103三重積分(2)104應(yīng)用

三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)(最終都化為三次積分)方法3.利用對稱性.性質(zhì)略:§10.3內(nèi)容回顧定義:若Ω關(guān)于yoz面(或xoz面,xoy面)對稱,且f(x,y,z)為關(guān)于x(或y,z)的連續(xù)奇函數(shù),則=01方法1.投影法(“先一后二”)(頂部)(底部)(在xoy面上的投影域)2方法2.截面法(“先二后一”)=方法２特別適用于，當(dāng)被積函數(shù)為ｚ的一元函數(shù)時，而截面的圖形非常清楚且面積易知(記為S(z))的情況,否則一般不用方法2．3在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示也簡單.2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分實(shí)際上是先一(直角坐標(biāo))后二(二重積分化為極坐標(biāo)下的二次積分)復(fù)合的結(jié)果4例7.計(jì)算三重積分解:Ω如圖所圍成.與平面其中由拋物面原式=53.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面6如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時也簡單.7例8.計(jì)算三重積分解:Ω如圖所圍立體.其中與球面8例9.設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算解:利用對稱性(同例8)9作業(yè)P16410

(2)；11

(1),(4)；12(1),(4)

10●將三次積分⑴先對y的三次積分：⑵柱面坐標(biāo)下的三次積分：⑶球面坐標(biāo)下的三次積分：化為Ω如圖…則(1)則(2)則(3)-111一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)心與形心四、物體的轉(zhuǎn)動慣量五、物體間的引力§10.4重積分的應(yīng)用第十章12

二重積分應(yīng)用：計(jì)算一小片dσ上部分量的近似值

用微元法(或元素法)建立被積表達(dá)式

用重積分解決問題的方法

三重積分應(yīng)用：計(jì)算一小塊dv上部分量的近似值以后講到的線積分、面積分應(yīng)用也是這個思想(微元法

)微元13一、立體體積曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為14例1.求半徑為a

的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體(上部)的體積.P163例4解:建坐標(biāo)系如圖:則立體體積為P1651215二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D上的投影為d

,(面積微元或面積元素)則16故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即若光滑曲面方程為則有17例2.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影為則出的面積A.18例3.計(jì)算半徑為a

的球的表面積.解:設(shè)球面方程為曲面在xoy面上投影為(P167例1)由對稱性,所求面積為上半球面面積的二倍19(為瑕積分)a為瑕點(diǎn)20三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有平面域D,并有連續(xù)密度函數(shù)則分別位于為為其質(zhì)心公式.推導(dǎo)如下:21將D分割,對于y軸的靜力矩Dxy另一方面,設(shè)物體的質(zhì)心為則所以同理當(dāng)μ為常數(shù)時,得形心坐標(biāo)：

(其中A為D的面積)22若物體為占有空間區(qū)域Ω,則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其密度為則得形心坐標(biāo)：23例4.求位于兩圓和的質(zhì)心.(P171例3)解:利用對稱性可知而之間均勻薄片總之,薄片的質(zhì)心(形心)坐標(biāo)為:24四、物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元dv因此物體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量:對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計(jì)算.25類似可得:對x軸的轉(zhuǎn)動慣量對y軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量26如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.27例5.求半徑為a

的均勻半圓薄片對其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,的轉(zhuǎn)動慣量.(P172例5)28解:取球心為原點(diǎn),z軸為l軸,則例6.求均勻球體對于過球心的一條軸

l的轉(zhuǎn)動慣量.(P173)設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))看教材上是怎么計(jì)算的29五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對位于P0(x0,y0,z0)質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為其中P030G

為引力常數(shù)設(shè)特別地,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)時在上積分即得各引力分量:引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為31對xoy面上的平面薄片D,它對原點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為32例7.設(shè)面密度為μ,半徑為R的圓形薄片求它對位于點(diǎn)解:由對稱性知引力處的質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)的引力.。33作業(yè)P154

7，10,17P175

1，3，6,