)AE_L斯時(shí).，點(diǎn)E在30中點(diǎn)；

⑵?.?四邊形ABC。是正方形，

AO=CO=BO=DO,ACIBD^AB=BC=AD=CD,

ZACB=ZABD=ZADE=ZBAC=45°f

?:BE=CF，

：.OE=OF,AF=DE，

?:BE=CF，ZABD^ZACB,AB=BC,

在A(yíng)ABE和4BCF中，

'BE=CF

<ZABD=ZACB,

AB=BC

:.^ABE^/\BCF{SAS)

同理可得△AOEwABOF,/XADE=ZXBAF;

，以點(diǎn)E或戶(hù)為頂點(diǎn)的全等三角形有人鉆石三科中，AAOE=ABOF,Z\4DE=Afi4F；

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，比較綜合，難度較大，熟

練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【支式J-2】如圖①，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線(xiàn)剪成兩個(gè)全等的直角三角形ABC、EDF,其中A3=8MI,

BC=6cm,AC=10cm.現(xiàn)將△4BC和△E。尸按如圖②的方式擺放（點(diǎn)4與點(diǎn)。、點(diǎn)8與點(diǎn)E分別重合）.動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以2c機(jī)/s的速度向點(diǎn)C勻速移動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)E出發(fā)，沿射線(xiàn)EO以ac,"/s

（OVaV3）的速度勻速移動(dòng)，連接PQ、CQ、FQ,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為fs（0W/W5）.

（1）當(dāng)t—2時(shí)，S^AQF=3S^BQCt貝!]a=；

（2）當(dāng)以P、C、。為頂點(diǎn)的三角形與△5QC全等時(shí)，求a的值；

（3）如圖③，在動(dòng)點(diǎn)尸、。出發(fā)的同時(shí)，△45C也以3c,n/s的速度沿射線(xiàn)EO勻速移動(dòng)，當(dāng)以4、P、。為頂

點(diǎn)的三角形與△EFQ全等時(shí)，求a與f的值.

3

【答案】(1)1;(2)-；(3)a=2時(shí)，f=2；或。=2.3時(shí)，f=5.

2

【分析】

(1)由題意得/8AF=/A8C=90°,8。=4=2"，AF^BC,由三角形面積得4。=38。，則AB=4BQ=8,

得8Q=2=2a,則a=l；

(2)由題意得點(diǎn)P與B為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，PQ=BQ=at,PC=BC=6,ZCPQ=ZABC=90°,則AP=AC-PC

=4,PQVAC,得f=2,則PQ=8Q=2m再由三角形面積關(guān)系即可得出答案；

(3)分兩種情況：①AP與E。為對(duì)應(yīng)邊，AQ與E尸為對(duì)應(yīng)邊，01]AP=EQ,A0=EF=IO,求出a=2,BQ

=BE-EQ=t,則AQ=AB+8Q=8+/=10,解得f=2：

②A(yíng)P與EF為對(duì)應(yīng)邊，AQ與EQ為對(duì)應(yīng)邊，則AP=EF=10,AQ=EQ,求出f=5,則4Q=EQ=5a,得

BQ=\5-5a,或8Q=54-15,再分別求出。的值即可.

【詳解】

解：(1)由題意得：ZBAF=ZABC=90°,BQ=at=2a,AF=BC,

VSaAQF=3S&BQC>S^AQF=-AFXAQ,S^RQC=—BCXBQ,

：.AQ=3BQ,

：.AB=4BQ=S,

8。=2=2a,

.".a—1；

故答案為：1;

(2)；以尸、C、。為頂點(diǎn)的三角形與△BQC全等，C。是公共邊，

.?.點(diǎn)。與8為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，PQ=BQ^at,PC=BC=6,NCPQ=/A8C=90°,

