大學(xué)物理課件12

第12章氣體動(dòng)理論本章內(nèi)容：12.1分子運(yùn)動(dòng)的基本概念12.2氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)12.3統(tǒng)計(jì)規(guī)律的特征12.4理想氣體的壓強(qiáng)公式12.5麥克斯韋速率分布定律12.6溫度的微觀本質(zhì)12.7能量按自由度均分定理12.8玻耳茲曼分布律12.9氣體分子的平均自由程*12.10氣體內(nèi)的遷移現(xiàn)象12.11熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)意義和熵的概念12.1分子運(yùn)動(dòng)的基本概念12.1.1宏觀物體由大量粒子（分子、原子等）組成12.1.2物體的分子在永不停息地作無(wú)序熱運(yùn)動(dòng)(1)氣體、液體、固體的擴(kuò)散水和墨水的混合

相互壓緊的金屬板例如：(1)

1cm3的空氣中包含有2.7×1019個(gè)分子(2)水和酒精的混合例如：宏觀物體由大量粒子組成，分子之間存在一定的空隙(2)布朗運(yùn)動(dòng)（布朗運(yùn)動(dòng)與溫度、微粒的大小的關(guān)系）12.1.3分子間存在相互作用力斥力引力一切宏觀物體都是由大量分子組成的，分子都在永不停息地作無(wú)序熱運(yùn)動(dòng)，分子之間有相互作用的分子力。結(jié)論12.2.3氣體分子熱運(yùn)動(dòng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律12.2氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)氣體分子間的相互碰撞是非常頻繁的—

12.2.1氣體分子熱運(yùn)動(dòng)可以看作是在慣性支配下的自由運(yùn)動(dòng)一秒內(nèi)碰撞幾十億次(109次/秒)氣體分子熱運(yùn)動(dòng)可以看作是在慣性支配下的自由運(yùn)動(dòng)12.2.2氣體分子間的相互碰撞雜亂無(wú)章的熱運(yùn)動(dòng)大量氣體分子整體上反映出來(lái)的一種規(guī)律性氣體分子間相互作用的分子力是極其微小的,同時(shí)由于氣體分子質(zhì)量一般很小，因此重力對(duì)其作用一般可以忽略。平衡態(tài)下氣體分子速度分量的統(tǒng)計(jì)平均值為氣體處于平衡狀態(tài)時(shí)，氣體分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相等，故有由于氣體處于平衡狀態(tài)時(shí)，氣體分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相等，故有平衡態(tài)下氣體分子速度分量平方的統(tǒng)計(jì)平均值為

氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能

物理量M

的統(tǒng)計(jì)平均值Ni

是M的測(cè)量值為Mi的次數(shù)，實(shí)驗(yàn)總次數(shù)為N狀態(tài)A出現(xiàn)的概率歸一化條件12.3統(tǒng)計(jì)規(guī)律的特征伽耳頓板實(shí)驗(yàn)

若無(wú)小釘：必然事件若有小釘：偶然事件(1)統(tǒng)計(jì)規(guī)律是大量偶然事件的總體所遵從的規(guī)律。(2)統(tǒng)計(jì)規(guī)律和漲落現(xiàn)象是分不開的。

結(jié)論少量小球的分布每次不同大量小球的分布近似相同統(tǒng)計(jì)規(guī)律不同于以往的必然規(guī)律12.4理想氣體的壓強(qiáng)公式12.4.1理想氣體的微觀模型12.4.2從分子運(yùn)動(dòng)看壓強(qiáng)的形成(1)忽略分子大?。醋髻|(zhì)點(diǎn)）(2)忽略分子間的作用力(3)碰撞為完全彈性（分子線度<<分子間平均距離）（分子與分子或器壁碰撞時(shí)除外）理想氣體:可看作是許多個(gè)自由地、無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)著的彈性小球的集合。壓強(qiáng)為大量分子在熱運(yùn)動(dòng)中碰撞器壁，對(duì)器壁產(chǎn)生的平均作用力的表現(xiàn)。宏觀量和微觀量的關(guān)系12.4.3理想氣體的壓強(qiáng)公式一定量理想氣體將N個(gè)分子分組，每組分子具有相同的速度

由于氣體處于平衡態(tài)時(shí)，器壁上各處的壓強(qiáng)相等，所以只研究器壁上任一塊小面積所受的壓強(qiáng)即可分子碰撞器壁產(chǎn)生壓強(qiáng)。碰撞使分子改變動(dòng)量，同時(shí)對(duì)器壁產(chǎn)生沖力一次碰撞單分子動(dòng)量變化在dt

