正余弦定理解三角形教案

--個(gè)性化案教師XX學(xué)科

數(shù)學(xué)

學(xué)生XX年級(jí)

填寫時(shí)上課時(shí)課題名

正余弦理解三角形1．正、余弦定理解三角形．

課時(shí)方教學(xué)目

2．正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計(jì)算三角形的面積．3.正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用〔靈活運(yùn)用〕教學(xué)重1．掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法．難

點(diǎn)

2．正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計(jì)算三角形的面積．【知識(shí)梳理】1．正弦定理：

abc＝＝＝2，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變sinAsinBsinC形為：(1)∶∶＝sin

∶sin

；(2)＝2sin_，＝2sin_，＝2sin_

；abc(3)sin＝，sin＝，sin＝等形式，以解決不同的三角形問(wèn)題．2R2R2R2．余弦定理＝＋cos_

＝－2cos_＝－2cos_

．余弦定理3．

＋－2＋－2＋2－2＝，cos＝，cos＝.可以變形為：cos2bc2ac2ab111abc1＝sin＝sin＝sin＝＝(＋＋)·(三角形外接圓半徑eq\o\ac(△,S)2224R2形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算，.

是三角4.角形內(nèi)角和為π，故有>0sin)，cos＝－cos(5.角形大邊對(duì)大角，或者說(shuō)大角對(duì)大邊。即：假設(shè)>,

,sin

A>sin

B知一推二-word.zl-

--6.弦值(不是的情況下，對(duì)應(yīng)角度有兩個(gè)，而余弦值與角度一一對(duì)應(yīng)?！境？伎键c(diǎn)】1．考察利用正、余弦定理解任意三角形的方法．2．考察利用正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計(jì)算三角形的面積．3.余弦定理的實(shí)際應(yīng)用〔靈活運(yùn)用〕【解題關(guān)鍵】1．三角函數(shù)及三角恒等變換的根底．2．正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化理變形技巧實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，解題過(guò)程中做到正余弦定理的正確選擇3.利用三角形的判定方法準(zhǔn)確判斷解三角形的情況。4.角形的邊角關(guān)系〔大邊對(duì)大角內(nèi)角和180度。5．兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，注意解的情況．如，，，那么A銳角

A鈍角或直角圖形關(guān)系

＜sin

A

＝sin

Asin

＜＜b≥b＞b

≤b式解的無(wú)解

一解

兩解

一解

一解

無(wú)解個(gè)數(shù)【一條律】在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中＞＞sin

＞sin

.-word.zl-

--【兩類題】在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問(wèn)題：(1)角及任一邊，求其它邊或角；(2)兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角．情(2)結(jié)果可能有一解、兩解、無(wú)解，應(yīng)注意區(qū)分．余弦定理可解決兩類問(wèn)題：(1)兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)三邊，求各角．【兩種徑】根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；角為邊，并常用正弦(余弦定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換．雙基自1．(人教A版教材習(xí)題改編)在△ABC中，＝60°＝75°，，那么c于(A．102106C.D．563

)．解析

由＋＋＝180°，知＝45°，由正弦定理得：

asin

c＝，AsinC即

103

＝

c2

.∴＝

1063

.22答案Csin2．在△ABC中，假設(shè)a

AcosB＝，那么B值為()．bAB．45°C．60°D．90°解析

由正弦定理知：sinsin

Acos＝Asin

B，∴sinB

＝cos，＝45°.答案B3．(2011·XX聯(lián)考)在△＝3，＝1，＝2，那么A于()．-word.zl-

--ABC．60°D．75°解析

＋－21＋4－31由余弦定理得：cos＝＝＝，2bc2×1×22∵0＜π，∴＝60°.答案C14．在△ABC中＝32，＝23，cos＝，那么△ABC的面積為(．3A．23C3D.31解析∵cos＝，0＜＜π，3∴sin