..."=AC-PC=10-6=4,PQLAC,

\"AP=2t=4,

Ar=2,

???PQ=BQ=2a,

'//XABC的面積=Z\ACQ的面積+Z\8CQ的面積，

??.—X8X6=LX10X2?+—X2aX6,

222

3

解得:a=—■；

2

⑶由題意得：ZA=ZE,

???NA與NE為對(duì)應(yīng)角，分兩種情況：

①A尸與EQ為對(duì)應(yīng)邊，AQ與ER為對(duì)應(yīng)邊，則AP=E。，AQ=EF=\O,

,:EQ=att

/.at=2t9

?"*a=2,

：.EQ=2tt

?:BE=3t,

：.BQ=BE-EQ=t9

???AQ=A8+8Q=8+f=10,

解得：f=2；

②A(yíng)P與EF為對(duì)應(yīng)邊，AQ與￡。為對(duì)應(yīng)邊，則AP=￡F=10,AQ=EQ,

A2r=10,

t=5f

：.AQ=EQ=5a,

?；BE=3t=15,

：.BQ=15-5a,或5。=5>-15,

當(dāng)8Q=15-5a時(shí),AQ=i5-5a+8=23-5a,或AQ=8、（15-5a）=5a-7,

/.56f=23-5a,或5a=5a-7（無(wú)意義）,

解得：4=2.3；

當(dāng)BQ=5a-15時(shí)，AQ=5a-15+8=5〃-7,

或4。=8-（5a-15）=7-5a,

.\5a=5a-7（無(wú)意義），或5a=7-5a,

解得：a=0.7,不合題意，舍去；

綜上所述，a=2時(shí)，f=2；或4=2.3時(shí)，f=5.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的綜合問(wèn)題及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到動(dòng)點(diǎn)之間的聯(lián)系，然后結(jié)合全等三

角形的性質(zhì)進(jìn)行求解問(wèn)題即可，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.

【考點(diǎn)2］動(dòng)點(diǎn)之直角三角形問(wèn)題

【例2】如圖，在四邊形紙片A8CO中，AB//CD,ZA=60°,ZB=30°,CD=2,BC=4,點(diǎn)￡是

AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/是折線(xiàn)A—。一。上的動(dòng)點(diǎn)，將紙片ABCD沿直線(xiàn)旅折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'落

在A(yíng)B邊上，連接AC,若［M'BC是直角三角形，則AE的長(zhǎng)為.

【分析】

如圖（見(jiàn)解析），先利用解直角三角形、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)，再分NA'CB=9O。和

ZBAC=90。兩種情況，分別求出A'3的長(zhǎng)，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)、線(xiàn)段的和差即可得.

【詳解】

如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)N,

QAB//CD,

:.CMLCD,DN工CD,

，四邊形CDNM是矩形，

/.MN=CD=2,CM=DN,

在用△BGV/中，/8=30。,8。=4,

：.CM=-BC=2,BM=yjBC2-CM2=2G，

2

：.DN=2,

在RtMADN中，4=60°,ZADN=30°,DN=2,

...AN=ON?tan乙ADN=，

3

AB=A2V+MN+3"=亞+2+26=2+更,

33

由折疊的性質(zhì)得：AE=A'E，

???點(diǎn)A'在A(yíng)B邊上,

..AE+AE=A4'，

即AE=-AA',

2

由題意，分以下兩種情況：

(1)當(dāng)NA'CB=90。時(shí)，口46。是直角三角形，

在MEH'BC中，48=匹^=—--,

cosBcos3003

A4'=AB-A2=2+M一延=2，

33

AE——AA=—x2=1；

22

⑵當(dāng)N8A'C=90°時(shí)，口48。是直角三角形，

在RtQABC中，A'B=BCcosB=4cos30°=，

AA'=AB-A'B=2+^--2s/3=2+^-,

33

.“1“1L2忖.V3

..AE——AA——x2H--------1+—；

2233

綜上，AE的長(zhǎng)為1或1+也，

3

故答案為：1或1+3.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，正確分兩種

情況討論是解題關(guān)鍵.

【變式2-1](2019?遼寧中考模擬)如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)Dl-

l.0),與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作BC平行于x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)B,連接AC

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度

的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N作NQ垂直于BC交AC

于點(diǎn)Q,連結(jié)MQ.

①求AAQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量的取值范圍；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大

值，并求出S的最大值；

②是否存在點(diǎn)M,使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

19

【答案】（l）y=-X2+3X+4；（2）@S=-t2+t+2；0<t<2；S**?=-?②存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（1,

24

0)和(2,0).

【解析】

【分析】

(1)由待定系數(shù)法將AD兩點(diǎn)代入即可求解.

⑵①分別用t表示出AM、PQ,由三角形面積公式直接寫(xiě)出含有t的二次函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的最大值

可得答案；

②分類(lèi)討論直角三角形的直角頂點(diǎn)，然后解出I,求得M坐標(biāo).

【詳解】

(1)；二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(4,0)和點(diǎn)D(-l,0),

[16a+4Z?+4=0

a—b+4=0

a——\

解得＜c，

b=3

所以，二次函數(shù)的解析式為y=-x?+3x+4.

⑵①延長(zhǎng)NQ交x軸于點(diǎn)P,

：BC平行于x軸，C(0,4)

，B(3,4),NP1OA.

