線面的位置關(guān)系

線面的位置關(guān)系線面的位置關(guān)系二.知識總結(jié)：直線與平面的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)一一直線與平面有無數(shù)個公共點直線在平面外（1） 直線與平面相交一一直線與平面有且僅有一個公共點直線與平面直交（垂直）直線與平面斜交（不垂直）（2） 直線與平面平行一一直線與平面沒有公共點（一）直線與平面平行的判定和性質(zhì)判定依據(jù)（1） 線面平行的定義（2） 線面平行的判定定理（又稱線線平行則線面平行）（3） 面面平行的性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面判定方法（1） 證明這直線與這平面沒有公共點（2） 證明這直線與這平面內(nèi)的某條直線平行（3） 證明這直線所在平面與這平面平行（4）證明這直線上有在平面同旁的兩點到這個平面距離相3.性質(zhì)（二）直線和平面垂直的判定和性質(zhì)知識提要（1） 直線和平面垂直的定義如果一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，就稱這條直線和這個平面互相垂直。（2） 直線和平面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。（3） 兩兩平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。方法提要：判定直線垂直平面的方法（1） 證明這直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直（2） 證明這直線與平面的一條垂線平行（3） 證明這直線所在平面垂直該平面，并且這直線垂直于兩平面的交線（4） 證明這直線垂直于另一個平面，而這個平面與已知平面互相平行證明直線是這平面的兩個相交垂面的交線【典型例題】［例1］已知：正方形ABCD與正方形ADEF所在平面相交，M、N分別是BD、AE內(nèi)的動點，且BM=AN，求證：MN//平面CED。證明：連結(jié)AM并延長交CD于G，連結(jié)GE由AB//CD［例2］設(shè)S是平行四邊形ABCD所在平面外一點，P、Q、R分別是SC、SB、SD上的點，且，求證：SA/平面PQR。證：如圖，設(shè)，則O為AC的中點，連結(jié)SO設(shè)，由取SC中點M，連結(jié)OM、KP由［例3］正三棱柱中，。D、F分別為CC1­，A1B中點(1)證明：DF/平面ABC；證明：AF±BD；求平面A1BD與ABC所成的銳二面角(1)證明：取AB中點M,連FM、CM(2)證明：⑶法1：法2：延長AC交A1D延長線于G，連BG，由CG=AC=BC又AA1±面ABC為所求二面角平面角［例4］如圖，在正三棱柱中，，求證：，。證法1：如圖，延長B1C1到，使，連結(jié)，則在中，由同理證法2：(利用三垂線Th及其逆Th)如圖，取AB的中點為D，A1B1的中點為D1，則BD1//A1D同理面A1B1BA，同理A1CXBC1［例5］如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，且PA=AB，C是圓周上一點(異于A、B)，E是PB的中點，F(xiàn)是PC上的點，且AFXPC，求證：PB平面AEF。證：［例6］已知矩形ABCD，過A作SA1平面AC，作AEXSB交SB于E，過E作EFXSC于F。求證：AFXSC；若平面AEF交SD于G，求證：AGXSDo證明：(1)由已知，SA1平面AC(2)證明：［例7］斜三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，一條側(cè)棱AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成角，求異面直線與BC的距離。解：由在面ABC上的射影H在的平分線上連AH延長交BC于D，則AD是的平分線作DE±AA1于E,則DE即異面直線AA1與BC的公垂線段又由?.?在中，即與BC的距離為例8］已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2,求點B到平面EFG距離。