時(shí)間內(nèi)，所有速度為的分子中，有多少分子能夠與微小面積相碰撞

宏觀小微觀大在dt時(shí)間內(nèi)，速度為vi

的分子與面元dA碰撞的分子數(shù)為

zyyzxO在dt

時(shí)間內(nèi)，與面元dA

碰撞的所有分子所受的沖量dI

為由壓強(qiáng)定義得說(shuō)明分子平均平動(dòng)動(dòng)能(1)壓強(qiáng)p

是一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均量。是大量分子的集體行為，對(duì)大量分子，壓強(qiáng)才有意義。(2)是一微觀統(tǒng)計(jì)平均量，不能直接測(cè)量的。壓強(qiáng)公式無(wú)法用實(shí)驗(yàn)直接驗(yàn)證。一容積為V=1.0m3的容器內(nèi)裝有N1=1.0×1024個(gè)氧分子N2=3.0×1024

個(gè)氮分子的混合氣體，混合氣體的壓強(qiáng)

p=2.58×104Pa。

(1)由壓強(qiáng)公式例求(1)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能；(2)混合氣體的溫度。解(2)由理想氣體的狀態(tài)方程得玻耳茲曼常量12.5.1分布的概念氣體系統(tǒng)是由大量分子組成,而各分子的速率通過碰撞不斷地改變,不可能逐個(gè)加以描述,只能給出分子數(shù)按速率的分布。12.5麥克斯韋速率分布定律

速率v1

～v2

v2

～v3

…vi

～vi+Δv

…分子數(shù)按速率的分布

ΔN1

ΔN2…

ΔNi…

分子數(shù)比率按速率的分布ΔN1/N

ΔN2/N…

ΔNi/N…例如氣體分子按速率的分布｛ΔNi｝就是分子數(shù)按速率的分布12.5.2氣體速率分布的實(shí)驗(yàn)測(cè)定1.實(shí)驗(yàn)裝置2.測(cè)量原理(1)能通過細(xì)槽到達(dá)檢測(cè)器D

的分子所滿足的條件(2)通過改變角速度ω的大小，選擇速率v

(3)通過細(xì)槽的寬度，選擇不同的速率區(qū)間一、實(shí)驗(yàn)原理二、速率分布函數(shù)f(v)

設(shè)某系統(tǒng)處于平衡態(tài)下，

總分子數(shù)為

N

，則在v～v+dv

區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的比率為f(v)

稱為速率分布函數(shù)分布在速率v

附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)比率(4)沉積在檢測(cè)器上相應(yīng)的金屬層厚度必定正比相應(yīng)速率下的分子數(shù)分子束中的速率分布和容器中的是否相同？討論12.5.3麥克斯韋速率分布定律μ為分子質(zhì)量，T為氣體熱力學(xué)溫度，k

為玻耳茲曼常量理想氣體在平衡態(tài)下，分子速率分布函數(shù)則氣體中速率在v～v+dv

區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的比率為(麥克斯韋速率分布定律)說(shuō)明(2)從統(tǒng)計(jì)的概念來(lái)看講速率恰好等于某一值的分子數(shù)多少，是沒有意義的。(3)由圖可見，氣體中速率很小、速率很大的分子數(shù)都很少。(1)此定律是一個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，僅適用于由大量分子組成的氣體。f(v)vO(速率分布曲線)T(4)麥克斯韋速率分布律對(duì)處于平衡態(tài)下的混合氣體的各組分氣體分別適用。(5)在dv

間隔內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v～v+dv

中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率(6)在v1~v2區(qū)間內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v1~v2之間的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率f(v)vOv(速率分布曲線)v＋dv··v1v2TvOT(速率分布曲線)(7)曲線下面的總面積,等于分布在整個(gè)速率范圍內(nèi)所有各個(gè)速率間隔中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率的總和(歸一化條件)f(v)12.5.4分子速率的三種統(tǒng)計(jì)平均值