根據(jù)題意，經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，NB=t,0M=2t,

則CN=3-t,AM=4-2t.

VZBCA=ZMAQ=45°,

，QN=CN=3-t,

.?.PQ=NP-NQ=4-(1-t)=l+t,

I1

SAAMQ=—AMxPQ=-(4-2t)(1+t)

'22

=-t2+t+2.

Va=-KO,且OQ,O.S有最大值.

19

當(dāng)t=］時(shí)，S?>；(,■(=—.

24

②存在點(diǎn)M,使得△AQM為直角三角形.

設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí),NB=t,0M=2t,

則CN=3-t,AM=4-2t,

二；NBCA=NMAQ=45。.

I.若NAQM=90。，

則PQ是等腰RtAMQA底邊MA上的高.

，PQ是底邊MA的中線(xiàn)，

1

.*.PQ=AP=-MA,

解得，t=L

2

.?.M的坐標(biāo)為(1,0).

II.若NQMA=90。，此時(shí)QM與QP重合.

???QM=QP=MA,

l+t=4-2t,

/.t=l,

.,.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

所以，使得△AQM為直角三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(1,0)和(2,0).

【點(diǎn)睛】

此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形的面積，要注意利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度，

從而求出線(xiàn)段之間的關(guān)系還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù).

【支為2-2】如圖，在矩形Q4HC中，OC=8,Q4=12,B為CH中點(diǎn),連接A3.動(dòng)點(diǎn)”從點(diǎn)。出

發(fā)沿。4邊向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿邊向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都是每秒1個(gè)

單位長(zhǎng)度，連接CM,CN,MN,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(秒)(0</<10).則，=時(shí)，ACA7N為直角三角形

____7f41-V241

【答案］-或——-——

24

【分析】

△CMN是直角三角形時(shí)，有三種情況，一是/CMN=90。，二是/MNC=90。，三是/MCN=90。，然后進(jìn)行分

類(lèi)討論求出t的值.

【詳解】

解：

圖1

過(guò)點(diǎn)N作0A的垂線(xiàn)，交OA于點(diǎn)F,交CH于點(diǎn)E,如圖1,

點(diǎn)是CH的中點(diǎn)，

11

，BH=-CH=-0A=6,

22

VAH=0C=8,

.?.由勾股定理可求：AB=10,

'/AN=t,

ABN=10-t,

?.?NE〃AH,

AABEN^ABHA,

.BN_EN

.10-t_EN

10'

4(10-r)

.\EN=----------

5

4

.?.FN=8-EN=T,

5

當(dāng)NCMN=90°,

3

由勾股定理可求：AF=-t,

VOM=t,

；.AM=12-t,

38

.\MF=AM-AF=12-t--t=\2-t,

55

VZOCM+ZCMO=90°,ZCMO+ZFMN=90°,

二NOCM=NFMN,

VZO=ZNFM=90o,

.,.△COM^AMFN,

.PCOM

"~MF~~FNr

8

7

..t=一,

2

當(dāng)NMNC=90。，

4

FN=T

5

4

AEN=8——t

5

8

VMF=12—r

5

3

???CE=OF=OM+MF=12--i

VZMNF+ZCNE=90°,

ZECN+ZCNE=90°,

???ZMNF=ZECN,

?/ZCEN=ZNFM=90°,

/.△CEN^ANFM,

.CEEN

34

12--/8--/

55

.41±^/24T

??t=----------------

4

V0<t<5,

.41-V241

??t=----------------;

4

當(dāng)NNCM=90°,

由題意知：此情況不存在，

綜上所述，ZiCMN為直角三角形時(shí)，t=Z或曳二叵L

24

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性.

【考點(diǎn)3】動(dòng)點(diǎn)之等腰三角形問(wèn)題

【例3】如圖，A3是。。的直徑，是弦，AB=10cm,BC=6cm.若點(diǎn)P是直徑A3上一動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)口尸BC是等腰三角形時(shí)，4P=cm.

【答案】2.8、4或5

【解析】

解：①8為頂點(diǎn)即=時(shí),

AP,=AB-APV

=10-6.

=4.

②C為頂點(diǎn)即CP=CB時(shí)，

RtElBAC中：AC7AB2-BC。=8,

SABC=^ACBC=^-ABCD.

CD=4.8,

BD=dBC2-Clf=3.6,

AP?=AB-B3=AB-2BD=2.8.

③P為頂點(diǎn)即CP=3P時(shí)，P與。重合,

/.APi=r=5.

