北師大版八年級數(shù)學上冊期中復習

《勾股定理》專題復習

一、知識要點：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形

的兩直角邊為a、b,斜邊為c,那么a+b-c2?公式的變形：a?=c2-b2,b''=c-a

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三邊長分別是a,b,c,且滿足aZ+b'c?,那么三角形ABC是直角

三角形。這個定理叫做勾股定理的逆定理.

該定理在應用時，同學們要注意處理好如下幾個要點：

①已知的條件：某三角形的三條邊的長度.

②滿足的條件：最大邊的平方-最小邊的平方=中間邊的平方.

③得到的結論：這個三角形是直角三角形，并且最大邊的對角是直角.

④如果不滿足條件，就說明這個三角形不是直角三角形。

3、勾股數(shù)

滿足1+M=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：①勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分

數(shù)或小數(shù)。②一組勾股數(shù)擴大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有：

(3,4,5)(5,12,13)(6,8,10)(7,24,25)(8,15,17)(9,

12,15)

4、最短距離問題：主要運用的依據(jù)是兩點之間線段最短。

二、考點剖析

考點一：利用勾股定理求面積

1、求陰影部分面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部分是半

圓.

2.如圖，以Rtz^ABC的三邊為直徑分別向外作三個半圓，試探索三個半圓的面積之

間的關系.

3、四邊形ABCD中，NB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AI)=13,求四邊形ABCD的面積。

4,在直線/上依次擺放著七個正方形（如圖4所示）。已知斜放置的三個正方形的面積分別

是1、2、3,正放置的四個正方形的面積依次是加*52>S3、，則S[+S?+S3+S4

考點二：在直角三角形中，已知兩邊求第三邊

1.在直角三角形中，若兩直角邊的長分別為1cm,2cm,則斜邊長為.

2.（易錯題、注意分類的思想）已知直角三角形的兩邊長為3、2,則另一條邊長的平方

是o

3、已知直角三角形兩直角邊長分別為5和12,求斜邊上的高.

4、把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，則斜邊擴大到原來的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

5、在RtAABC中，ZC=90°

①若a=5,b=12,則c=；

②若a=15,c=25,則b=；

③若c=61,b=60,貝（Ia=；

④若a：b=3：4,c=10貝IRtAABC的面積是=。

6、如果直角三角形的兩直角邊長分別為2n（n>l）,那么它的斜邊長是（）

A、2nB、n+1C^n2—1D、n2+1

7、在RtAABC中，a,b,c為三邊長，則下列關系中正確的是（)

A.a2+b2=c2B.a2+c2=Z>2C.c2+b2=a2D.以上都有可能

8、已知RtaABC中，ZC=90",若a+b=14cm,c=10cm,則RtZXABC的面積是（）

A,24cm2B、36cm2C、48cm2D,60cm2

9、已知x、y為正數(shù)，且Ix-4|+（y-3）如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角

形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（）

A、5B、25C、7D、15

考點三：應用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高

1、如圖1所示，等腰中，匚II,口是底邊上的高，若

求①AD的長；②AABC的面積.

考點四：勾股數(shù)的應用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問題

1、下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17

2、若線段a,b,c組成直角三角形，則它們的比為（）

A、2：3：4B、3：4：6C、5：12：13D、4：6：7

3、下面的三角形中：

①^ABC中，ZC=ZA-ZB；

②AABC中，ZA：ZB：ZC=1：2：3；

③AABC中，a：b：c=3：4：5；

④△△!?（：中，三邊長分別為8,15,17.

其中是直角三角形的個數(shù)有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

4、將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù)，得到的三角形是（）

A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

5、AABC的兩邊分別為5,12,另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應為

此三角形為?

考點五：應用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題

1、某樓梯的側面視圖如圖3所示，其中匚二1米，【J,1，因某種

活動要求鋪設紅色地毯，則在48段樓梯所鋪地毯的長度應為

考點六、利用列方程求線段的長（方程思想）

1、小強想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下

端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎？

A

C

B

0.4

2、一架長2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7機

（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.46，那么梯子底端將向左滑動

米

3、如圖：有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的

樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了米.