1.平均速率2.方均根速率3.最概然速率

說(shuō)明(1)一般三種速率用途各不相同。(2)同一種氣體分子的三種速率的大小關(guān)系:①μ

一定,T越大,這時(shí)曲線向右移動(dòng);②

T一定,

μ

越大,這時(shí)曲線向左移動(dòng)。v

p越大,

v

p越小,T1f(v)vOT2(>T1)μ1f(v)vOμ2(>μ1)由于曲線下的面積不變,由此可見(3)不同氣體,不同溫度下的速率分布曲線的關(guān)系:氦氣的速率分布曲線如圖所示。解例求(2)氫氣在該溫度時(shí)的最概然速率和方均根速率。O(1)試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況；(2)有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為(1)作速率分布曲線并求常數(shù)a；(2)速率大于v0和速率小于v0

的粒子數(shù)。解例求(1)由歸一化條件得O(2)因?yàn)樗俾史植记€下的面積代表一定速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率，所以因此，v>v0

的分子數(shù)為(2N/3)同理v<v0的分子數(shù)為(N/3)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為O12.6溫度的微觀本質(zhì)12.6.1理想氣體溫度與分子平均平動(dòng)動(dòng)能的關(guān)系理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為每個(gè)分子平均平動(dòng)動(dòng)能只與溫度有關(guān)，與氣體的種類無(wú)關(guān)。說(shuō)明(2)溫度是統(tǒng)計(jì)概念，是大量分子熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)。對(duì)于單個(gè)或少數(shù)分子來(lái)說(shuō)，溫度的概念就失去了意義。(1)溫度是大量分子熱運(yùn)動(dòng)平均平動(dòng)動(dòng)能的度量,是物體內(nèi)部分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的標(biāo)志。12.6.2理想氣體定律的推證理想氣體定律在相同的溫度和壓強(qiáng)下，各種氣體的分子數(shù)密度相等。有一容積為10cm3

的電子管，當(dāng)溫度為300K時(shí)用真空泵抽成高真空，使管內(nèi)壓強(qiáng)為5×10-6mmHg。

(1)此時(shí)管內(nèi)氣體分子的數(shù)目；(2)這些分子的總平動(dòng)動(dòng)能。解例求(1)由理想氣體狀態(tài)方程得(2)每個(gè)分子平均平動(dòng)動(dòng)能N個(gè)分子總平動(dòng)動(dòng)能為12.7能量按自由度均分定理12.7.1自由度的概念確定一物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目自由度:研究熱運(yùn)動(dòng)能量時(shí)，不能將分子看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，而看作有一定大小和內(nèi)部結(jié)構(gòu)的。這樣分子的動(dòng)能就有平動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、振動(dòng)動(dòng)能。一個(gè)自由運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的自由度3一個(gè)自由運(yùn)動(dòng)剛體的自由度6從結(jié)構(gòu)上將分子分為：分子結(jié)構(gòu)

自由度數(shù)目單原子雙原子多原子356說(shuō)明分子的自由度不僅取決于其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，還取決于溫度。實(shí)際上，雙原子、多原子氣體分子并不完全是剛性的，還有振動(dòng)自由度,但分子間的振動(dòng)只在高溫時(shí)才顯著。12.7.2能量按自由度均分定理每個(gè)分子平均平動(dòng)動(dòng)能為由此可以認(rèn)為氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是平均分配在每一個(gè)平動(dòng)自由度上的。在溫度為T的平衡狀態(tài)下，分子的每個(gè)自由度的平均動(dòng)能均為。這樣的能量分配原則稱為能量按自由度均分定理說(shuō)明(1)能量按自由度均分是大量分子統(tǒng)計(jì)平均的結(jié)果，是分子間的頻繁碰撞而致。(2)氣體分子的平均總動(dòng)能氣體分子的平均總能量氣體分子的平均總動(dòng)能==氣體分子的平均總能量對(duì)于剛性分子12.7.3理想氣體的內(nèi)能氣體中所有分子的平動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，振動(dòng)動(dòng)能和振動(dòng)勢(shì)能。每個(gè)氣體分子的平均總能量1mol理想氣體的內(nèi)能為mol理想氣體的內(nèi)能為一定質(zhì)量的理想氣體內(nèi)能只是溫度的函數(shù)，與熱力學(xué)溫度成正比。12.7.4氣體的摩爾熱容理想氣體的定體摩爾熱容為理想氣體的定壓摩爾熱容為比熱容比為1mol理想氣體的內(nèi)能變化為νmol理想氣體的內(nèi)能變化為單原子分子氣體雙原子分子氣體多原子分子氣體所涉及的溫度范圍內(nèi)，氣體的都近似為常量（數(shù)）單原子雙原子多原子說(shuō)明自由度“凍結(jié)”一容器內(nèi)某理想氣體的溫度為273K，密度為ρ=1.25g/m3，壓強(qiáng)為

p

=1.0×10-3atm(1)氣體的摩爾質(zhì)量，是何種氣體？(2)氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能和平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能？(3)單位體積內(nèi)氣體分子的總平動(dòng)動(dòng)能？(4)設(shè)該氣體有0.3mol，氣體的內(nèi)能？解例求由結(jié)果可知，這是N2