綜上AP為2.8,4或5cm.

故答案為：2.8.4或5cm.

點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵分三種情況討論：①BC=BP：②CP=CB,③CP=BP.

【變式3-1】如圖①，已知正方形ABCO邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是AO邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)肝的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)Q,連結(jié)PQ、DQ、CQ、BQ.設(shè)AP=x.

DDD

（1）當(dāng)x=l時(shí)，求5尸長(zhǎng);

⑵如圖②，若PQ的延長(zhǎng)線(xiàn)交8邊于E,并且NCQO=90°,求證：ACEQ為等腰三角形;

⑶若點(diǎn)P是射線(xiàn)A。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)ACQQ為等腰三角形時(shí)，求x的值.

【答案】（1）BP=?；（2）證明見(jiàn)解析；（32CDQ為等腰三角形時(shí)x的值為4-2月、2叵、273+4.

3

【解析】

【分析】

（1）利用勾股定理求出BP的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可得AB=BQ=BC,

ZA=ZBQP=ZBCE=90°,可得NBQE=90。，由第一視角相等性質(zhì)可得NBCQ=/BQC,根據(jù)同角或等角的

余角相等的性質(zhì)可得NEQC=NECQ,可得EC=EQ,可得結(jié)論；（3）若ACDQ為等腰三角形，則邊CD邊為

該等腰三角形的一腰或者底邊.又Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于PB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則AB=QB,以點(diǎn)B為圓心，以AB的長(zhǎng)

為半徑畫(huà)弧，則Q點(diǎn)只能在弧AB上.若CD為腰，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交點(diǎn)即

為使得ACDQ為等腰三角形（CD為腰）的Q點(diǎn).若CD為底邊，則作CD的垂直平分線(xiàn)，其與弧AC的交點(diǎn)

即為使得ACDQ為等腰三角形（CD為底）的Q點(diǎn).則如圖所示共有三個(gè)Q點(diǎn)，那么也共有3個(gè)P點(diǎn).作輔

助線(xiàn)，利用直角三角形性質(zhì)求之即可.

【詳解】

（l）VAP=x=l,AB=2,

,BP=^AB-+AP2=75，

（2）：四邊形ABCD是正方形，

/.AB=BC,ZA=ZBCD=90°.

VQ點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于BP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

，AB=QB,ZA=ZPQB=90°,

，QB=BC,ZBQE=ZBCE=90°,

.,.ZBQC=ZBCQ,

二ZEQC+ZBQC=ZECQ+ZBCQ=90°,

ZEQC=ZECQ,

EQ=EC,即△CEQ為等腰三角形.

(3)如圖，以點(diǎn)B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于

Qi,Q3.此時(shí)ACDQi,ACnQs都為以CD為腰的等腰三角形.

作CD的垂直平分線(xiàn)交弧AC于點(diǎn)Q2,此時(shí)△CDQ2以CD為底的等腰三角形.

①討論Qi,如圖，連接BQi、CQi,作PQiJ_BQi交AD于P,過(guò)點(diǎn)Qi,作EFLAD于E,交BC于F,

?.?△BCQi為等邊三角形，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,

；.FC=1,QF=JCQ|2-FC2=G，QIE=2-6，

在四邊形ABPQi中，

；NABQi=30°,

.,.ZAPQi=150°,

:.ZEPQi=30°,△PEQi為含30。的直角三角形,

.，.PE=GEQI=2百-3,

：EF是BC的垂直平分線(xiàn)，

1

AE=—AD=1，

2

X=AP=AE-PE=1-(2V3-3)=4-2叢.

、PED

一乂電

②討論Q2,如圖，連接BQ2,AQ2,過(guò)點(diǎn)Q?作PGLBQ2,交AD于P,交CD于G,連接BP,過(guò)點(diǎn)Q2作

EF1CD于E,交AB于F,

TEF垂直平分CD,

.?.EF垂直平分AB,

:.AQ2=BQ2.

VAB=BQ2,

.??△ABQ2為等邊三角形.

*<?AF=gAE=1,FQ2=JAE?-AF?=G>

在四邊形ABQ2P中，

：/BAD=/BQ2P=90°,ZABQ2=60°,

.?.NAPQ2=120°,

ZEQ2G=ZDPG=180°-120°=60°,

.,.EQ2=EF-FQ2=2-V3.

