人教版數(shù)學(xué)九年級上冊同步講義第25課點、直線、圓與圓的位置關(guān)系（教師版）

第25課點、直線、圓與圓的位置關(guān)系目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解點與圓的位置關(guān)系由點到圓心的距離決定；會畫三角形的外接圓，熟識相關(guān)概念.2.理解直線與圓的各種位置關(guān)系,會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系；

3.了解兩個圓相離(外離、內(nèi)含)，兩個圓相切(外切、內(nèi)切)，兩圓相交，圓心距等概念．理解兩圓的位置關(guān)系與d、r1、r2等量關(guān)系的等價條件并靈活應(yīng)用它們解題．知識精講知識精講知識點01點和圓的位置關(guān)系1．點和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有

（1）點P在圓內(nèi)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）點P在圓上SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）點P在圓外SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02．三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等.要點詮釋：（1）點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；（2）不在同一直線上的三個點確定一個圓.

知識點02直線和圓的位置關(guān)系1．直線和圓的三種位置關(guān)系：

(1)相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．

(2)相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．

(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．

直線與圓的位置關(guān)系能否像點與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進(jìn)行分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么（1）直線l和SKIPIF1<0相交SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）直線l和SKIPIF1<0相切SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）直線l和SKIPIF1<0相離SKIPIF1<0SKIPIF1<0；這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定．能力拓展能力拓展考法01點與圓的為位置關(guān)系【典例1】已知⊙O的半徑r＝5cm，圓心O到直線的距離d＝OD＝3cm，在直線上有P、Q、R三點，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三點與⊙O位置關(guān)系各是怎樣的?【答案與解析】依題意畫出圖形(如圖所示)，計算出P、Q、R三點到圓心的距離與圓的半徑比較大?。B接PO，QO，RO．∵PD＝4cm，OD＝3cm，∴PO＝．∴點P在⊙O上．，∴點Q在⊙O外．，∴點R在⊙O內(nèi)．【總結(jié)升華】判斷點與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是計算出點與圓心的距離，再與圓的半徑比較大小，即可得出結(jié)論．考法02直線與圓的位置關(guān)系【典例2】如圖，以O(shè)為原點建立平面直角坐標(biāo)系，每一小格為一個單位，圓心為A（3，0）的⊙A被y軸截得的弦長BC=8，如圖，解答下列問題：（1）⊙A的直徑為；（2）請在圖中將⊙A先向上平移6個單位，再向左平移花8個單位得到⊙D，觀察你所畫的圖形，則⊙D的圓心D的坐標(biāo)為；⊙D與x軸的位置關(guān)系是，⊙D與y軸的位置關(guān)系是，⊙D與⊙A的位置關(guān)系是；【答案與解析】解：（1）半徑==5，所以直徑為10.（2）（﹣5，6）；相離；相切；外切；【總結(jié)升華】本題主要考查了平移作圖即圖形平移變換的知識，注意圖形的平移，變化的是位置，不變的是形狀．【即學(xué)即練1】如圖，兩個同心圓，大圓半徑為5cm，小圓的半徑為3cm，若大圓的弦AB與小圓相交，則弦AB的取值范圍是多少？【答案】解：如圖，當(dāng)AB與小圓相切時有一個公共點D，連接OA，OD，可得OD⊥AB，∴D為AB的中點，即AD=BD，在Rt△ADO中，OD=3，OA=5，∴AD=4，∴AB=2AD=8；當(dāng)AB經(jīng)過同心圓的圓心時，弦AB最大且與小圓相交有兩個公共點，此時AB=10，所以AB的取值范圍是8＜AB≤10．故答案為：8＜AB≤10.【典例3】如圖所示，已知∠AOB=30°，P是OA上的一點，OP=12cm,以r為半徑作⊙P．(1)當(dāng)r=7cm時，試判斷⊙P與OB位置關(guān)系；(2)若⊙P與OB相離，試求出r需滿足的條件.【思路點撥】（1）過點P作PC⊥OB于點C，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出PC的長，再比較出PC與r的大小即可；（2）根據(jù)⊙P與OB相離，試求出r需滿足的條件.【答案與解析】解（1）過點P作PC⊥OB于點C，∵∠AOB=30°，∴SKIPIF1<0∵PC＜r,∴⊙P與OB相交；（2）∵⊙P與OB相離，∴0＜r＜PC,∴0cm＜r＜6cm.【總結(jié)升華】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知直線和圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.考法02三角形的外接圓【典例4】如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，圓心O在這個三角形的高CD上，E，F(xiàn)分別是邊AC和BC上的中點，試判斷四邊形CEDF的形狀，并加以證明.