理論力學(xué)虛位移原理

理論力學(xué)虛位移原理第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日假想一個約束允許的位移——“虛位移”δx（水平向右），則F與P在此虛位移上就作了“虛功”，它們的虛功之和：Fδx－Pδx

=０，而由于假想的虛位移δx是任意的，所以有：F－P=０，即：F=P

虛位移原理為解決受約束質(zhì)點(diǎn)系（非自由質(zhì)點(diǎn)系）的平衡問題提供了一種新的方法。另外，虛位移原理更重要的意義還在于它為分析力學(xué)的形成和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。第9章虛位移原理第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日9.1約束·虛位移·虛功9.1.1約束及其分類限制物體位置或運(yùn)動的條件稱為約束。限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程。

限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱為幾何約束。1.幾何約束和運(yùn)動約束如xy第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日限制質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動情況的運(yùn)動學(xué)條件稱運(yùn)動約束。第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.定常約束和非定常約束

約束方程中顯含時間t的約束稱為非定常約束。約束方程中不顯含時間t的約束稱為定常約束。xy第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日3.其它分類

約束方程中包含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù),且不可能積分為有限形式的約束稱非完整約束。約束方程是等式的，稱雙面約束約束方程為不等式的，稱單面約束

n為質(zhì)點(diǎn)數(shù)，S為約束方程數(shù).約束方程中不包含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中的積分項(xiàng)可以積分為有限形式的約束為完整約束。本章只討論定常的雙面、完整、幾何約束。第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日9.1.2自由度與廣義坐標(biāo)非自由質(zhì)點(diǎn)系的自由度（確定位置的獨(dú)立參數(shù)數(shù)目）對于具有完整約束的系統(tǒng)自由度r=3n－l,n質(zhì)點(diǎn)數(shù),l

完整約束數(shù)。廣義坐標(biāo)

非自由質(zhì)點(diǎn)系的3n個物理坐標(biāo)并不獨(dú)立故取r=(3n－l)個獨(dú)立參數(shù)來描述質(zhì)點(diǎn)系的位置，這些獨(dú)立參數(shù)叫“廣義坐標(biāo)”。物理坐標(biāo)可以表示成廣義坐標(biāo)的函數(shù)。例：第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日

物理坐標(biāo)：x1,y1,z1

;x2,y2,z2

；

約束方程：x12+y12=a2

z1=0

z2=0

(x2－x1)2+(y2－y1)2

=b2

廣義坐標(biāo)：

a,b

坐標(biāo)變換：

x1=asina,y1=acosb,

x2=asina+bsinb,y2=acosa+bcosb

自由度：2，（n=2,l=4,r=3n－l=2

）第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日9.2.1虛位移

在某瞬時,質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下,可能實(shí)現(xiàn)的任何無限小的位移稱為虛位移。只與約束條件有關(guān)。虛位移等實(shí)位移等

實(shí)位移是質(zhì)點(diǎn)系真實(shí)實(shí)現(xiàn)的位移，它與約束條件、時間、主動力以及運(yùn)動的初始條件有關(guān)。1.虛位移的概念

第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日（1）幾何法（虛速度法）按系統(tǒng)必須滿足的幾何關(guān)系或運(yùn)動關(guān)系計(jì)算。

對于定常約束，常用“虛速度”來分析“虛位移”之間的關(guān)系。如下例：2.建立虛位移關(guān)系的方法看作：drA=vA，drB

=vB

則A、B的“虛速度”關(guān)系有：

vA=vBcos60°故有：drA=drB

cos60°即：2drA=drB

此即所求的虛位移關(guān)系式。第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日（2）解析法

通過對各有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式進(jìn)行變分運(yùn)算，找出各變分之間的關(guān)系即各虛位移之間的關(guān)系。如右例：

求：機(jī)構(gòu)平衡時F2與F1的對應(yīng)的虛位移之間的關(guān)系。

設(shè)j為廣義坐標(biāo)（系統(tǒng)是一個自由度），有：

對各式變分；變分后的以下三式給出虛位移關(guān)系(以

dj為“自變量”)：第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日虛功

9.2.3理想約束

如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中，所有約束力所作虛功的和等于零，稱這種約束為理想約束。力在虛位移中作的功稱虛功。

光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無重剛桿，不可伸長的柔索、固定端、輪子只滾不滑等約束為理想約束。第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日即設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡,有或記為此方程稱虛功方程,其表達(dá)的原理稱虛位移原理或虛功原理.9.3虛位移原理及應(yīng)用

對于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系,其平衡的充分必要條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零。解析式為第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日已知：如圖所示,在螺旋壓榨機(jī)的手柄AB上作用一在水平面內(nèi)的力偶(),其力矩,螺桿的導(dǎo)程為。螺桿與螺母間的摩擦忽略不計(jì)。求：機(jī)構(gòu)平衡時加在被壓物體上的力.例題1第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日解:1、以手柄、螺桿和壓板組成的系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。力偶M對應(yīng)的虛位移力FN對應(yīng)的虛位移2、由虛位移原理3、虛位移關(guān)系分析代入上式得第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日已知：圖中所示結(jié)構(gòu),各桿自重不計(jì),在Ｇ點(diǎn)作用一鉛直向上的力Ｆ,

.求：支座Ｂ的水平約束力.例題2第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日

解:解除B端水平約束,以力代替,如圖(b).

代入虛功方程

第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日解得

如圖在CG間加一彈簧,剛度k,且已有伸長量,仍求。在彈簧處也代之以力,如圖。虛位移關(guān)系分析第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日已知：如圖所示機(jī)構(gòu)，不計(jì)各構(gòu)件自重與各處摩擦。求：機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時，主動力偶矩Ｍ與主動力Ｆ之間的關(guān)系。例題3第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日解:虛位移由圖中關(guān)系有代入虛功方程得

第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日求:支座Ａ的約束力.已知：如圖所示無重組合梁.例題4第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日解：解除A處約束，代之，給虛位移，如圖（b）

代入虛功方程,得第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日例題5已知：平面結(jié)構(gòu)，桿重和摩擦不計(jì)。求：支座B和A處的約束力。第二十四頁