第七章晶體中電子在電場和磁場中的運動

第七章晶體中電子在電場和磁場中的運動第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日§7.1準(zhǔn)經(jīng)典運動一、波包與電子速度在晶體中，可以用Bloch函數(shù)來組成波包。由于波包中含有能量不同的本征態(tài)，因此，必須用含時間的Bloch函數(shù)。對于一維情況，設(shè)波包由以k0為中心，在k的范圍內(nèi)的波函數(shù)組成，并假設(shè)k很小，可近似認(rèn)為不隨k而變。對于一確定的k，含時的Bloch函數(shù)為第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日波包令第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日為分析波包的運動，只需分析2，即幾率分布即可。令0波函數(shù)集中在尺度為

的范圍內(nèi)，

波包中心為：w＝0。第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日有若將波包看成一個準(zhǔn)粒子，則粒子的速度為布里淵區(qū)的寬度：2/a，而假設(shè)k很小，一般要求即推廣到三維情況，電子速度為第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日電子速度的方向為k空間中能量梯度的方向，即垂直于等能面。因此，電子的運動方向決定于等能面的形狀，在一般情況下，在k空間中，等能面并不是球面，因此，v的方向一般并不是k的方向，只有當(dāng)?shù)饶苊鏋榍蛎?，或在某些特殊方向上，v才與k的方向相同。電子運動速度的大小與k的關(guān)系，以一維為例。在能帶底和能帶頂，E(k)取極值，。因此，在能帶底和能帶頂，電子速度v＝0。第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日而在能帶中的某處，電子速度的數(shù)值最大，這種情況與自由電子的速度總是隨能量的增加而單調(diào)上升是完全不同的。二、電子的準(zhǔn)動量在外場中，電子所受的力為F，在dt時間內(nèi)，外場對電子所做的功為Fvdt根據(jù)功能原理，有第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日在平行于v的方向上，和F的分量相等；當(dāng)F與速度v垂直時，不能用功能原理來討論電子能量狀態(tài)的變化，但是我們?nèi)钥梢宰C明在垂直于速度的方向上，和外力F的分量也相等。上式是電子在外場作用下運動狀態(tài)變化的基本公式，具有與經(jīng)典力學(xué)中牛頓定律相似的形式?！娮拥臏?zhǔn)動量。第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日三、電子的加速度和有效質(zhì)量晶體中電子準(zhǔn)經(jīng)典運動的基本關(guān)系式：{由以上兩式可直接導(dǎo)出在外力作用下電子的加速度。1.一維情況第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日引入電子的有效質(zhì)量：有由于周期場中電子的能量E(k)與k的函數(shù)關(guān)系不是拋物線關(guān)系，因此，電子的有效質(zhì)量m*與k有關(guān)。在能帶底，E(k)取極小值，這時，m*>0；在能帶頂，E(k)取極大值，所以，m*<0。第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日2.三維情況其分量形式為＝1,2,3第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日矩陣形式與牛頓定律相比可知，現(xiàn)在是用一個二階張量代替了第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日稱為倒有效質(zhì)量張量。顯然，倒有效質(zhì)量張量是一個對稱張量。需指出的是電子的加速度方向并不一定與外力的方向一致，這是由倒有效質(zhì)量張量的性質(zhì)所決定的。由于倒有效質(zhì)量張量是對稱張量，如將kx、ky、kz取為張量的主軸方向，就可將其對角化。第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日這時有第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日例：求簡單立方晶體s態(tài)電子的有效質(zhì)量。,1,2,3即kx,ky,kz為張量的主軸方向，由此可得第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日這表明有效質(zhì)量的三個主分量均與J1成反比，若原子間距越大，J1越小，則有效質(zhì)量就越大。在能帶底點：k=(0,0,0)，這時有效質(zhì)量張量退化為一個標(biāo)量。在能帶頂R點：第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日這表明，在能帶底和能帶頂電子的有效質(zhì)量是各向同性的，退化為一標(biāo)量，這是立方對稱的結(jié)果。在X點：有效質(zhì)量是一個很重要的概念，它把晶體中電子準(zhǔn)經(jīng)典運動的加速度與外力聯(lián)系起來。有效質(zhì)量中包含了周期場對電子的作用。在一般情況下，