【思路點撥】由垂徑定理知，點D為AB中點，且AC=BC；再由中位線定義知，DESKIPIF1<0，DFSKIPIF1<0，從而可得四邊形CEDF為菱形.SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案與解析】四邊形CEDF為菱形.證明：∵AB為弦，CD為直徑所在的直線，且AB⊥CD，∴AD=BD，∠ADC=∠CDB，在△ADC和△BDC中，SKIPIF1<0∴△ADC≌△BDC（SAS）∴AC=BC.又∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，D為AB中點，DF=CE=SKIPIF1<0，DE=CF=SKIPIF1<0，∴DE=DF=CE=CF，∴四邊形CEDF為菱形.【總結(jié)升華】本題主要考查外接圓與其他知識的綜合.【即學(xué)即練2】如圖，已知，在△ABC中，AB=10，∠A=70°，∠B=50°，求△ABC外接圓⊙O的半徑.【答案】如圖，連接AO，并延長交⊙O于點D，連接DB.由三角形內(nèi)角和得，∠C=180°－70°－50°=60°.又∵∠D=∠C=60°且∠ABD=90°，在Rt△ABD中，∠DAB=30°，AB=10，由勾股定理得，AD=SKIPIF1<0∴半徑AO=SKIPIF1<0即△ABC外接圓⊙O的半徑為SKIPIF1<0考法03圓與圓的位置關(guān)系【典例5】如圖所示，⊙O的半徑為5，點P為⊙O外一點，OP＝8．求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O相切，則⊙P的半徑為多少?(2)當(dāng)⊙P與⊙O相交時，⊙P的半徑的取值范圍為多少?【答案與解析】(1)當(dāng)⊙P與⊙O外切時，則有5+r＝8，∴r＝3．當(dāng)⊙P與⊙O內(nèi)切時，則有r-5＝8，∴r＝13．∴當(dāng)r＝3或13時，⊙O與⊙P相切．(2)當(dāng)⊙P與⊙O相交時，則有|r-5|＜8＜r+5，解得3＜r＜13，即當(dāng)3＜r＜13時，⊙P與⊙O相交．【總結(jié)升華】兩圓相切包含兩圓外切與兩圓內(nèi)切，兩圓外切和內(nèi)切的對應(yīng)關(guān)系分別為d＝R+r和d＝R-r(R＞r)，它們起著分界作用，分別是外離與相交，相交與內(nèi)含的分界點．可用圖表示為：【即學(xué)即練3】已知⊙O1與⊙O2相切，⊙O1的半徑為3cm，⊙O2的半徑為2cm，則O1O2的長是()A．1cmB．5cmC．1cm或5cmD．0.5cm或2.5cm【答案】C提示：兩圓相切包括外切和內(nèi)切，當(dāng)⊙O1與⊙O2外切時，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；當(dāng)⊙O1與⊙O2內(nèi)切時，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．故選C.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，∠O＝30°，C為OB上一點，且OC＝6，以點C為圓心，半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是()A．相離B．相交C．相切D．均有可能【答案】C【解析】試題解析：過點C作CD⊥AO于點D，∵∠O=30∴DC=3，∴以點C為圓心，半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是：相切.故選：C.2．在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A為圓心3cm為半徑作⊙O，則BC與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相離 C．相切 D．不能確定【答案】A【解析】作AD⊥BC，如圖所示：∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A為圓心3cm為半徑作⊙O，∴BC=5，∴AD×BC=AC×AB，解得：AD=2.4，2.4＜3，∴BC與⊙O的位置關(guān)系是：相交．故選A．3．設(shè)⊙O的半徑為3，點O到直線l的距離為d，若直線l與⊙O至少有一個公共點，則d應(yīng)滿足的條件是（）A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3【答案】B【解析】因為直線l與⊙O至少有一個公共點，所以包括直線與圓有一個公共點和兩個公共點兩種情況，因此d≤r，即d≤3.故選B．4．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C為圓心作⊙C和AB相切，則⊙C的半徑長為（）A．8 B．4 C．9．6 D．4．8【答案】D【解析】作CD⊥AB于D,如圖所示,因為∠C=90°,AB=10,AC=6,所以BC=8,因為SKIPIF1<0AC·BC=SKIPIF1<0AB·CD,CD=SKIPIF1<0,因為⊙C與AB相切,所以CD為⊙C的半徑,即的半徑長為SKIPIF1<0,故選D.5．已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為5和3，圓心距為2，則兩圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)含 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】D【解析】試題解析：∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的半徑分別為5和3，圓心距為2，則5?3=2，∴根據(jù)圓心距與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的位置關(guān)系是內(nèi)切.故選D.6．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以點A為圓心，AC為半徑作⊙A，那么斜邊中點D與⊙A的位置關(guān)系是（）A．點D在⊙A外 B．點D在⊙A上 C．點D在⊙A內(nèi) D．無法確定【答案】A【解析】試題解析：根據(jù)勾股定理求得斜邊SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴點在圓外.故選A.點睛：要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，本題可由勾股定理等性質(zhì)算出點與圓心的距離SKIPIF1<0．