EG=6EQ2=26-3,

，DG=DE+GE=l+2V3-3=2V3-2,

二DG=百PD,即PD=2--,

3

.?.X=AP=2-PD=RL

3

③對(duì)Q3,如圖作輔助線(xiàn)，連接BQi,CQi,BQ,，CQ3,過(guò)點(diǎn)Q：作PQ3，BQS,交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于P,連接

BP,過(guò)點(diǎn)Qi,作EFJ_AD于E,此時(shí)Q3在EF上，記Q3與F重合.

???△BCQi為等邊三角形，ABCQ3為等邊三角形，BC=2,

Q1Q2—25/3，QiE=2-^/^,

，EF=2+百，

在四邊形ABQ3P中

■:ZABF=ZABC+ZCBQ3=150°,

...ZEPF=30°,

??.EP=GEF=2G+3,

VAE=1,

x=AP=AE+PE=1+2V3+3=273+4.

【點(diǎn)睛】

本題考查四邊形的綜合、正方形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)，第三問(wèn)是一個(gè)難度非常高的題目，

可以利用尺規(guī)作圖的思想將滿(mǎn)足要求的點(diǎn)Q找全.另外求解各個(gè)P點(diǎn)也是勾股定理的綜合應(yīng)用熟練掌握并

靈活運(yùn)所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

【變式3-2】(2019?河南中考模擬)如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B(-3,0)和點(diǎn)C(L

0),頂點(diǎn)為點(diǎn)M.

⑴求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)如圖，點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若AAME的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)F為直線(xiàn)AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若ABFP為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P

3

【答案】(l)y=-/-2x+3；(2)E(-y,0)；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-5)或(1,0).

【解析】

【分析】

(1)設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a(x+3)(x-l),然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線(xiàn)的解析式；

(2)作A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A(0,-3),連接MA，交x軸于E,此時(shí)△AME的周長(zhǎng)最小，求出直線(xiàn)MA，解析

式即可求得E的坐標(biāo)；

(3)如圖2,先求直線(xiàn)AB的解析式為：y=x+3,根據(jù)解析式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,m+3),

分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)/PBF=90。時(shí)，由FiPLx軸，得P(m,-m-3),把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式可得結(jié)論；

②當(dāng)NBF3P=90。時(shí)，如圖3,點(diǎn)P與C重合，

③當(dāng)NBPF4=90。時(shí)，如圖3,點(diǎn)P與C重合，

從而得結(jié)論.

【詳解】

(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=3,即A(0,3),

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a(x+3)(x-l),

把A(0,3)代入得：3=-3a,

a=-l,

y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3,

即拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x2-2x+3；

⑵y=-X2-2X+3=-(X+1尸+4,

AM(-1,4),

如圖1,作點(diǎn)A(0,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'(0,-3),連接A，M交x軸于點(diǎn)E,則點(diǎn)E就是使得△AME的周

設(shè)直線(xiàn)A'M的解析式為：y=kx+b,

把A(0,-3)和M(-l,4)代入得:

-k+b=4

b=-3

k=—7

解得：〈

b=-3

二直線(xiàn)A'M的解析式為:y=-7x-3,

當(dāng)y=0時(shí)，-7x-3=0,

3

x=--，

7

13

.?.點(diǎn)E(--,0),

7

(3)如圖2,易得直線(xiàn)AB的解析式為：y=x+3,

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,m+3),

①當(dāng)NPBF=90。時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BP_LAB,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P,此時(shí)以BP為直角邊的等腰直角三角形有兩個(gè),

QPABPFIfTJABPF2,

V0A=0B=3,

/.△AOB和4A'OB是等腰直角三角形，

.,.ZF|BC=ZBFiP=45°,

.?.FiPLx軸，

/.P(m,-m-3),

把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=-x2-2x+3中得：

-m-3=-m2-2m+3,

解得：m】=2,m2=-3(舍),

???P(2,-5)；

②當(dāng)NBF3P=90。時(shí),如圖3,

VZF3BP=450,且NF3BO=45。，

二點(diǎn)P與C重合，

故P(l,0),

③當(dāng)NBPF4=90。時(shí)，如圖3,

O

VZF4BP=45,且NF4BO=45。，

二點(diǎn)P與C重合，

故P(l,0),

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-5)或(1,0).

【點(diǎn)睛】

此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，周氏最短問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí).此題綜合

性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.

【支龍3-3](2019?廣西中考真題)已知拋物線(xiàn)y=和直線(xiàn)y=-x+。都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-2,4),點(diǎn)。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)y=-x+o與X軸、y軸分別交于A(yíng)8兩點(diǎn).