解：如圖，連結(jié)EG、FG、EF、BD、AC設(shè)，到面EFG的距離與點B到面EFG距離相等點O到面EFG的距離與B到面EFG的距離相等由由GC=2,，則另法（體積變換）解法2：設(shè)點B到面EFG的距離為，則為三棱錐B-EFG的高，由三棱錐與三棱錐為同一四面體，故它們體積相等，即：而故所以，點B到平面EFG的距離為小結(jié)：點到面的距離有直接和間接兩類方法，直接法即作出點面垂線段并求它的長；而間接法是把點面距離看成一個幾何體的高，再利用體積變換方法求出這個高的值，通常情況下，由于間接法無需確定垂足的位置，因此較為簡便。［例9］如圖，四棱錐中，PD上底面ABCD，ABCD為正方形，且PD=AB=1，G為重心，則PG與底面所成角為（ ）A.B.C.D.解：如圖，由G為的重心，則為所求，，，，則，即，選B。［例10］已知異面直線與所成的角為，P為空間一定點，則過點P且與所成的角都是的直線有且僅有（ ）A.1條B.2條C.3條D.4條解：把直線分別平移至經(jīng)過點P，即：過點P分別作直線，，如果，則?。蝗绻?，則取。這時，與相交于點P所成的兩組對頂角分別等于和，記與所確定的平面為，那么，在平面內(nèi)，過點P不存在與都成的直線。過點P且與都成角的直線，必在面外且在內(nèi)的射影必然平分所成的對頂角，這樣的直線有且僅有2條，它們關(guān)于對稱，所以，過點P與都成角的直線有且僅有2條，故選B。若不變，將改為則答案A；若不變，將改為度，則答案為C；若不變，將改為，則答案為D。［例11］如圖，斜三棱柱的底面為一等腰直角三角形，直角邊ab=ac=，側(cè)棱與底面成，，求與底面所成的角。解：由AC±AB，AC±面面面ABC，故在底面ABC上的射影即AB所在直線。過作交AB延長線于點O,連CO,則分別是與底面所成的角??.，令，則，在中，在中，由，即（舍）與底面所成角為注：線面角取值范圍，關(guān)鍵找到直線在面上的射影，一般先找斜足，再找線上非斜足一點P在該平面內(nèi)射影，連轉(zhuǎn)化為平面角。［例12］三棱錐中底面ABC為邊長為的正三角形，PA、PB與底面均成角，PC與底面成角，求其體積。解：設(shè)M是AB中點，由PA與PB與底面均成角，故PA=PB面PCM面ABCXPCM作PHXCM于H，則PH上底面ABC則，，設(shè)，貝【J又??.或當(dāng)時，H=M，當(dāng)時，，PH=，V=【模擬試題】一.選擇題兩條直線與平面所成的角相等，則的位置關(guān)系（ ）A.平行 B.相交 C.異面 D.以上都有可能空間兩條直線平行的充分條件是（ ）平行于同一平面 B.垂直于同一條直線C.與同一平面所成的角相等 D.分別垂直于兩個平行平面如果AP、BP、CP兩兩垂直，則P在平面ABC內(nèi)的射影TOC\o"1-5"\h\z一定是△ABC的（ ）A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心下列命題中不正確命題的個數(shù)是（ ）（1） 如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直；（2） 過平面外一點，可作無數(shù)條直線和這個平面垂直；（3） 過一點有且僅有一個平面和一條定直線垂直；（4） 若異面，過一定可作一個平面與b垂直。（5） 若異面，過不在上的點M，一定可以作一個平面與a、b都垂直TOC\o"1-5"\h\zA.1個 B.2個 C.3個 D.4個若直線與平面所成的角為，直線在平面內(nèi)，且與直線異面，則直線與直線所成的角的取值范圍是（ ）\o"CurrentDocument"A. B. C. D.6.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是棱AA1、AB上的點，且ZNMC1=90°,則ZNMB1的大小是（ ）A.大于90° B.小于90° C.90°D.不能確定已知PA、PB、PC是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為TOC\o"1-5"\h\z（ ）A. B. C. D.已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、BB1的中點，則EF與對角面ACC1A1所成角為（ ）A.30° B.45° C.60° D.150°設(shè)a、b是兩條異面直線，在下列命題中，正確的是（ ）有且僅有一條直線與a、b都垂直；有一個平面與a、b都垂直；過直線有且僅有一個平面與b平行；過空間任意一點必可作一條直線與a、b都相交。已知直線不在平面內(nèi)，那么下列命題正確的個數(shù)為（ ）（1） 若不平行于，則不平行于內(nèi)的任何直線；（2） 若平行于，則平行于內(nèi)的所有直線；（3） 若平行于，則與垂直的任何直線與平面垂直；（4） 若垂直于內(nèi)無數(shù)條直線，則必有上。