22＝，3∴S

1＝sinABC2122＝×32×23×＝43.23答案C5．△ABC三邊滿足2＋＝－3，那么此三角形的最大內(nèi)角為________．解析∵＋2－＝－3

，2＋－23∴cos＝＝－，2ab2故＝150°為三角形的最大內(nèi)角．答案150°考點(diǎn)一

利用正弦定理解三角形【例1】?在△ABC中＝3，＝2，＝45°.求角，C邊.[審題視點(diǎn)]兩邊及一邊對(duì)角或兩角及一邊，可利用正弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解的判-word.zl-

斷．解

--ab32由正弦定理得＝，＝，sinAsinBsinAsin45°∴sin

＝

32

.∵＞，∴＝60°或＝120°.當(dāng)＝60°時(shí)，＝180°－45°－60°＝75°，＝

sinsin

C6＋2＝；B2當(dāng)＝120°時(shí)，＝180°－45°－120°＝15°，＝

sinC6－2＝.sinB2(1)角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意．π【訓(xùn)練1】(2011·)在△ABC中，假設(shè)，∠＝，tan＝2，那么sin4＝________.

＝________a解析

因?yàn)椤鰽BCtan

＝2，所以A銳角，且

sincos

A＝2，sin2＋cos2，A25聯(lián)立解得sin＝，5再由正弦定理得

ab＝，sinAsinB代入數(shù)據(jù)解得＝210.答案

255

210-word.zl-

2-2-考點(diǎn)二

利用余弦定理解三角形cosBb【例2】?在△ABC中、、c別是角、、C的對(duì)邊，且＝－.cosC2＋c(1)求角B大??；(2)假設(shè)＝13，＋＝4，求△ABC的面積．[審題視點(diǎn)]由

coscos

Bb＝－，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解．C2＋c解(1)余弦定理知：cos

＋－2＝，2accos

＋－2＝.2ab將上式代入

cosBb＝－得：cosC2＋c2＋－22ab·＝－2ac＋－22

b，＋c整理得：＋2－＝－.2＋－2－ac1∴cos＝＝＝－.2ac2ac22∵B為三角形的內(nèi)角，∴＝π.3(2)將＝13，＋＝4，2＝π代入＝＋cos3

，得＝(＋)－2－2cos

，∴13－2-word.zl-

∴

--133＝sin＝.eq\o\ac(△,S)24(1)據(jù)所給等式的構(gòu)造特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)展變形是迅速解答此題的關(guān)鍵．(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用．【訓(xùn)練2】，，CABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為，，，A且2cos＋cos＝0.2(1)求角A值；(2)假設(shè)＝23，＋，求△ABC的面積．A解(1)2cos＋cos，2得1＋cos＋cos，即cos

1＝－，22π∵0＜π，∴＝.3(2)由余弦定理得，＝2＋－2cos

2π，＝，3那么＋)－，又＝23，＋＝4，有12＝42－，那么，故

1＝sineq\o\ac(△,S)2

＝3.考點(diǎn)三

利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例3】?在△ABC中，假(＋)sin(－)－)sin，試判斷△ABC的形狀．[審題視點(diǎn)]首先邊化角或角化邊，再整理化簡(jiǎn)即可判斷．解

由(2＋)sin(

－)＝(－2)sin

，-word.zl-

--得[sin(

－)＋sin

]＝2[sin

－，即sin

cos

＝cos

sin

，即sin2sincos＝sincossin，所以sin＝sin2，由于，B三角形的內(nèi)角．故0＜2＜2π＜2π.故只可能2

＝2B2

＝π，π即＝B＝.2故△ABC為等腰三角形或直角三角形．判斷三角形的形狀的根本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)展邊角的統(tǒng)一．即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡(jiǎn)變形得出三邊的關(guān)系．【訓(xùn)練3】在△ABC中，假設(shè)

abc＝＝；那么△ABC是()．cosAcosBcosCA直角三角形B等邊三角形C鈍角三角形D．等腰直角三角形解析

由正弦定理得＝2sin

，sin

，＝2sin

(RABC外接圓半徑)．sinAsinBsinC∴＝＝.cosAcosBcosC即tan＝tan＝tan，∴＝＝.答案B-word.zl-

--考點(diǎn)四

正、余弦定理的綜合應(yīng)用π【例3】?在△ABC中，內(nèi)角，，C邊的邊長(zhǎng)分別是，，，＝2，＝.3(1)假設(shè)△面積等于3，求，；(2)假設(shè)sin