有效質(zhì)量是一個張量，在特殊情況下也可以退化為標(biāo)量。

有效質(zhì)量不僅可以取正，也可以取負。在能帶底附近，有效質(zhì)量總是正的；而在能帶頂附近，

有效質(zhì)量總是負的。這是因為在能帶底和能帶頂E(k)分

別取極大值和極小值，分別具有正的和負的二價微商。第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日§7.2在恒定電場作用下電子的運動一維緊束縛近似：i為某原子能級。設(shè)J1>0，則k＝0點為能帶底；k＝/a為能帶頂。在能帶底k=0和能帶頂k=/a處，電子速度v(k)=0；而在k=/2a處，v(k)分別為極大和極小。第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日一、在k空間中的運動圖象若沿-x方向加一恒定電場，有F=e沿+x方向。由F=?dk/dt=e，得dk/dt=e/?=const.這表明電子在k空間中做勻速運動。第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日在準(zhǔn)經(jīng)典運動中，電子在同一能帶中運動。因此，電子在k空間中的勻速運動意味著電子的能量本征值沿E(k)函數(shù)曲線周期性變化，即電子在k空間中做循環(huán)運動。電子在k空間中的循環(huán)運動，表現(xiàn)在電子速度上是v隨時間作周期性振蕩。二、在實空間中的運動圖象Ex=0Ex第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日ABC電子速度的周期性振蕩也就是電子在實空間中的振蕩。設(shè)t=0時電子在較低的能帶底A點，在電場力的作用下，電子從（能帶底）ABC（能帶頂），對應(yīng)于電子從k=0運動到k=π/a。在C點電子遇到能隙，相當(dāng)于存在一個勢壘。在準(zhǔn)經(jīng)典運動中，電子被限制在同一能帶中運動，因此電子遇到勢壘后將全部被反射回來，電子從CBA，對應(yīng)于k=–π/a到k=0的運動，完成一次振蕩過程。第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日有兩點必須指出：1.上述的振蕩現(xiàn)象實際上很難觀察到。由于電子在運動

過程中不斷受到聲子、雜質(zhì)和缺陷的散射，若相鄰兩

次散射（碰撞）間的平均時間間隔為τ，如果τ很小，

電子還來不及完成一次振蕩過程就已被散射。而電子

完成一次振蕩所需的時間為為了觀察到電子的振蕩過程，要求T。

在晶體中，10－12s，a3×10－10m，由此可估算出若要觀察到振蕩現(xiàn)象，需加的電場104－105V/cm。對金屬，無法實現(xiàn)高電場；對絕緣體，將被擊穿。第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日2.在準(zhǔn)經(jīng)典運動中，當(dāng)電子運動到能隙時，將全部被

反射回來。而根據(jù)量子力學(xué)，電子遇到勢壘時，將

有一定幾率穿透勢壘，而部分被反射回來。電子穿

透勢壘的幾率與勢壘的高度（即能隙Eg）和勢壘的

長度（由外場決定）有關(guān)。第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日§7.3導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體的能帶論解釋在k空間中，對于同一能帶有容易證明，對于同一能帶，處于k態(tài)和處于－k態(tài)的電子具有大小相等方向相反的速度。當(dāng)沒有外加電場時，在一定溫度下，電子占據(jù)k態(tài)和－k態(tài)的幾率只與該狀態(tài)的能量有關(guān)。所以，電子占據(jù)k態(tài)和－k態(tài)的幾率相同，這兩態(tài)的電子對電流的貢獻相互抵消。所以，無宏觀電流I＝0。第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日在有電場存在時，由于不同材料中電子在能帶中的填充情況不同，對電場的響應(yīng)也不同，導(dǎo)電能力也各不相同。一、滿帶、導(dǎo)帶和近滿帶中電子的導(dǎo)電能力，空穴概念滿帶：能帶中電子已填滿了所有的能態(tài)。導(dǎo)帶：一個能帶中只有部分能態(tài)填有電子，而其