則SKIPIF1<0時，點在圓外；

當(dāng)SKIPIF1<0時，點在圓上；

當(dāng)SKIPIF1<0時，點在圓內(nèi)．7．已知A為⊙O上的點，⊙O的半徑為1，該平面上另有一點P，PA=SKIPIF1<0，那么點P與⊙O的位置關(guān)系是()A．點P在⊙O內(nèi) B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法確定【答案】D【解析】∵⊙O的半徑為1，∴⊙O的直徑為2，∵PA=SKIPIF1<0，且點A在⊙O上，∴點P的位置有三種情況：①在圓外，②在圓上，③在圓內(nèi)．故選D．8．如圖所示，SKIPIF1<0的底邊BC的長為10cm，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求它外接圓的直徑.【答案】SKIPIF1<0【分析】連接OA交BC于D，根據(jù)三線合一定理得出BD=DC，∠OAC=SKIPIF1<0∠BAC，得出等邊三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根據(jù)勾股定理求出即可半徑，進(jìn)而求得直徑．【詳解】解：如圖所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓，連接OA交BC于D，

∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，

∴∠AOC=∠BOA，

∵OB=OC，

∴BD=DC，OA⊥BC，

∴由垂徑定理得：BD=DC=5cm，

∠OAC=SKIPIF1<0∠BAC=SKIPIF1<0×120°=60°，

∵OA=OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠AOC=60°，

∴∠DCO=90°-60°=30°

∴OC=2OD，

設(shè)OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，

a=SKIPIF1<0，

∴OC=2a=SKIPIF1<0，

∴外接圓的直徑=2OC=SKIPIF1<0（cm）．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓和外心，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點，此題有一定的難度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．題組B能力提升練1．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點D為圓心作半徑為x的圓，使點A、B、C三點都在圓外，則x的取值范圍是______．【答案】0＜x＜3【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來進(jìn)行判斷．當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．【詳解】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，則BD=SKIPIF1<0=5．∵點A、B、C三點都在圓外，∴0＜x＜3．故答案為0＜x＜3.【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及點與圓的位置關(guān)系．2．已知RtABC的兩直角邊AC、BC分別是一元二次方程的兩根，則此Rt的外接圓的面積為．【答案】．【解析】首先解出一元二次方程的兩根，再利用直角三角形的外接圓半徑與斜邊的關(guān)系可以解決．