考點七：折疊問題

1、折疊矩形ABCD的一邊AD,點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。

cC

2、如圖，矩形紙片ABCD的長AD=9cm,寬AB=3cm,將其折疊，使點D與

點B重合，那么折疊后DE的長是多少？

考點八：應用勾股定理解決勾股樹問題

1、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中

最大的正方形的邊長為5,則正方形A,B,C,D的面積的和為

考點十：與展開圖有關的計算

（圖1）

1、如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A'B'C'D'的表面上，

求從頂點A到頂點C'的最短距離.

考點十一：網(wǎng)格問題

1s如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長為無

理數(shù)的邊數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2、如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC,若小方格邊長為1,則AABC是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對

3、如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是（）

A.25B.12.5C.9D.8.5

A

B

（圖1）（圖2）（圖3）

4、如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,每個小格的頂點叫格點，以格點為頂

點分別按下列要求畫三角形:

①使三角形的三邊長分別為3、瓜、、污（在圖甲中畫一個即可）;

②使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖乙中畫一個即可）.

甲乙

考點十二：實際問題中應用勾股定理

例1、如圖，某會展中心在會展期間準備將高5m,長13m,寬2m的樓道

上鋪地毯，已知地毯平方米18元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要多

少元錢?

練習1.如圖，長方體三條棱的長分別為4cm,3cm,2cm,螞蟻從Al出發(fā)，沿長方體的

表面爬到C點，則最短路線長是cm.

練習2.如圖，ZA0B=90°,0A=45cm,0B=15cm,一機器人在點B處看見一個小球從點

A出發(fā)沿著A0方向勻速滾向點0,機器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進攔截小球，恰好

在點C處截住了小球.如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，那么機器人行走的路

程BC是多少？

例2、在甲村至乙村的公路有一塊山地正在開發(fā).現(xiàn)有一C處需要爆破.已知點C與公路

上的?？空続的距離為300米，與公路上的另一?？空綛的距離為400米，且CALCB,如圖

13所示.為了安全起見，爆破點C周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進入，問在進行爆破時，公路AB

段是否有危險，是否需要暫時封鎖？請通過計算進行說明。

C

圖13

練習1.“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得

超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路

面對車速檢測儀A的正前方60米處的C點，過了5秒后，測得小汽車所在的B點與車速檢

測儀A之間的距離為100米.

(1)求BC間的距離；(2)這輛小汽車超速了嗎？請說明理由.

5小群了小汽車

I

I

I

I

I

-O----------

/觀測營

練習2.如圖，某沿海開放城市A接到臺風警報，在該市正南方向100km的B處有一臺

風中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km,那么臺

風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺

風的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？

《實數(shù)》專題復習

本章的知識網(wǎng)絡結構:

問題情境

后里數(shù)的引入

實

應

「算術平方根

用

面里數(shù)的表示，平方根

L立方根

_______修念

分類

實數(shù)及相關概念，絕對值、相反數(shù)

實數(shù)與數(shù)軸上點的對應

I實數(shù)運算和比較大小

知識梳理

一.數(shù)的開方主要知識點：

【1】平方根：如果一個數(shù)X的平方等于a,那么，這個數(shù)x就叫做a的平方根；也即，當

/=。(。之0)時，我們稱x是a的平方根，記做：x=±JZ(aNO)。因此：

4.當a=0時，它的平方根只有一個，也就是0本身；

5.當a>0時，也就是a為正數(shù)時，它有兩個平方根，且它們是互為相反數(shù)，通常記做：

x=+4a。

6.當a<0時，也即a為負數(shù)時，它不存在平方根。

例1.