或CO

氣體。

(1)由，有(2)平均平動(dòng)動(dòng)能和平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為(3)單位體積內(nèi)氣體分子的總平動(dòng)動(dòng)能為(4)由氣體的內(nèi)能公式，有12.8玻耳茲曼分布律12.8.1重力場(chǎng)中粒子按高度的分布(非均勻的穩(wěn)定分布)平衡態(tài)下氣體的溫度處處相同，氣體的壓強(qiáng)為hh+dhhOn在重力場(chǎng)中，粒子數(shù)密度隨高度增大而減小，越大，n

減小越迅速；T越高，n減小越緩慢。(等溫氣壓公式)式中p0是高度為零處的壓強(qiáng)。12.8.2玻耳茲曼分布律平衡態(tài)下溫度為T的氣體中，位于空間某一小區(qū)間x~x+dx，y~y+dy

，

z~z+dz

中的分子數(shù)為這是粒子關(guān)于位置的分布的規(guī)律，常稱為玻耳茲曼分布律。它適用于任何形式的保守力場(chǎng)式中εp是位于（x、y、z）處分子的勢(shì)能。它表明，在勢(shì)場(chǎng)中的分子總是優(yōu)先占據(jù)勢(shì)能較低的狀態(tài)。平衡態(tài)下溫度為T

的氣體中，位置在x~x+dx，

y~y+dy，

z~z+dz中,且速度在

vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz

區(qū)間的分子數(shù)為式中=k+p

是分子的總能量，C是與位置坐標(biāo)和速度無(wú)關(guān)的比例因子。這一結(jié)論，稱為麥克斯韋–玻耳茲曼分布定律。它給出了分子數(shù)按能量的分布規(guī)律。能量的量子化分布玻耳茲曼分布定律拉薩海拔約為3600m，氣溫為273K，忽略氣溫隨高度的變化。當(dāng)海平面上的氣壓為1.013×105Pa時(shí)，由等溫氣壓公式得設(shè)人每次吸入空氣的容積為V0，在拉薩應(yīng)呼吸x次(1)拉薩的大氣壓強(qiáng)；(2)若某人在海平面上每分鐘呼吸17次，他在拉薩呼吸多少次才能吸入同樣的質(zhì)量的空氣。M=29×10-3kg/mol解例求則有12.9氣體分子的平均自由程一個(gè)分子單位時(shí)間內(nèi)和其它分子碰撞的平均次數(shù)，稱為分子的平均碰撞頻率。

12.9.1分子的平均碰撞頻率假設(shè)(模型)(個(gè)別分子的碰撞性質(zhì)是不可預(yù)測(cè)的，對(duì)于大量分子構(gòu)成的整體來(lái)說(shuō)，分子間的碰撞卻遵從著確定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。)平均碰撞頻率:

被考察的分子A以平均速率運(yùn)動(dòng)，其它分子都看作靜止不動(dòng)。彈性小球(直徑為d)

完全彈性碰撞單位時(shí)間內(nèi)與分子A

發(fā)生碰撞的分子數(shù)為考慮到所有分子實(shí)際上都在運(yùn)動(dòng)，則有平均碰撞頻率為估算氫氣分子在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞頻率分子之間的碰撞是多么頻繁！(80億次/秒）分子在連續(xù)兩次碰撞之間自由運(yùn)動(dòng)的平均路程，稱為分子的平均自由程。12.9.2分子的平均自由程在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均自由程約為分子的平均自由程在氣體體積不變的情況下，隨溫度怎樣變化？討論真空管的線度為10-2m，其中真空度為1.33×10-3Pa。設(shè)空氣分子的有效直徑為3×10-10m。27℃時(shí)單位體積內(nèi)的空氣分子數(shù)、平均自由程、平均碰撞次數(shù)。解例求由氣體的狀態(tài)方程,有所以此時(shí)空氣分子的平均自由程為在這種情況下氣體分子相互之間很少發(fā)生碰撞，只是不斷地來(lái)回碰撞真空管的壁。*12.10