解：解方程x2-5x+6=0，得：x1=2，x2=3，即兩直角邊AC、BC是2或3，根據(jù)勾股定理得：斜邊長為：SKIPIF1<0，也就是Rt△ABC的外接圓直徑為SKIPIF1<0，∴Rt△ABC的外接圓的面積為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．故填：SKIPIF1<0．3．如圖，OA=OB,點A的坐標(biāo)是（-2,0），OB與x軸正方向夾角為600，請畫出過A，O，B三點的圓，寫出圓心的坐標(biāo)是.【答案】解：如圖；過B作BE⊥x軸于E；Rt△OBE中，OB=OA=2，∠BOE=60°；則OE=1，BE=3,故B（1，3）；以O(shè)A、OB為邊作平行四邊形AOBD，由于OA=OB，則四邊形AOBD是菱形；所以點D一定在AB的垂直平分線上（菱形的對角線互相垂直平分）；連接OA；由于OA=OD，∠DAO=∠BOE=60°，則△AOD是等邊三角形；所以點D也在AO的垂直平分線上；故點D為△OAB的外心，所以D的坐標(biāo)為（-1，3）【解析】試題分析：以O(shè)A、OB為邊，AB為對角線作平行四邊形AOBD，由于OA=OB，那么四邊形AOBD是菱形；由于菱形的對角線互相垂直平分，那么D點一定在AB的垂直平分線上；連接OD，易證得∠DAO=60°，且AD=OA，所以點D也在OA的垂直平分線上；那么點D即為△AOB的外心，先求出B點坐標(biāo)，即可根據(jù)A、O、B三點坐標(biāo)得到點D的坐標(biāo)．考點：三角形的外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)點評：此題主要考查了三角形外心坐標(biāo)的求法，能夠發(fā)現(xiàn)點D與點A、B的坐標(biāo)之間的關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵．4．一個點P到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm，則圓的半徑為________【答案】3cm或8cm【分析】點P應(yīng)分為位于圓的內(nèi)部位于外部兩種情況討論．當(dāng)點P在圓內(nèi)時，點到圓的最大距離與最小距離的和是直徑；當(dāng)點P在圓外時，點到圓的最大距離與最小距離的差是直徑，由此得解．【詳解】解：當(dāng)點P在圓內(nèi)時，最近點的距離為5cm，最遠(yuǎn)點的距離為11cm，則直徑是16cm，因而半徑是8cm；當(dāng)點P在圓外時，最近點的距離為5cm，最遠(yuǎn)點的距離為11cm，則直徑是6cm，因而半徑是3cm；故答案為3cm或8cm5．如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOC=30°，半徑為1cm的的圓心P在射線OA上，且與點O的距離為6cm，以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，那么與直線CD相切時，圓心P的運動時間為_____．【答案】4秒或8秒【分析】⊙P與CD相切應(yīng)有兩種情況，一種是在射線OA上，另一種在射線OB上，設(shè)對應(yīng)的圓的圓心分別在M，N兩點．當(dāng)P在M點時，根據(jù)切線的性質(zhì)，在直角△OME中，根據(jù)30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得OM的長，進(jìn)而求得PM的長，從而求得由P到M移動的時間；根據(jù)ON=OM，即可求得PN，也可以求得求得由P到M移動的時間．【詳解】①當(dāng)⊙P在射線OA上，設(shè)⊙P于CD相切于點E，P移動到M時，連接ME．∵⊙P與直線CD相切，

