工程制圖 第三章3

本文格式為Word版，下載可任意編輯——工程制圖第三章3§3-2點(diǎn)、直線、平面的投影

任何物體的表面都是由點(diǎn)、線、面等幾何元素組成。如圖3-11所示三棱錐，是由四個(gè)平面、六條棱線和四個(gè)點(diǎn)組成。由于工程圖樣是用線框圖形來表達(dá)，所以繪制三棱錐的三視圖，實(shí)際上就是繪制構(gòu)成三棱錐表面的這些點(diǎn)、棱線和平面的三面投影1。因此，要正確繪制和閱讀物體的三視圖，須把握這些基本幾何元素的投影規(guī)律。

圖3-11三棱錐

一、點(diǎn)的投影

１．點(diǎn)的三面投影形成

如圖3-12a所示，過空間點(diǎn)A分別向三個(gè)投影面作垂線，其垂足a、a′、a″即為點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影。按前述三投影面體系的展開方法將三個(gè)投影面展開（圖3-12b），去掉表示投影面范圍的邊框，即得點(diǎn)A的三面投影圖（圖3-12c）。圖中ax、ay、az分別為點(diǎn)的投影連線與投影軸OX、OY、OZ的交點(diǎn)。

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圖3-12點(diǎn)的三面投影形成

２．點(diǎn)的三面投影規(guī)律

從圖3-12中點(diǎn)A的三面投影形成可得出點(diǎn)的三面投影規(guī)律：（1）點(diǎn)的正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸，即a′a⊥OX。（2）點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ。

（3）點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ軸的距離，即aax＝a″az.此外，從圖3-12a還可看出點(diǎn)的投影到投影軸的距離，分別等于空間點(diǎn)到相應(yīng)投影面的距12

本書中，體的多面投影稱為視圖。點(diǎn)、線、面等幾何元素的投影一般稱為投影圖。

空間點(diǎn)用大寫字母表示，H面投影用相應(yīng)的小寫字母表示，V面投影用相應(yīng)的小寫字母加“′〞表示，W面投影用相應(yīng)的小寫字母加“″〞表示。

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離。如：a′az＝aaYH反映點(diǎn)A到W面的距離；a′ax＝a″aYw反映點(diǎn)A到H面的距離；aax＝a″az反映點(diǎn)A到V面的距離.

根據(jù)上述點(diǎn)的三面投影規(guī)律，在點(diǎn)的三面投影中，只要知道其中任意兩個(gè)面的投影，就可求作出該點(diǎn)的第三面投影。

〔例3-2〕已知點(diǎn)B的V面投影b′與H面投影b，求作W面投影b″（圖3-13a）。分析：

根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律可知，b′b″⊥OZ，過b′作OZ軸的垂線b′bz并延長，所求b″必在b′bz的延長線上。由b″bz＝bbx，可確定b″的位置。

圖3-13已知點(diǎn)的兩面投影求作第三面投影

作圖：

１）過b′作b′bz⊥OZ，并延長（圖3-13ｂ）。

２）量取b″bz＝bbx，求得b″，也可利用４５°線作圖（圖3-13ｃ）。

３．點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

在圖3-14ａ中，假使將投影面看作坐標(biāo)面，投影軸看作坐標(biāo)軸，原點(diǎn)O看作坐標(biāo)原點(diǎn)，這樣的直角三投影面體系便成為一個(gè)空間直角坐標(biāo)系?？臻g點(diǎn)A到三個(gè)投影面的距離便可分別用它的直角坐標(biāo)x、y、z表示。

點(diǎn)A的x坐標(biāo)：表示點(diǎn)A到W面的距離＝Aa″＝a′az＝aaYH

點(diǎn)A的y坐標(biāo)：表示點(diǎn)A到V面的距離＝Aa′＝a″az＝aax點(diǎn)A的z坐標(biāo)：表示點(diǎn)A到H面的距離＝Aa＝a′ax＝a″aYW

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圖3-14點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