A.0B.1C.2D.3A.0B.1C.2D.3在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，D是EF的中點，現(xiàn)沿AE、AF和EF把這個正方形折成一個四面體，使得B、C、D三點重合，重合后變?yōu)镚點，則四面體A—EFG中必有（ ）A.AG±平面EFG B.AD上平面EFGC.GF上平面AEF D.GD上平面AEF在RtAABC中，ZB=90°，ZC=30°，D是BC邊的中點，AC=2，DE±平面ABC且DE=1，則點E到AC邊的距離為（）TOC\o"1-5"\h\zA. B. C. D.二.填空題已知P是^ABC所在平面外一點，O是P在平面ABC內(nèi)的射影。若PA=PB=PC，則點O是^ABC的 。已知直線是平面的斜線，，與b所成的角為60°，b與在內(nèi)的射影所成的角為45°，則與所成的角為 。在^ABC中，AB=AC=5，BC=6，且PA上平面ABC，則點P到BC的距離為。已知A、B、C、D四點不共面，則與這四個點距離都相等的平面有個。長方體ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1=5，AB=12，貝，直線B1C1到平面A1BCD1的距離是 。18.直角三角形的斜邊AB在平面內(nèi)，AC和BC與所成角分別為30°，45°，CD是斜邊AB上的高，則CD與所成的角為。已知正方形ABCD—A1B1C1D1棱長為，E是CC1中點，則BE與平面B1BD所成的角的余弦值是 。RtAABC，ZACB=90°，CD±，梯形ACDE，AC//DE，BE±AE，且AC=2，DE=1，則異面直線AE和BC的距離是。【試題答案】一.選擇題TOC\o"1-5"\h\zDD提示：利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。AD提示：從（1）—（5）命題中，只有（3）為真命題，其余均為假命題。TOC\o"1-5"\h\zB提示：利用最小角定理和直線與平面所成角的范圍為可得。C提示：利用三垂線定理的逆定理。D提示：如答圖1,作CO1面PAB于O,連結(jié)PO由ZCPA=ZCPB=60°，則PO為ZAPB的平分線，ZAPO=30°,ZCPO為所求線面角，由例4給出的關(guān)系式，有圖1A提示:如答圖2,作FG//BD交AC于G,由BD±面ACC1A1,則FG±面ACC1A1,連結(jié)GE,則ZFEG為EF與對角面ACC1A1所成的角。設(shè)正方體棱長為，則，，在RtAFGE中，，故ZFEG=30°,選擇A。圖2C提示：在上任取一點P,過P作，設(shè)與所確定的平面為，由，，則，可以證明這樣的平面是惟一的。事實上，假設(shè)過有平面滿足，則根據(jù)例2的結(jié)論，直線b平行于與的交線，即，這與異面矛盾。TOC\o"1-5"\h\zB提示：只有（1）是正確的。由不平行于，又不在內(nèi)，則與相交，因此不平行于內(nèi)的任何直線。A提示：AGXGF,且AGXGE，則AG±平面EFG。D提示：如答圖3，作DF1AC于F，連結(jié)EF，貝【JEFXAC，即EF為E到AC的距離。由RtACFD—RtACBA，圖3夕卜心提示：利用射影長Th45°提示：利用例4已證的公式，設(shè)與所成的角為，則，因此15.提示：取BC中點M，連AM、PM，則由，故PM為P到BC的距離7提示：當(dāng)平面的一側(cè)有一點而另一側(cè)有三點時，滿足條件的平面有4個；當(dāng)平面的兩側(cè)各有兩個點時，滿足條件的平面有3個。因此，與A、B、C、D四點距離都相等的平面共有4+3=7個。17.提示：作B1EXA1B于E,則B1E±平面A1BCD1,即B1E為直線B1C1­