(1)的平方是64,所以64的平方根是；

(2)的平方根是它本身。

(3)若近的平方根是±2,則乂=；J記的平方根是

(4)當x時，J3—2x有意義。

(5)一個正數(shù)的平方根分別是m和m-4,則m的值是多少？這個正數(shù)是多少？

【算術平方根】：

(1)如果一個正數(shù)X的平方等于a,即-=a,那么，這個正數(shù)X就叫做a的算術平

方根，記為：“JZ”，讀作，“根號a"，其中，a稱為被開方數(shù)。特別規(guī)定：0的

算術平方根仍然為0。

(2)算術平方根的性質：具有雙重非負性，即：＞O(fl＞0)?

(3)算術平方根與平方根的關系：算術平方根是平方根中正的一個值，它與它的相反數(shù)

共同構成了平方根。因此，算術平方根只有一個值，并且是非負數(shù)，它只表示為:

八;而平方根具有兩個互為相反數(shù)的值，表示為：±6。

例2.

(1)下列說法正確的是()

A.1的立方根是±1：B.JZ=±2；(C)、病的平方根是±3；

(D)、0沒有平方根；

(2)下列各式正確的是()

A、癡=±9B、|3.14-兄=4-3.14C、7^27=-973

D、V5—V3=-y/2

(3))(-3＞的算術平方根是。

(4)若y/x+J—X有意義，則Jx+I=o

(5)己知AABC的三邊分別是。，仇c,且。力滿足石M+S—4)2=0,求c的取值范圍。

(6)已知：A=x-y[x+y+3是x+y+3的算術平方根，B=X-2^x+2y是x+2)，的立方根。

求A-B的平方根。

(7)(提高題)如果x、y分別是4—4的整數(shù)部分和小數(shù)部分。求x—y的值.

【立方根】

(1)如果x的立方等于a,那么，就稱x是a的立方根，或者三次方根。記做：為石，

讀作，3次根號a。注意：這里的3表示的是開根的次數(shù)。一般的，平方根可以省寫

根的次數(shù)，但是，當根的次數(shù)在兩次以上的時候，則不能省略。

(2)平方根與立方根：每個數(shù)都有立方根，并且一個數(shù)只有一個立方根：但是，并不是每

個數(shù)都有平方根，只有非負數(shù)才能有平方根。

例3.

(1)64的立方根是______________________

(2)若編=2.89,痂=28.9,則b等于()

A.1000000B.1000C.10D.10000

(3)下列說法中：①±3都是27的立方根，②獷=>,③癇的立方根是2,④

y仕8y=±4o

其中正確的有()

A、1個B、2個C、3個D、4個

【無理數(shù)】

（1）無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)叫做無理數(shù)；它必須滿足“無限”以及“不循環(huán)”這兩個條件。

在初中階段，無理數(shù)的表現(xiàn)形式主要包含下列幾種：（1）特殊意義的數(shù)，如：圓周

率乃以及含有萬的一些數(shù)，如：2-萬，3%等；（2）開方開不盡的數(shù)，V2,V5,V9

等；（3）特殊結構的數(shù)：如：2.01001000100001…（兩個1之間依次多1個0）

等。應當要注意的是：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如：、何等；無理數(shù)也不一定

帶根號，如：乃

（2）有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：（1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則

是無限不循環(huán)小數(shù)；（2）所有的有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為

1的分數(shù)），而無理數(shù)則不能寫成分數(shù)形式。

例4.（1）下列各數(shù)：①3.141、②0.33333……、③Ji-行、④n、⑤土,2.25、⑥一2、

3

⑦0.3030003000003……（相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次增加2）、其中是有理數(shù)的有—

;是無理數(shù)的有。（填序號）

（2）有五個數(shù):0.125125…，0.1010010001…，-乃，"，正其中無理數(shù)有（）個

A2B3C4I）5

【實數(shù)】

（1）有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。在實數(shù)中，沒有最大的實數(shù)，也沒有最小的實數(shù)；絕對