余的能態(tài)為沒有電子填充的空態(tài)。近滿帶：一個能帶的絕大部分能態(tài)已填有電子，只

有少數(shù)能態(tài)是空的。第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.滿帶在有外加電場時，由于滿帶中所有能態(tài)均已被電子填滿，電子在滿帶中的對稱分布不會因外場的存在而改變，所以不產(chǎn)生宏觀電流，I＝0。2.導(dǎo)帶第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日由于導(dǎo)帶中還有部分沒有電子填充的空態(tài)，因而導(dǎo)帶中的電子在外場的作用下會產(chǎn)生能級躍遷，從而使導(dǎo)帶中的對稱分布被破壞，產(chǎn)生宏觀電流，I0。3.近滿帶和空穴在有外場時，由于近滿帶中仍有少量沒有電子占據(jù)的空態(tài)，所以在外場的作用下，電子也會發(fā)生能級躍遷，導(dǎo)致電子的不對稱分布，所以，I0。假設(shè)近滿帶中有一個k態(tài)中沒有電子，設(shè)I(k)為這種情況下整個近滿帶的總電流。設(shè)想在空的k態(tài)中填入一個電子，這個電子對電流的貢獻為－ev(k)。但由于填入這個電子后，能帶變?yōu)闈M帶，因此總電流為0。第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日這表明，近滿帶的總電流就如同一個帶正電荷e，其速度為空狀態(tài)k的電子速度一樣。在有電磁場存在時，設(shè)想在k態(tài)中仍填入一個電子形成滿帶。而滿帶電流始終為0，對任意t時刻都成立。作用在k態(tài)中電子上的外力為第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日而在能帶頂附近，電子的有效質(zhì)量為負值，m*<0。為正電荷e在電磁場中所受的力。所以，在有電磁場存在時，近滿帶的電流變化就如同一個帶正電荷e，具有正有效質(zhì)量m*的粒子一樣。電子的準(zhǔn)經(jīng)典運動：第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日結(jié)論：當(dāng)滿帶頂附近有空狀態(tài)k時，整個能帶中的電流以及電流在外電磁場作用下的變化，完全如同一個帶正電荷e，具有正有效質(zhì)量m*和速度v(k)的粒子的情況一樣。我們將這種假想的粒子稱為空穴。

空穴導(dǎo)電性：滿帶中缺少一些電子所產(chǎn)生的導(dǎo)電性；

電子導(dǎo)電性：導(dǎo)帶底有少量電子所產(chǎn)生的導(dǎo)電性。引入空穴概念后，在金屬自由電子論中所無法解釋的正Hall系數(shù)問題，就很容易解釋了。在金屬中參與導(dǎo)電的載流子既可以是電子，也可以是空穴。空穴是一個帶有正電荷，具有正有效質(zhì)量的準(zhǔn)粒子。它是在整個能帶的基礎(chǔ)上提出來的，它代表的是近滿帶中所有電子的集體行為，因此，空穴不能脫離晶體而單獨存在，它只是一種準(zhǔn)粒子。第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日二、導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體導(dǎo)帶空帶空帶價帶價帶}Eg}Eg導(dǎo)體非導(dǎo)體半導(dǎo)體絕緣體{第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日非導(dǎo)體：電子剛好填滿能量最低的一系列能帶，而能量再

高的各能帶都是沒有電子填充的空帶。導(dǎo)體：電子除填滿能量最低的一系列能帶外，在滿帶和

空帶間還有部分填充的導(dǎo)帶。半導(dǎo)體：其禁帶寬度一般較窄。

常規(guī)半導(dǎo)體：如Si：Eg~1.1eV；

Ge：Eg~0.7eV；GaAs：Eg~1.5eV

寬帶隙半導(dǎo)體：如－SiC：Eg~2.3eV；

4H－SiC：Eg~3eV絕緣體：禁帶寬度一般都較寬，Eg>幾個eV。

如－Al2O3：Eg~8eV；NaCl：Eg~6eV。第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日半金屬：介于金屬與半導(dǎo)體之間的中間狀態(tài)。