＋sin(－)＝2sin2

，求△ABC面積．[審題視點(diǎn)]第(問(wèn)根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理列出關(guān)于的方程組求解；第(2)問(wèn)根據(jù)sin

＋sin(－)＝2sinA進(jìn)展三角恒等變換角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系出邊，b的值即可解決問(wèn)題．解(1)余弦定理及條件，得＋－＝4.1又因?yàn)椤鰽BC的面積等于3sin2

＝3＝4方程組＝4，

解＝2，得＝2.(2)由題意，得sin(

＋)＋sin(

－)＝4sin

cos

，即sin

cos

＝2sin

cos

.當(dāng)cos

ππ＝0，即＝時(shí)，＝，26＝

4323，＝33

；當(dāng)cos

≠0時(shí)，得sin

＝2sin

，由正弦定理，得＝2.聯(lián)立方程組＝2，-word.zl-

3433-3433-解得

23＝，.123所以△ABC的面積＝sin＝.23正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對(duì)任意三角形都成立，通過(guò)這些等式就可以把有限的條件納入到方程中過(guò)解方程組獲得更多的元素通過(guò)這些新的條件解決問(wèn)題．【訓(xùn)練3】(2011·西城一模)設(shè)△ABC的內(nèi)角C對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且4＝，＝2.5(1)當(dāng)＝30°時(shí)，求a值；(2)當(dāng)△ABC面積為3時(shí)，求＋c值．

B解(1)為cos

43＝，所以sin＝.55aba10由正弦定理＝，可得＝，sinAsinBsin30°35所以＝.313(2)因?yàn)椤髅娣e＝·sin，sin＝，253所以＝3，10由余弦定理得2＝2＋－2cos

，8得4＝＋－＝＋－16即2＋＝20.5所以(＋)－2＝20＋)＝40.所以＋＝210.-word.zl-

--——無(wú)視【問(wèn)題診斷】考察解三角形的題在高考中一般難度不大，但稍不注意，會(huì)出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全〞的情況，其主要原因就是無(wú)視三角形中的邊角條件,【防范措施】解三角函數(shù)的求值問(wèn)題時(shí)，估算是一個(gè)重要步驟，估算時(shí)應(yīng)考慮三角形中的邊角條件.【例如】?(2011·)在ABC中c

分別為內(nèi)角C對(duì)的邊長(zhǎng)＝3＝，1

)＝0，求邊BC的高．錯(cuò)因

無(wú)視三角形中“大邊對(duì)大角〞的定理，產(chǎn)生了增根．實(shí)錄

由1＋2cos(

)＝0，1π知cos＝，∴＝，23根據(jù)正弦定理

asin

b＝Asin

得：Bsin

sin＝a

A＝

2π3π，∴＝或.244以下解答過(guò)程略．正解∵在△ABCcos(＝－cos，∴1

π)＝1－2cos＝0，∴＝.3ab在△ABC中，根據(jù)正弦定理＝，sinAsinBsinA∴sin＝＝a

22

.π5∵＞，∴＝，∴＝π＋)＝π.412∴sin

＋)

cos

＋cossin

A-word.zl-

--21236＋2＝×＋×＝.22224∴BC上的高為sin

＝2×

6＋23＋1＝.42【試一試】ABC的三個(gè)內(nèi)角C對(duì)的邊分別為sinb(1)求；a(2)假設(shè)2＝＋32，求.[嘗試解答](1)正弦定理得，sinsin＋sincos2＝2sin，即

sin

＋cos＝.sin

(sin2)＝2sin

.故sin

＝2sin

b，所以＝2.a(2)由余弦定理和2＝2＋3

，得cos

＝

1＋32c

a.由(1)知2＝2，故＋3).12可得cos＝，又cos＞0，故cos＝，所以＝45°.22【固習(xí)1,B,ba

b,則角等

2

,

,

bcosBa

3A,B

,

asinBBcos

12

b,a則-word.zl-

--25364ABC,