初中二次函數(shù)的解題方法

11.1班沈陽(yáng)14號(hào)初中二次函數(shù)的解題方法首先回顧一下初中二次函數(shù)的重要性質(zhì)和基本表達(dá)式：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,4ac-b2/4a);頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù)),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),對(duì)稱軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)[僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線,即b^2-4ac≥0]：由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：∵X1+x2=-b/ax1·x2=c/a∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[﹙x2;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)重要概念：。1.二次函數(shù)圖像是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=h或者x=-b/2a對(duì)稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)h=0時(shí)，二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0);a,b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左b=0,對(duì)稱軸是y軸;a,b異號(hào)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)2.二次函數(shù)圖像有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(h,k)當(dāng)h=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)k=0時(shí)，P在x軸上。h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)圖像向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。|a|越大，則二次函數(shù)圖像的開(kāi)口越小。有時(shí)也可以考慮圖像的整體性質(zhì)、特殊點(diǎn)的位置及二次方程的聯(lián)系，結(jié)合韋達(dá)定理和判別式定理確定a,b,c,△及系數(shù)的代數(shù)符號(hào)。常見(jiàn)問(wèn)題1、拋物線中特殊點(diǎn)組成的三角形問(wèn)題：拋物線線中的特殊三角形主要有兩類：（1）、拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和與y軸的交點(diǎn)所組成的三角形；（2）、拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和頂點(diǎn)所組成的三角形。解決策略是：應(yīng)用平面幾何的有關(guān)定理，如等腰三角形的三線合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜邊中線定理等結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式及二次方程的求根公式、判別式定理、韋達(dá)定理等知識(shí)求解。用到的數(shù)學(xué)思想方法有數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等。2、二次函數(shù)的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的直線或曲線一般采用消去參數(shù)法，即消去參數(shù)以后的方程即為動(dòng)點(diǎn)需滿足的函數(shù)解析式。x1，x2是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根．∴∴x1<0，x2<0又由題設(shè)可知△=b2－4ac>0，∴b>2①∵|OA|=|x1|<1，|OB|=|x2|<1，即－1<x1，x2<0，∴=x1x2<1，∴c<a②∵拋物線y=ax2+bx+c開(kāi)口向上，且當(dāng)x=－1時(shí)y>0，∴a(－1)2+b(－1)+c>0，即a+c>b．∵b，a+c都是整數(shù)，∴a+c≥b+1③由①，③得a+c>2+1，∴()2>1，又由②知，>1，+1，即a>(+1)2≥(+1)2=4∴a≥5，又b>2≥2>4，∴b≥5取a=5，b=5，c=1時(shí)，拋物線y=5x2+5x+1滿足題意．故a+b+c的最小值為5+5+1=11．例4如果y=x2－(k－1)x－k－1與x軸的交點(diǎn)為A，B，頂點(diǎn)為C，那么△ABC的面積的最小值是（）A、1B、2C、3D、4解：由于△=(k－1)2+4(k+1)=(k+1)2+4>0，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則：|AB|=又拋物線的頂點(diǎn)c坐標(biāo)是()，因此S△ABC=·因?yàn)閗2+2k+5=(k+1)2+4≥4，當(dāng)k=－1時(shí)等于成立，所以，S△ABC≥，故選A．－2－－2－1120xy·圖1已知二次函數(shù)y=x2－x－2及實(shí)數(shù)a>－2．求：(1)函數(shù)在－2<x≤a的最小值；(2)函數(shù)在a≤x≤a+2的最小值．解：函數(shù)y=x2－x－2的圖象如圖1所示．(1)若－2<a<，當(dāng)x=a時(shí)，y最小值=a2－a－2若a≥，當(dāng)x=時(shí)，y最小值=－．(2)若－2<a且a+2<，即－2<a<－，當(dāng)x=a+2時(shí)，y最小值=(a+2)2－(a+2)－2=a2+3a，若a<≤a+2，即－≤a<，當(dāng)x=時(shí)，y最小值=－．若a≥，當(dāng)x=a時(shí)，y最小值=a2－a－2．例6當(dāng)|x+1|≤6時(shí)，函數(shù)y=x|x|－2x+1的最大值是．解：由|x+1|≤6，得－7≤x≤5，當(dāng)0≤x≤5時(shí)，y=x2－2x+1=(x－1)2，此時(shí)y最大值=(5－1)2=16．當(dāng)－7≤x<0，y=－x2－2x+1=2－(x+1)2，此時(shí)y最大值=2．因此，當(dāng)－7≤x≤5時(shí)，y的最大值是－16．說(shuō)明：對(duì)于含有絕對(duì)值的二次函數(shù)，通常是先分區(qū)間討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，求出各區(qū)間的最值，然后通過(guò)比較得出整個(gè)區(qū)間函數(shù)的最值．例7、已知二次函數(shù)y=x^2+(k+2)x+k+5與x軸的兩個(gè)不同交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是正的，那么，k的值應(yīng)為（)