點(diǎn)的空間位置可由點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y，z）確定。如圖3-14ｂ所示，點(diǎn)A三面投影的坐標(biāo)分別為ａ（ｘ，ｙ）、ａ′（ｘ，ｚ）、ａ″（ｙ，ｚ）。任一面投影都表示兩個(gè)坐標(biāo)，所以一個(gè)點(diǎn)的兩面投影就表示了確定該點(diǎn)空間位置的三個(gè)坐標(biāo)，即確定了點(diǎn)的空間位置?！怖?-3〕已知點(diǎn)A（15,10,20）3，試作其三面投影。

圖3-15已知點(diǎn)的坐標(biāo)作投影

作圖：

１）作投影軸，在OX軸上向左量取15，得ax（圖3-15ａ）。

２）過ax作OX軸的垂線，在此垂線上沿OYH方向量取10得ａ，沿OZ方向量取20，得a′（圖3-15ｂ）。

３）由ａ、ａ′作出ａ″（圖3-15ｃ）。

〔例3-4〕如圖3-16ａ所示，已知點(diǎn)B的水平投影ｂ，并知點(diǎn)B到H面的距離為０，試作出點(diǎn)B的其余兩面投影。3

本書中，凡未寫單位的線性尺寸，其單位均為毫米。

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圖3-16根據(jù)點(diǎn)的一面投影及點(diǎn)到該投影面的距離，求作點(diǎn)的其余投影

分析：

從點(diǎn)B的水平投影可知點(diǎn)B的ｘ、ｙ坐標(biāo)，點(diǎn)B到H面的距離即為點(diǎn)B的ｚ坐標(biāo)，ｚ坐標(biāo)值等于０，說明點(diǎn)B在H面上。因此，點(diǎn)B的H面投影ｂ與點(diǎn)B重合；點(diǎn)B的V面投影ｂ′在OX軸上；點(diǎn)B的W面投影ｂ″在OYW軸上。作圖：

１）過ｂ作OX軸的垂線，其垂足即為ｂx，ｂ′與ｂx重合（圖3-16b），

２）在OYW軸上量取ob″＝ｂｂx得ｂ″，也可利用作４５°斜線確定ｂ″（圖3-16c）。思考：

在例3-4中，能否在OYH上量取ob″＝ｂｂx確定ｂ″？為什么？

４．兩點(diǎn)的相對位置

（１）兩點(diǎn)相對位置的確定

空間兩點(diǎn)的相對位置可用兩種方式確定。

圖3-17兩點(diǎn)的相對位置

１）直接從兩點(diǎn)的投影確定：

從正面投影或側(cè)面投影可確定兩點(diǎn)的上、下位置，如圖3-17ｂ的正面投影中，ａ′在ｂ′上方，可知點(diǎn)A在點(diǎn)B之上。同理，從正面投影或水平投影可確定兩點(diǎn)的左、右位置；從水平投影或側(cè)面投影可確定兩點(diǎn)的前、后位置。

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２）從兩點(diǎn)的坐標(biāo)差判斷：

從兩點(diǎn)的ｚ坐標(biāo)差，可判斷兩點(diǎn)的上、下位置，如圖3-17中，ｚA－ｚB>0，說明點(diǎn)A在點(diǎn)B之上。同理，從兩點(diǎn)的ｘ坐標(biāo)差，可判斷兩點(diǎn)的左、右位置；從兩點(diǎn)的ｙ坐標(biāo)差，可判斷兩點(diǎn)的前、后位置。

〔例3-5〕已知空間點(diǎn)C的三面投影（圖3-18ａ），點(diǎn)D在點(diǎn)C的左方５，后方６，上方４。求作點(diǎn)D的三面投影。

圖3-18根據(jù)兩點(diǎn)的相對位置，求作點(diǎn)的投影

作圖：

１）在OX軸上的cx處向左量取５，得dx（圖3-18ｂ）。

２）過dx作OX軸的垂線。在該垂線上，從dx開始，沿OZ方向量取zc＋４得ｄ′，沿OYH方向量取yc－６得ｄ（圖3-18ｃ）。３）由ｄ′、ｄ作出ｄ″（圖3-18ｄ）。（２）重影點(diǎn)及其投影的可見性

如圖3-19所示，當(dāng)空間兩點(diǎn)A、B位于垂直于H面的同一投射線上時(shí)，這兩個(gè)點(diǎn)在H面上的投影重合為一點(diǎn)，我們稱這兩個(gè)點(diǎn)為H面的重影點(diǎn)。同理，C、D為V面重影點(diǎn)。