(1)求〃2、6的值；

⑵當(dāng)AR4M是以AM為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶滿(mǎn)足⑵的條件時(shí)，求sinNBOP的值.

【答案】⑴m=1；力=2：(2)點(diǎn)2的坐標(biāo)為(-1』)或(2,4)：(3)sinNBOP的值為￥或省.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出根X的值；

(2)由(1)可得出拋物線(xiàn)及直線(xiàn)AB的解析式，繼而可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X,/)，結(jié)合點(diǎn)A,M

的坐標(biāo)可得出的值，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于x的方程，解之即可得出結(jié)論；

(3)過(guò)點(diǎn)尸作PN_Ly軸，垂足為點(diǎn)N,由點(diǎn)尸的坐標(biāo)可得出PN,PO的長(zhǎng)，再利用正弦的定義即可求出

sin/BOP的值.

【詳解】

⑴將M（-2,4）代入y=/?/,得：4=4",

??m=

將M（—2,4）代入y=+得：4=2+8，

**-/?=2；

（2）由（1）得：拋物線(xiàn)的解析式為y=f,直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+2,

當(dāng)y=0時(shí)，一%+2=0,

解得：x=2>

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,。4=2,

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（蒼丁），則BA?=（2-%）2+（0-x2）2=x4+x2-4%+4,

PM2=》

=（-2-x）2+（4-f）24_7X2+4X+20,

APAM是以AM為底邊的等腰三角形，

/.PA2=PM2，即犬+》2-4》+4=/一7/+4%+20.

整理，得：%2-x-2=0.

解得：玉=-1,工2=2,

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為（T，l）或（2,4）；

（3）過(guò)點(diǎn)尸作PN_Ly軸，垂足為點(diǎn)N，如圖所示，

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一覃）時(shí)，PN=1,PO="TF=0，

,?sin/BOP------=-----；

PO2

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,4）時(shí)，PN=2,PO=V22+42=2^-

??PNV5

??sin/BOP=---=——，

PO5

滿(mǎn)足（2）的條件時(shí)，sinN80P的值的值為也或好.

25

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、

等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出

加,人的值；（2）利用勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，找出關(guān)于x的方程；（3）通過(guò)解直角三角形，求出

sin/BOP的值.

【考點(diǎn)4】劫點(diǎn)之相仞三角形問(wèn)題

【例4】如圖，AD〃BC,ZABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，若APAD與APBC

是相似三角形，求AP的長(zhǎng).

【答案】AP=—或AP=2或AP=6

7

【分析】

由AD//BC,/8=90。,可證NH￡>=NPBC=90。，又由/W=8/O=3,BC=4,設(shè)AP的長(zhǎng)為x,則BP長(zhǎng)為8-x,然后分

別從與去分析，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可求得答案.

【詳解】

解：VAB1.BC,

ZB=90°,

:AD//BC,

:.ZA=180°-ZB=90°,

/.NRW=NPBC=90°,

AB=8,AO=3,8C=4,

設(shè)AP的長(zhǎng)為x,則8P長(zhǎng)為8-x,

若AB邊上存在尸點(diǎn)，使△田。與△P8C相似，那么分兩種情況：

若^APCsaBPC,則AP:BP=AD:BC,&\ix:(8-x)=3:4,

解得尸日24、

若^APD^^BCPMAP:BC=AD:BP,即x:4=3:(8-x),

解得42或戶(hù)6,

24

所以"=——或AP=2或AP-6.

7

【變式41】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A4BC是直角三角形，ZACB=90°,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分

3

別為A(-3,0),C(l,0),BC=-AC

4

(1)求過(guò)點(diǎn)4,8的直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在x軸上找一點(diǎn)O,連接03,使得A408與A4BC相似(不包括全等)，并求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，如尸，。分別是A8和A。上的動(dòng)點(diǎn)，連接尸。，設(shè)A尸問(wèn)是否存在這樣的，”,

使得AAP。與AAOB相似？如存在，請(qǐng)求出/〃的值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3Q1312525

【答案】⑴尸“+屋⑵D點(diǎn)位置見(jiàn)解析'D(7(⑶符合要求的”的值為式或手

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)A(-3,1),C(l,0),求出AC進(jìn)而得出BC=3求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AB的

解析式即可；

(2)運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)由于△APQ與4ADB已有一組公共角相等，只需分△APQ^AABD和^APQ^AADB兩種情況討論,

然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)建立關(guān)于m的方程，就可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：(l)：A(-3,0),C(l,0),

，AC=4,

3

BC=—AC,

4

3

.?.BC=-x4=3,

4

3),

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b,

-3k+b=0

k+b=3

3

k=一

.4

??9'

b=—

I4

39

二直線(xiàn)AB的解析式為y——x+—；

44

(2)若4ADB與4ABC相似，過(guò)點(diǎn)B作BD1AB交x軸于D,

.,.ZABD=ZACB=90°,如圖1,

?dABAD,

此時(shí)——=——，nHnPAB2=AC?AD.