∴∠OEM=90°，

∵在直角△OPM中，ME=1cm，∠AOC=30°，

∴OM=2ME=2cm，

則PM=OP-OM=6-2=4cm，

∵⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，

∴⊙P移動4秒時與直線CD相切；

②當(dāng)⊙P的圓移動到直線CD的右側(cè)，同理可求ON=2則PN=6+2=8cm．

∴⊙P移動8秒時與直線CD相切．

故答案為：4秒或8秒．

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，注意已知圓的切線時，常用的輔助線是連接圓心與切點，本題中注意到分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．6．如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝3cm，BC＝4cm，以點A為圓心，4cm為半徑作⊙A，則點B，C，D與⊙A怎樣的位置關(guān)系．【答案】點B在⊙A內(nèi)，點D在⊙A上，點C在⊙A外．【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC的長，進(jìn)而得出點B，C，D與⊙A的位置關(guān)系．【詳解】連接AC，∵AB＝3cm，BC＝AD＝4cm，∴AC＝5cm，∴點B在⊙A內(nèi)，點D在⊙A上，點C在⊙A外．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要掌握勾股定理，及點與圓的位置關(guān)系．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為（2，0），⊙P與x軸相交于原點O和點A，又B、C兩點的坐標(biāo)分別為（0，b），（﹣1，0）．（1）當(dāng)b＝2時，求經(jīng)過B、C兩點的直線解析式；（2）當(dāng)B點在y軸上運動時，直線BC與⊙P位置關(guān)系如何？并求出相應(yīng)位置b的值【答案】（1）y＝2x+2；（2）當(dāng)b＝±SKIPIF1<0時，直線BC與⊙P相切；當(dāng)b＞SKIPIF1<0或b＜﹣SKIPIF1<0時，直線BC與⊙P相離；當(dāng)﹣SKIPIF1<0＜b＜SKIPIF1<0時，直線BC與⊙P相交．【解析】【分析】（1）由待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；（2）分直線BC與⊙O相切，相交，相離三種情況討論，可求b的取值范圍．【詳解】解：（1）設(shè)BC直線的解析式：y＝kx+b由題意可得：SKIPIF1<0∴解得：k＝2，b＝2∴BC的解析式為：y＝2x+2（2）設(shè)直線BC在x軸上方與⊙P相切于點M，交y軸于點D，連接PM，則PM⊥CM．在Rt△CMP和Rt△COD中，CP＝3，MP＝2，OC＝1，CM＝SKIPIF1<0∵∠MCP＝∠OCD∴tan∠MCP＝tan∠OCP∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，b＝OD＝SKIPIF1<0×1＝SKIPIF1<0由軸對稱性可知：b＝±SKIPIF1<0∴當(dāng)b＝±SKIPIF1<0時，直線BC與⊙P相切；當(dāng)b＞SKIPIF1<0或b＜﹣SKIPIF1<0時，直線BC與⊙P相離；當(dāng)﹣SKIPIF1<0＜b＜SKIPIF1<0時，直線BC與⊙P相交．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，待定系數(shù)法求解析式，設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，①直線l和⊙O相交?d＜r，②直線l和⊙O相切?d＝r，③直線l和⊙O相離?d＞r．關(guān)閉2．已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0.（Ⅰ）如圖①，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切線，與SKIPIF1<0的延長線交于點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大小及SKIPIF1<0的長；（Ⅱ）如圖②，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0延長線與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大小及SKIPIF1<0的長.【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0，PA＝4；（Ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】（Ⅰ）易得△OAC是等邊三角形即∠AOC=60°，又由PC是○O的切線故PC⊥OC，即∠OCP=90°可得∠P的度數(shù)，由OC=4可得PA的長度（Ⅱ）由（Ⅰ）知△OAC是等邊三角形，易得∠APC=45°；過點C作CD⊥AB于點D，易得AD=SKIPIF1<0AO=SKIPIF1<0CO，在Rt△DOC中易得CD的長，即可求解【詳解】解：（Ⅰ）∵AB是○O的直徑，∴OA是○O的半徑.∵∠OAC=60°，OA=OC，∴△OAC是等邊三角形.∴∠AOC=60°.∵PC是○O的切線，OC為○O的半徑，∴PC⊥OC，即∠OCP=90°∴∠P=30°.∴PO=2CO=8.∴PA=PO-AO=PO-CO=4.（Ⅱ）由（Ⅰ）知△OAC是等邊三角形，∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°∴∠AQC=30°.∵AQ=CQ，∴∠ACQ=∠QAC=75°∴∠ACQ-∠ACO=∠QAC-∠OAC=15°即∠QCO=∠QAO=15°.∴∠APC=∠AQC+∠QAO=45°.如圖②，過點C作CD⊥AB于點D.∵△OAC是等邊三角形，CD⊥AB于點D，∴∠DCO=30°，AD=SKIPIF1<0AO=SKIPIF1<0CO=2.∵∠APC=45°，∴∠DCQ=∠APC=45°∴PD=CD在Rt△DOC中，OC=4，∠DCO=30°，∴OD=2，∴CD=2SKIPIF1<0∴PD=CD=2SKIPIF1<0∴AP=AD+DP=2+2SKIPIF1<0【點睛】此題主要考查圓的綜合應(yīng)用3．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA＝5，OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．