圖3-19重影點(diǎn)的投影

由于點(diǎn)的一面投影能反映點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)，所以重影點(diǎn)必有兩個(gè)坐標(biāo)一致。H面的重影點(diǎn)，ｘ、ｙ坐標(biāo)一致，即ｘＡ=ｘＢｙＡ=ｙＢ,ｚ坐標(biāo)不同；V面的重影點(diǎn)，ｘ、ｚ坐標(biāo)一致，即ｘＡ=ｘＢｚＡ=ｚＢ，ｙ坐標(biāo)不同；同理W面的重影點(diǎn)，ｙ、ｚ坐標(biāo)一致，ｘ坐標(biāo)不同。

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重影點(diǎn)重合的那面投影存在遮擋關(guān)系，如圖3-19所示，H面的重影點(diǎn)A、B，ｚ坐標(biāo)不同，由于ｚＡ＞ｚＢ，所以ａ可見，ｂ不可見，不可見投影，字母加括號(hào)表示，如（ｂ）。

二、直線4的投影

1.直線的三面投影形成

空間兩點(diǎn)確定一條直線。因此，求直線的投影實(shí)質(zhì)上仍是求點(diǎn)的投影。如圖3-20a所示，在直線上任取兩點(diǎn)（一般取端點(diǎn)），作出該兩點(diǎn)的三面投影（圖3-20b），然后將該兩點(diǎn)的同面投影（即兩點(diǎn)在同一個(gè)投影面上的投影）相連，即得該直線的三面投影（圖3-20c）。

圖3-20直線的三面投影

2.各類直線的投影特征

直線相對于投影面的位置不同，直線的投影亦不同（圖3-4）。因此，我們根據(jù)直線在三投影面體系中的位置不同，將直線分為三類：投影面平行線、投影面垂直線、投影面傾斜線。并規(guī)定：直線與H面的傾角，用α表示；與V面的傾角，用β表示；與W面的傾角，用γ表示。下面探討各類直線的位置特點(diǎn)及投影特征。（1）投影面平行線

平行于某一個(gè)投影面，而與另外兩個(gè)投影面傾斜的直線稱為投影面平行線。根據(jù)所平行的投影面不同，投影面平行線又分為三種：正平線、水平線、側(cè)平線，各種投影面平行線的投影特征如表3–1所示。

表３－1投影面平行線的投影特征

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本書中，直線均指直線段。

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（2）投影面垂直線

垂直于某一個(gè)投影面，而與另外兩個(gè)投影面平行的直線稱為投影面垂直線。根據(jù)所垂直的投影面不同，投影面垂直線又分為三種：正垂線、鉛垂線、側(cè)垂線，各種投影面垂直線的投影特征如表3–2所示。

表３－2投影面垂直線的投影特征

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思考：有一空間直線AB，它平行于V面的同時(shí)又平行于W面（即AB∥V、AB∥W），該直線AB是投影面平行線還是投影面垂直線？（3）投影面傾斜線

傾斜于三個(gè)投影面的直線叫做投影面傾斜線，如圖3–21a所示。投影面傾斜線的投影特征：

1)三面投影都傾斜于投影軸（主要特征），但它與投影軸的夾角不反映直線的α、β、γ。2)三面投影都縮短：ab=ABcos?，a?b?=ABcos?，a?b?=ABcos?。

圖3-21投影面傾斜線的投影特征

在后面學(xué)習(xí)中，我們常將投影面平行線、投影面垂直線統(tǒng)稱為特別位置直線，而將投影面傾斜線稱為一般位置直線。

〔例3-6〕分析圖3-22ａ所示三棱錐各棱線與投影面的相對位置。

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圖3-22分析投影，確定直線與投影面的相對位置

分析：

棱線SB：由于ｓｂ⊥OX，ｓ′ｂ′⊥OX，說明SB上所有點(diǎn)的X坐標(biāo)一致，可以確定SB為側(cè)平線，側(cè)面投影反映實(shí)長ｓ″ｂ″＝SB，反映棱線SB的α角、β角（圖3-22ａ）。棱線AC：由于A、C點(diǎn)的側(cè)面投影ａ″、ｃ″重合，可以判斷AC為側(cè)垂線，正面投影、水平投影都平行于X軸，且ａ′ｃ′＝ａｃ＝AC（圖3-22ｂ）。