ACAB

VZACB=90°,AC=4,BC=3,

...AB=5,

A25=4AD,

?25

，AD=—，

4

2513

.??OD=AD-A0=------3=—

44

13

二點(diǎn)D的坐標(biāo)為(一,0)；

4

(3)VAP=DQ=m,

25

；?AQ=AD-QD=--m.

“APA。

則有一-=—

ABAD

，AP?AD=AB?AQ,

2525

—m=5(-—in),

44

25

解得m=—；

9

入APAQ

則有一

ADAB

??.AP?AB=AD?AQ,

.2525

??5m=—(-—m),

44

解得：m=U^,

36

12525

綜上所述：符合要求的m的值為上或占L

369

【點(diǎn)睛】

此題是相似形綜合題，主要考查了是待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，也考查了

分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)相似建立方程求解.

【支式4*2]如圖，正方形ABCO,點(diǎn)尸為射線(xiàn)OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，連接尸Q,DQ,

過(guò)點(diǎn)尸作PEJL。。于點(diǎn)E.

(1)請(qǐng)找出圖中一對(duì)相似三角形，并證明；

(2)若45=4,以點(diǎn)P,E,。為頂點(diǎn)的三角形與△40。相似，試求出OP的長(zhǎng).

【答案】(])△OPESAQOA,證明見(jiàn)解析；(2)DP=2或5

【分析】

(1)由/ADC=NDEP=NA=90?？勺C明△ADQs^EPD；

(2)若以點(diǎn)P,E,Q為頂點(diǎn)的三角形與AADQ相似，有兩種情況，當(dāng)△ADQs^EPQ時(shí)，設(shè)EQ=x,則EP

EPDE

=2x,則DE=26r,由△ADQS3PD可得而=而，可求出x的值，則DP可求出；同理當(dāng)

△ADQsaEQP時(shí)，設(shè)EQ=2a,則EP=a,可得友二=2=_L,可求出a的值，貝ijDP可求.

a42

【詳解】

(l)AADQ^AEPD,證明如下：

VPE1DQ,

.\ZDEP=ZA=90o,

VZADC=90°,

/ADQ+/EDP=90°,NEDP+/DPE=90。，

.\ZADQ=ZDPE,

.?.△ADQs/\EPD；

(2)：AB=4,點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，

，AQ=BQ=2,

:.DQ=小心+延="2+22=2石，

VZPEQ=ZA=90°,

二若以點(diǎn)P,E,Q為頂點(diǎn)的三角形與AADQ相似，有兩種情況,

ADPE3

①當(dāng)△ADQs^EPQ時(shí)，—=2,

AQEQ

設(shè)EQ=x,則EP=2x,則DE=2逐一x,

由(1)知△ADQs/XEPD,

EPDE

"AD-AQ'

.lx2\[5-x

??----=------------，

42

:.x=非

,DP=ylDE2+EP2-5：

②當(dāng)△ADQs^EQP時(shí)，設(shè)EQ=2a,則EP=a,

同理可得.2逐二2a=2=J.,

a42

綜合以上可得DP長(zhǎng)為2或5,使得以點(diǎn)P,E,Q為頂點(diǎn)的三角形與aADQ相似.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)5】動(dòng)點(diǎn)之平行四邊形問(wèn)題(含特殊四邊形)

【例5］如圖，拋物線(xiàn)y=af+法+3與無(wú)軸交于A(yíng)(—3,0),3(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足S“AO=2SAPC。，求出。點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)連接點(diǎn)E是x軸一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，若以8、C、E、產(chǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

備用圖

X

【答案】⑴y=-f—2x+3;⑵川-2+療,-4+2S），￡卜2-77,-4-2療），川-6,+26）,

舄(6,一2百卜⑶4—1一萬(wàn),—3),居卜1+"—3),罵(—2,3)

【分析】

(1)由待定系數(shù)法求出解析式即可:

(2)先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，可得OA=OC=3,由面積關(guān)系列出方程即可求解;

(3)分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解;

【詳解】

解:

(1)；拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)8(1,0),

9a—3b+3=0

。+匕+3=0

。=一1

解得：〈

b=—2’

二拋物線(xiàn)的解析式為:y=-x2-2x+3,

?.?拋物線(xiàn)的解析式為:y=-x2-2x+3,與y軸交于點(diǎn)C,

???點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,3),

即OA=OC=3；

(2)過(guò)點(diǎn)P作PM1.AO于點(diǎn)M,PNLCO于點(diǎn)、N,

設(shè)尸(X,-X2-2X+3)(

?,^SPAO=2sApco，

：.-AOPM=2x-COxPN,

22

；AO=3,CO=3,

PM=2PN,H[j|-x2-2x+3|=2|x|,

當(dāng)點(diǎn)P在第一、三象限時(shí)，—2X+3=2X，

解得，%——2+V7,%2——2--77；

二6(-2+療,Y+2。，6(-2--2。.

當(dāng)點(diǎn)P在第二、四象限時(shí)，一/一2%+3=—2%，

解得％--也>—V3；

.??6(",26),￡(6,-2百)；

(3)若BC為邊，且四邊形BCFE是平行四邊形,

，CF〃BE,

???點(diǎn)C與點(diǎn)F縱坐標(biāo)相等，

?*-3=-x2-2x+3>

解得玉=-2,/=0(舍去)>

.?.點(diǎn)F(-2,3),

若BC為邊，且四邊形BCFE是平行四邊形,

.?.BE與CF互相平分，

???BE中點(diǎn)縱坐標(biāo)為0,且點(diǎn)C縱坐標(biāo)為3,

.,.點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-3,

??—3=—x2—2x+3>

解得％=—.

X]=—1—5/7，X-y——1+5/7,

F(-1-"-3)或尸(-1+"-3)，

若BC為對(duì)角線(xiàn),則四邊形BECF是平行四邊形，

.?.BC與EF互相平分，

3

.?.BC中點(diǎn)縱坐標(biāo)為一，且點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0,

2

...點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為3,

...點(diǎn)F(-2,3),

綜上所述，點(diǎn)F坐標(biāo)為：片㈠一后,_3)，6(—1+77,-3)，￡(-2,3)：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【支.式5-1】(2019?江西中考真題)在圖1,2,3中，已知回ABCD，/-ABC=120=,點(diǎn)f為線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，

(2)如圖2,連接A戶(hù)

①填空:

/LFAD?ZE4B(填">%“<”，"=")；

②求證：點(diǎn)尸在乙18c的平分線(xiàn)上；

(3)如圖3,連接EG，DG'并延長(zhǎng)DG交比1的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，當(dāng)四邊形AEGH是平行四邊形時(shí)，求明的值?

AB

【答案】⑴60。；⑵①=,②見(jiàn)解析；(3)4

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)菱形的性質(zhì)計(jì)算：

(2)①證明"AB=zJAE=60。，根據(jù)角的運(yùn)算解答；

②作FM1BC丁M,FN184交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于A(yíng)T證明zUFNw/EFM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

FN=FM，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理證明結(jié)論；

(3)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到GH=2AH，證明四邊形ABEH為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案?

【詳解】

解：(1)...四邊形AEFG是菱形，

Z.AEF=1800-LEAG=60°'

:.Z.CEF=Z.AEC-￡AEF=60。，

故答案為：60。；

(2)①...四邊形［BCD是平行四邊形，

￡DAB=180°-UBC=60。'

...四邊形4EFG是菱形，Z.EAG=120。，

A￡FAE=60。，

???LFAD=LEAB'

故答案為：=;

②作FM1BC于M'FN1況4交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于A(yíng)T

圖2

則HVB=LFMB=90。'

???ziVFM=60。'又UFE=60。，

???LAFN=LEFM'

7EF=EAfLFAE=60c,

.?"4EF為等邊三角形，

???FA=FE1

在4AFN和中’

,^AFN=^EFM'

LFNA=占ME

FA=FE

???44FiV會(huì)4EFMG4AS)'

:?FN=FM，又FM_LBC'FN1BAf

???點(diǎn)F在乙4BC的平分線(xiàn)上；

(3)...四邊形AEFG是菱形，LEAG=120c,

???LAGF=60。，

???LFGE=LAGE=30"

???四邊形AEGH為平行四邊形，

???GE/1AR

???^GAH=LAGE=30。'LH=LFGE=30。，

/.LGAH=90c,又UGE=30。'

：.GH=2AH'

?:血B=60。'〃f=30。'

???LADH=30c,

???AD=AH=GE'