電子密度：As：~2.11020cm-3;Sb：~5.71019cm-3;

Bi：~2.71017cm-3;Cu：~8.451022cm-3

電阻率：Bi：c12710-6(cm)；c10010-6(cm)

Sb：c29.310-6(cm)；c38.410-6(cm)

Cu：1.5510-6(cm)；Al：2.510-6(cm)由于半導(dǎo)體材料的能隙較窄，因而在一定溫度下，有少量電子從價帶頂躍遷到導(dǎo)帶底，從而在價帶中產(chǎn)生少量空穴，而在導(dǎo)帶底出現(xiàn)少量電子。因此，在一定溫度下，半導(dǎo)體具有一定的導(dǎo)電性，稱為本征導(dǎo)電性。電子的躍遷幾率~exp(-Eg/kBT)，在一般情況下，由于Eg>>kBT，所以，電子的躍遷幾率很小，半導(dǎo)體的本征導(dǎo)電率較低。T升高，電子躍遷幾率指數(shù)上升，半導(dǎo)體的本征電導(dǎo)率也隨之迅速增大。第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日在金屬中，其導(dǎo)帶部分填充，導(dǎo)帶中有足夠多的載流子（電子或空穴），溫度升高，載流子的數(shù)目基本上不增加。但溫度升高，原子的熱振動加劇，電子受聲子散射的幾率增大，電子的平均自由程減小。因此，金屬的電導(dǎo)率隨溫度的升高而下降。T半導(dǎo)體金屬如果半導(dǎo)體中存在一定的雜質(zhì)，其能帶的填充情況將有所改變，可使導(dǎo)帶中出現(xiàn)少量電子或價帶中出現(xiàn)少量空穴，從而使半導(dǎo)體有一定的導(dǎo)電性，稱為非本征導(dǎo)電性。絕緣體的帶隙寬，在一般情況下，絕緣體沒有可觀察到的導(dǎo)電性。第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日三、幾個實例

堿金屬晶體結(jié)構(gòu)：體心立方（bcc）結(jié)構(gòu)，每個原胞中

有一個原子。堿金屬原子基態(tài)：內(nèi)殼層飽和，最外層的

ns態(tài)有一個價電子。Li：1s22s1；Na：1s22s22p63s1等。

由N個堿金屬原子結(jié)合成晶體時，原子的內(nèi)層電子剛好

填滿相應(yīng)的能帶，而與外層ns態(tài)相應(yīng)的能帶卻只填充了

一半。因此，堿金屬是典型的金屬導(dǎo)體。

貴金屬（Cu、Ag和Au）的情況（fcc結(jié)構(gòu)）與堿金屬相

似，也是典型的金屬導(dǎo)體。第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日第三族元素也有類似的情況，只不過這時形成導(dǎo)帶的是np電子，而不是ns電子。所以，第三族元素的晶體絕大多數(shù)為金屬。對于二價的堿土金屬元素，與堿金屬元素相似，其最外層有兩個ns電子，如Be：1s22s2；Mg：1s22s22p63s2等。若按對堿金屬的討論，N個堿土金屬原子中有2N個ns電子，應(yīng)剛好填滿其相應(yīng)的ns能帶而形成非導(dǎo)體。但實際上它們是金屬導(dǎo)體，而不是非導(dǎo)體。這是由于在這些晶體中，與ns態(tài)相應(yīng)的能帶與上面的能帶發(fā)生重疊，因此，2N個ns電子尚未填滿相應(yīng)的能帶就已開始填入更高的能帶，結(jié)果使得這兩個能帶都是部分填充的。第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日周期表中第四族及其以上的元素，由于其電子態(tài)和結(jié)合形式比較復(fù)雜，所以必須經(jīng)過具體計算之后，才能判斷是金屬還是非金屬。對絕緣體，如：NaCl晶體。Na原子基態(tài)：1s22s22p63s1；Cl原子基態(tài)：1s22s22p63s23p5。當(dāng)Na原子與Cl原子結(jié)合成NaCl晶體時，Na的3s帶比Cl的3p帶高約6eV，在Cl的3p帶中可以填充6N個電子，但N個Cl原子中只有5N個3p電子，于是，在能量較高的Na的3s帶中的N個電子就轉(zhuǎn)移到能量較低的Cl的3p帶中，剛好填滿Cl的3p帶，而Na的3s帶成為空帶，其能隙Eg~6eV，所以，NaCl晶體為絕緣體。第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日四、X射線發(fā)射譜電子在價電子能帶中的填充情況可以用X射線發(fā)射譜實驗來驗證。1s2s2p價電子