棱線SA：由于SA的三面投影ｓａ、ｓ′ａ′、ｓ″ａ″都與投影軸傾斜，可以判斷SA為一般位置直線（圖3-22ｃ）。

３．直線上的點(diǎn)

點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各面投影必在該直線的同面投影上，如圖3-23所示，點(diǎn)K在直線AB上，k必在ab上，k?必在a?b?上，k?必在a?b?上。

直線上的點(diǎn)將直線分為兩段，并將直線的各個(gè)投影分割成和空間一致的比例（即簡比不變），如圖3-23所示，AK：KB=ak：kb=a′k′：k′b′=a″k″：k″b″。

圖3-23直線上的點(diǎn)

〔例3-7〕已知直線AB的兩面投影（圖3-24ａ），試在直線AB上取一點(diǎn)C，使AC：CB=1：2，作出點(diǎn)C的兩面投影c、c′。

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圖3-24直線上取點(diǎn)

1)自ａｂ的一個(gè)端點(diǎn)ａ作任一輔助線，在該輔助線上截取3個(gè)單位長，得點(diǎn)B0。

2)將B0b相連，過輔助線上的第一個(gè)單位長度截點(diǎn)1畫B0b的平行線，該平行線與ab的交點(diǎn)即是所求點(diǎn)C的水平投影c。

3)過c作OX軸的垂線，該垂線與a′b′的交點(diǎn)，即為所求點(diǎn)C的正面投影c′。〔例3-8〕已知如圖3-25ａ所示，判斷點(diǎn)K是否在直線AB上。

圖3-25判斷點(diǎn)是否在直線上

方法一：補(bǔ)畫直線和點(diǎn)的側(cè)面投影，假使點(diǎn)K在直線AB上，則ｋ″必在ａ″ｂ″上。從圖3-25ｂ看出，ｋ″不在ａ″ｂ″上，所以點(diǎn)K不在直線AB上。

方法二：根據(jù)簡比不變作圖判斷，假使點(diǎn)K在直線AB上，必有ak：kb=a′k′：k′b′。1)自ａ′ｂ′的一個(gè)端點(diǎn)ａ′作任一輔助線，在該輔助線上截取ａ′K0=ａｋ，K0B0=ｋｂ（圖3-25c）。

２）連接B0ｂ′，并過K0作B0ｂ′的平行線交a′b′于一點(diǎn)，該點(diǎn)與ｋ′不重合，說明等式ak：kb=a′k′：k′b′不成立，因此點(diǎn)K不在直線AB上。

思考：上述方法二中，可否從AB的水平投影ａｂ的一個(gè)端點(diǎn)a或b作輔助線求解？如何作圖？

從上面兩例可以看出，在一般狀況下，若已知點(diǎn)的任意兩面投影在直線的同面投影上，就可以斷定該點(diǎn)在直線上。但是，若直線為投影面平行線時(shí)，假使要根據(jù)兩面投影進(jìn)行判斷，

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則該兩面投影中一定要有一面投影是反映直線實(shí)長的投影。

4.兩直線的相對位置

空間兩直線的相對位置有三種：平行、相交和交織。平行兩直線和相交兩直線都可以組成一個(gè)平面，而交織兩直線則不能，所以交織兩直線又稱為異面直線。（１）兩直線平行空間相互平行的兩直線，其各組同面投影必相互平行。

如圖3-26所示，AB∥CD，則ab∥cd、a′b′∥c′d′，W面投影a″b″必定平行于c″d″。若空間兩直線的三組同面投影分別相互平行，則空間兩直線必相互平行。

圖3-26兩直線平行

判斷空間兩直線是否平行關(guān)鍵是判斷兩直線是否共面，一般狀況下，只需判斷兩直線的任意兩組同面投影是否分別平行即可（圖3-26ｂ）。但是當(dāng)兩直線均平行于某一投影面時(shí)，要判斷它們是否平行，則取決于該兩直線所平行的那個(gè)投影面上的投影是否平行。如圖3-27a所示，EF、CD為側(cè)平線，雖然ef∥cd、e′f′∥c′d′，但求出側(cè)面投影（圖3-27b）后，由于e″f″不平行于c″d″，故EF，CD不平行。