A.k＞4或k＜-5

B.-5＜k＜-4

C.k≥-4或k≤-5

D.-5≤k≤-4

因?yàn)榕cX軸有2個(gè)交點(diǎn)

所以b^2-4ac=(k+2)^2-4(k+5)>0——(1)

設(shè)與x軸交點(diǎn)分別為x1，x2

則x1+x2=-（k+2）>0——（2）

x1*x2=k+5>0——（3）

解得-5<k<-4

選B例8.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,0），（1，-2），當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是__[3/4，+∝）__.

解析：把點(diǎn)（-1,0），（1，-2）代入二次函數(shù)數(shù)，可解得

b=-3/2函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-（-3/2）/2=3/4

a=1＞0，函數(shù)開(kāi)口向上，單調(diào)遞增區(qū)間是[3/4，+∝）.例9.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，當(dāng)x取整數(shù)時(shí)，y值也是整數(shù)，這樣的二次函數(shù)叫作整點(diǎn)二次函數(shù)，請(qǐng)問(wèn)是否存在a的絕對(duì)值小于0.5的整點(diǎn)二次函數(shù)，若存在請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。

解答：（方法1）（反證法）假設(shè)存在二次項(xiàng)系數(shù)a的絕對(duì)值小于0.5的整點(diǎn)二次函數(shù)，（a≠0)

則當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即c為整數(shù)，

同理，當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c=m，x=-1時(shí)，y=a-b+c=n，其中m、n都應(yīng)為整數(shù)，

兩式相加，2a+2c=m+n，推知2a也應(yīng)為整數(shù)，而|a|<0.5，即|2a|<1，矛盾。

所以不存在a的絕對(duì)值小于0.5的整點(diǎn)二次函數(shù)。

（方法2）x＝0時(shí)，y＝c是整數(shù)

x＝1時(shí)，y＝a＋b＋c是整數(shù)

x＝－1時(shí)，y＝a－b＋c是整數(shù)

∴(a＋b＋c)＋(a－b＋c)＝2a＋2c是整數(shù)

而2c是整數(shù)例10.已知y=x2-│x┃-12的圖象與x軸交于相異兩點(diǎn)A，B另一拋物線y=ax2+bx+c過(guò)A,B，頂點(diǎn)為P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c

解答：顯然A,B坐標(biāo)為(-4,0),(4,0).

y=ax2+bx+c過(guò)A,B,所以b=0,c/a=-16,P點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,-16a)

由于APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2,

求出a=±1/4.

所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.例11.已知y=x2-│x┃-12的圖象與x軸交于相異兩點(diǎn)A，B另一拋物線y=ax2+bx+c過(guò)A,B，頂點(diǎn)為P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c

解答：顯然A,B坐標(biāo)為(-4,0),(4,0).

y=ax2+bx+c過(guò)A,B,所以b=0,c/a=-16,P點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,-16a)

由于APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2,

求出a=±1/4.

所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.例12已知a<0，b≤0，c>0，且=