(1)試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．【答案】（1）AB＝AC（2）SKIPIF1<0≤r<5【解析】【分析】（1）連接SKIPIF1<0，根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可；（2）根據(jù)已知得出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的垂直平分線上，作出線段SKIPIF1<0的垂直平分線SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0范圍，再根據(jù)相離得出SKIPIF1<0，即可得出答案.【詳解】(1)AB＝AC，理由如下：如圖1，連結(jié)OB.∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90°，∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°，∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠ACP＝∠ABC，∴AB＝AC；(2)如圖2，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，則可以推出SKIPIF1<0；又∵圓O與直線MN有交點，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，r2≥5，∴SKIPIF1<0，又∵圓O與直線l相離，∴r<5，即SKIPIF1<0.圖1圖2【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、直線與圓的位置關(guān)系等知識點的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力.本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度.4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在直線l上，以A為圓心，OA為半徑的圓與y軸的另一個交點為E．給出如下定義：若線段OE，⊙A和直線l上分別存在點B，點C和點D，使得四邊形ABCD是矩形（點A，B，C，D順時針排列），則稱矩形ABCD為直線l的“位置矩形”．例如，圖中的矩形ABCD為直線l的“位置矩形”．（1）若點A（-1，2），四邊形ABCD為直線x=-1的“位置矩形”，則點D的坐標(biāo)為；（2）若點A（1，2），求直線y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面積；（3）若點A（1，-3），直線l的“位置矩形”面積的最大值為，此時點D的坐標(biāo)為．【答案】（1）（-1，0）；（2）SKIPIF1<0；（3）5、（3，-2）或（-1，-2）．【解析】【分析】（1）只需根據(jù)新定義畫出圖形就可解決問題；（2）過點A作AF⊥y軸于點F，連接AO、AC，如圖2，根據(jù)點A（1，2）在直線y=kx+1上可求出k，設(shè)直線y=x+1與y軸相交于點G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根據(jù)勾股定理可求出AG、AB、BC的值，從而可求出“位置矩形”ABCD面積；（3）設(shè)“位置矩形”的一組鄰邊長分別為x、y，則有x2+y2=10．由（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0可得xy≤5，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，xy取最大值是5，此時“位置矩形”是正方形，然后分點D在第四象限（如圖3）和第三象限（如圖4）兩種情況討論，就可解決問題【詳解】（1）如圖1，點D的坐標(biāo)為（-1，0）．故答案為（-1，0）；（2）過點A作AF⊥y軸于點F，連接AO、AC，如圖2．∵點A的坐標(biāo)為（1，2），∴AC=AO=SKIPIF1<0，AF=1，OF=2．∵點A（1，2）在直線y=kx+1上，∴k+1=2，解得k=1．設(shè)直線y=x+1與y軸相交于點G，當(dāng)x=0時，y=1，點G（0，1），OG=1，∴FG=OF-OG=2-1=1=AF，∴∠FGA=45°，AG=SKIPIF1<0．在Rt△GAB中，AB=AG?tan45°=SKIPIF1<0．在Rt△ABC中，BC=SKIPIF1<0．∴所求“位置矩形”ABCD面積為AB?BC=SKIPIF1<0；（3）設(shè)“位置矩形”的一組鄰邊長分別為x、y，則有x2+y2=AC2=AO2=12+32=10．∵（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0，∴xy≤5．當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，xy取最大值是5，此時“位置矩形”是正方形．

①當(dāng)點D在第四象限時，如圖3，過點A作x軸的平行線，交y軸于點M，交過點D平行于y軸的直線于點N，∵∠BAM+∠DAN=90°，∠BAM+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DAN，在RtAMB和Rt△DNA中，SKIPIF1<0，∴RtAMB≌Rt△DNA，則有AN=BM=2，DN=AM=1，∴點D的坐標(biāo)為（1+2，-3+1）即（3，-2）．②當(dāng)點D在第三象限時，如圖4，過點A作x軸的平行線，交y軸于點N，交過點D平行于y軸的直線于點M，同①的方法得：RtANB≌Rt△DMA，則有DM=AN=1，AM=BN=2，∴點D的坐標(biāo)為（1-2，-3+1）即（-1，-2）．

故答案為5、（3，-2）或（-1，-2）．【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了用待定系數(shù)法求直線的解析式、圓的定義、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、完全平方公式、特殊角的三角函數(shù)值等知識，還考查了分類討論的思想，運用公式（x-y）2=x2+y2-2xy推出當(dāng)“位置矩形”是正方形時面積最大是解決第3小題的關(guān)鍵．5．等腰Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．（1）若△