圖3-27判斷兩直線是否平行

思考：有無其他方法可判斷圖3-27中的直線EF，CD是否平行？

（２）兩直線相交空間兩直線相交，則其各組同面投影必相交，且交點(diǎn)必符合空間

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點(diǎn)的投影規(guī)律；反之亦然。如圖3-28所示，直線AB，CD相交于點(diǎn)K，其投影ab與cd，a′b′與c′d′分別相交于k，k′，且kk′⊥OX軸。

圖3-28兩直線相交

判斷空間兩直線是否相交，一般狀況下，只需判斷任意兩組同面投影是否相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律即可（圖3-28b）。但是，當(dāng)兩條直線中有一條直線為投影面平行線時(shí)，要判斷它們是否相交，則取決于直線投影的交點(diǎn)是否是同一點(diǎn)的投影?！怖?-9〕判斷圖3-29a中直線AB、CD是否相交？

圖3-29判斷兩直線是否相交

方法一：補(bǔ)畫第三面投影判斷。雖然AB、CD的第三面投影也相交，但二直線投影的交點(diǎn)不是同一點(diǎn)的投影，所以二直線在空間不相交（圖3-29b）。

方法二：利用簡比不變判斷。假設(shè)二直線相交，則交點(diǎn)K是二者的共有點(diǎn)，它位于直線AB上，它將AB分為兩段，AK、KB。該兩段的水平投影之比ak：kb應(yīng)等于該兩段的正面投影之比a′k′：k′b′，從圖3-29c可知，該比例不成立，所以二直線在空間不相交。（３）兩直線交織既不平行又不相交的兩條直線稱為兩交織直線。

如圖3-30所示，直線AB和CD為兩交織直線，雖然它們的同面投影相交了，但“交點(diǎn)〞不符合點(diǎn)的投影規(guī)律，該“交點(diǎn)〞只是兩直線的重影點(diǎn)。如ab、cd的交點(diǎn)1(2)，是直線AB

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上的點(diǎn)I與直線CD上的點(diǎn)II水平投影的重合（即H面重影點(diǎn)）；a′b′、c′d′的交點(diǎn)3′(4′)是直線AB上的點(diǎn)IV與直線CD上的點(diǎn)III正面投影的重合（即V面重影點(diǎn)）。

圖3-30兩直線交織

利用交織兩直線重影點(diǎn)的投影可以判斷兩直線的相對位置，如圖3-30所示，根據(jù)兩直線的H面重影點(diǎn)的投影1(2)，找出該重影點(diǎn)的正面投影1′、2′，由于1′在2′的上方，所以可以判斷直線AB在直線CD上方；根據(jù)兩直線的V面重影點(diǎn)的投影3′(4′)，找出該重影點(diǎn)的水平投影3、4，由于3在4的前方，所以可以判斷直線CD在直線AB前方。

5.直角的投影

二直線垂直（相交垂直或交織垂直），一般狀況下，其投影不反映直角。但假使這垂直二直線中有一直線為投影面平行線時(shí)，則該二直線在所平行的這個(gè)投影面上的投影反映直角。證明如下（圖3-31）：

已知水平線AB垂直于傾斜線AC（相交垂直）求證ab⊥ac

證明∵AB∥H面（已知）

∴AB⊥Aa（由正投影形成可知）又∵AB⊥AC(已知)∴AB⊥AacC又∵AB∥H面（已知）∴ab∥AB∴ab⊥AacC故ab⊥ac

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圖3-31直角的投影

反之，假使相交二直線在某一投影面上的投影相互垂直，且其中一條直線又平行于該投影面，則該二直線在空間必相互垂直。這同樣適用于交織垂直，見圖3-31c所示。

〔例3-10〕如圖3–32a所示，已知矩形ABCD之AB邊（a?b?∥OX），并知其頂點(diǎn)D在已知直線EF上，試完成該矩形兩面投影。

圖3-32由已知條件，完成矩形的投影

分析：矩形的幾何特性是：各鄰邊相互垂直，對邊平行且相等。由于AB與AD相鄰，所以AB⊥AD。又由于AB邊是水平線，所以必有ab?ad。D在EF上，d必在ef