氣體內(nèi)的遷移現(xiàn)象常見的氣體內(nèi)的遷移現(xiàn)象有三種1.熱傳導(dǎo)現(xiàn)象由于氣體內(nèi)各處溫度不同,通過分子的碰撞而產(chǎn)生的能量遷移現(xiàn)象。當(dāng)氣體各部分的物理性質(zhì)不均勻時(shí)，那么由于分子間的碰撞和摻合，氣體內(nèi)將發(fā)生能量、質(zhì)量和動(dòng)量從一部分向另一部分的定向遷移。這就是非平衡態(tài)下氣體內(nèi)的遷移現(xiàn)象。2.擴(kuò)散現(xiàn)象當(dāng)氣體內(nèi)各處的分子數(shù)密度不同或各部分氣體的種類不同時(shí)，其分子由于熱運(yùn)動(dòng)而相互摻合，在宏觀上產(chǎn)生的氣體質(zhì)量遷移現(xiàn)象。由于氣體內(nèi)各層之間因流速不同而有宏觀上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生在氣層之間的定向動(dòng)量遷移現(xiàn)象。宏觀上表現(xiàn)為相鄰部分之間有摩擦作用。3.內(nèi)摩擦現(xiàn)象或粘滯現(xiàn)象擴(kuò)散現(xiàn)象只討論在溫度和壓強(qiáng)均勻的情況下，僅由于氣體中各處密度不同而引起的單純擴(kuò)散現(xiàn)象。設(shè)想取兩種質(zhì)量和大小都極為接近的分子（如N2與CO）組成的混合氣體，假定兩種氣體的比例各處不同但總的分子數(shù)密度處處相同。只考慮混合氣體中任一組分的質(zhì)量遷移。其質(zhì)量密度ρ(y)沿y軸方向變化。擴(kuò)散現(xiàn)象宏觀規(guī)律實(shí)驗(yàn)表明，在△t

的時(shí)間內(nèi)通過△S

面?zhèn)鬟f的這種組分的質(zhì)量為△m△SD為擴(kuò)散系數(shù)，為密度梯度，“－”表示質(zhì)量的遷移方向與密度梯度方向相反，即由密度大向密度小的方向進(jìn)行。擴(kuò)散現(xiàn)象的微觀本質(zhì)由于熱運(yùn)動(dòng)，上下兩層氣體不斷交換分子，就混合氣體的某一種組分來(lái)講，由于密度不均勻，密度大的一方遷出的分子較遷入分子為多，因而有凈質(zhì)量自上向下輸運(yùn)，形成了氣體質(zhì)量地定向遷移。利用分子運(yùn)動(dòng)的有關(guān)理論求出:對(duì)于熱傳導(dǎo)現(xiàn)象和粘滯現(xiàn)象，可以依照討論擴(kuò)散現(xiàn)象的方法進(jìn)行類似的討論。不難發(fā)現(xiàn)，三種遷移現(xiàn)象的宏觀規(guī)律具有完全相似的形式，而在微觀上，代替擴(kuò)散現(xiàn)象中的質(zhì)量遷移，則是熱傳導(dǎo)現(xiàn)象中的能量遷移和粘滯現(xiàn)象中的動(dòng)量遷移。說(shuō)明12.11熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)意義和熵的概念12.11.1熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)意義1.氣體分子位置的分布規(guī)律氣體的自由膨脹abc(不可逆過程的微觀本質(zhì)是什么？)d左半邊右半邊abcd0abcbcdcdadabdabc0abcdabcbcdcdadabdabccdadabbcacdbabbccddabdac系統(tǒng)含有4個(gè)分子時(shí)的分配方式(微觀態(tài)數(shù)24,宏觀態(tài)數(shù)5,每一種微觀態(tài)概率(1/24))可以推知有N個(gè)分子時(shí)，分子的總微觀態(tài)數(shù)2N

，總宏觀態(tài)數(shù)(N+1

)，每一種微觀態(tài)概率(1/2N

)

對(duì)于孤立系統(tǒng)，各個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的概率是相同的基本假設(shè):微觀態(tài):在微觀上能夠加以區(qū)別的每一種分配方式

宏觀態(tài):

宏觀上能夠加