能帶KL1L2K：外層電子落入

空的1s態(tài)而發(fā)射

的X射線；

L1：外層電子落入

2s態(tài)所發(fā)射的X

射線；

L2：外層電子落入

2p態(tài)所發(fā)射的X

射線。第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日發(fā)射譜的強度：X射線發(fā)射譜的強度可較直接地反映價電子能帶的能態(tài)密度狀況。第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日§7.4

在恒定磁場中電子的運動討論電子在恒定磁場中的運動有兩種方法：準(zhǔn)經(jīng)典近似和求解含磁場的Schr?dinger方程。一、恒定磁場中的準(zhǔn)經(jīng)典運動準(zhǔn)經(jīng)典運動的兩個基本方程：{第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.

在k空間中的運動圖象這表明沿磁場方向k的分量不隨時間而變，即在k空間中，電子在垂直于磁場B的平面內(nèi)運動；

又由于Lorentz力不做功，，所以電子的能量E(k)不隨時間而變，即電子在等能面上運動。

電子在k空間中的運動軌跡是垂直于磁場的平面與等能面的交線，即電子在垂直于磁場的等能線上運動。在k空間中，電子作循環(huán)運動。第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日電子的循環(huán)周期：回轉(zhuǎn)園頻率：對自由電子：電子的回旋軌道為園在等能線上，k＝const.第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日2.在實空間中的運動圖象在實空間中，電子的運動軌跡為一螺旋線。對于自由電子：如設(shè)磁場沿z軸方向，有第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日解為{實空間中電子的運動圖象：沿磁場方向（z方向），電子作勻速運動，在垂直于磁場的平面內(nèi)，電子作勻速圓周運動?；剞D(zhuǎn)頻率：對于晶體中的電子{第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日在主軸坐標(biāo)系中有若磁場方向取在z軸方向，B＝Bk，即可寫出其相應(yīng)的準(zhǔn)經(jīng)典運動方程。第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日二、自由電子的量子理論在沒有磁場時，自由電子的哈密頓量為當(dāng)有磁場存在時，電子運動的哈密頓量為A為磁場的矢勢，若磁場B沿z方向，則可取第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日由于哈密頓算符中不含x和z，與及對易。根據(jù)量子力學(xué)，H和px、pz有共同本征態(tài)。設(shè)ψ為其共同本征態(tài)，有波函數(shù)可以寫成代入波動方程第四十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日其中上式是中心位置在y=y0，振動園頻率為0的線性諧振子。第四十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日解為Nn為歸一化因子，Hn(y)為厄密多項式。相應(yīng)的能量本征值為n=0,1,2,…第五十頁，共五十五頁，2022年，8月28日即，根據(jù)量子理論，在垂直于磁場平面內(nèi)的勻速圓周運動對應(yīng)于一種簡諧振動，其能量是量子化的。我們將這些兩種量子化的能級稱為朗道能級。三、晶體中電子的有效質(zhì)量近似晶體中電子在磁場中運動時，其哈密頓量為其中，U(r)為