值最小的實數(shù)是0,最大的負整數(shù)是-1。

（2）實數(shù)的性質：實數(shù)a的相反數(shù)是-a；實數(shù)a的倒數(shù)是,（a￥0）；實數(shù)a的絕對值|a|=

a

a（a>0）^

,它的幾何意義是：在數(shù)軸上的點到原點的距離。

-a（a<0）

（3）實數(shù)的大小比較法則：實數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)

大于0,0大于負數(shù)；正數(shù)大于負數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的就大，兩個負數(shù)，絕對值

大的反而小。（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)）。對于一些帶根號的無理數(shù)，

我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。

（4）實數(shù)的運算：在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算。運算

法則和運算順序與有理數(shù)的一致。

例5.

（1）下列說法正確的是（）;

A、任何有理數(shù)均可用分數(shù)形式表示；B、數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應；

C、1和2之間的無理數(shù)只有后；D、不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)。

（2）a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是（）

------1-------1?----------------?

a0b

A、y!a—bB、yfabC、^a+bD>-Jh—a

（3）比較大?。ㄌ睢?gt;”或）.

3_V1O,-V3V20.7A/66x/7,

（4）數(shù)—々,一2,—3的大小關系是（）

A.-<-3<-2B.-3<-\/7<-2C.-2<-<-3

D.-3<-2<-V?

（5）將下列各數(shù)：2,^,73,-1-75,用“<”連接起來；

(6)若時=3,北=2,且ab<0,貝U：a-h=

(7)計算：

(8)已知：(x—7)2=12"y+1F=-0.064,求代數(shù)式Jx—2—Jx+10y+3245y的

值。

6.（提高題）觀察下列等式：回答問題:

111+—=C=J

+—+—

I22211+122+16

,11,11,1

③J1+—7+―7=1H-------—1—，

V324233+112

（1）根據(jù)上面三個等式的信息，請猜想/+?+（的結果;

（2）請按照上式反應的規(guī)律，試寫出用n表示的等式，并加以驗證。

重點考查題型及易錯題：

一、考查題型：

1.-1的相反數(shù)的倒數(shù)是

2.已知|a+31+^bH=0,則實數(shù)（a+b）的相反數(shù)

3.數(shù)一3.14與一〃的大小關系是

4.和數(shù)軸上的點成一一對應關系的是

5.和數(shù)軸上表示數(shù)一3的點A距離等于2.5的B所表示的數(shù)是

2

6.在實數(shù)中JI,一§,0,班，一3.14,3［無理數(shù)有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

7.一個數(shù)的絕對值等于這個數(shù)的相反數(shù)，這樣的數(shù)是（）

（A）非負數(shù)（B）非正數(shù)（C）負數(shù)（D）正數(shù)

8.若xV—3,則|x+3|等于()

(A)x+3(B)—x—3(C)—x+3(D)x—3

9.下列說法正確是()

(A)有理數(shù)都是實數(shù)(B)實數(shù)都是有理數(shù)

(B)帶根號的數(shù)都是無理數(shù)(D)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)

10.實數(shù)在數(shù)軸上的對應點的位置如圖，比較下列每組數(shù)的大小：

⑴c-b和d-a?|?|?-----iW714rll???*

45

(2)be和ad

二、考點訓練：

*1.判斷題：

(1)如果a為實數(shù)，那么一a一定是負數(shù)；()

(2)對于任何實數(shù)a與b,|a-b|=|b-a卜恒成立；()

(3)兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù)；()

(4)兩個無理數(shù)之積不一定是無理數(shù)；()

(5)任何有理數(shù)都有倒數(shù)；()(6)最小的負數(shù)是一1；()

(7)a的相反數(shù)的絕對值是它本身；()

(8)若|a=2,|b|=3且ab>0,則a—b=—1；()

2.把下列各數(shù)分別填入相應的集合里

223I_?JJ

-|-3|,21.3,-1.234,--,0,~y/9,~，一萬，乖，(鏡

一十)°,3-2,ctg45°,1.2121121112..........中

無理數(shù)集合｛｝負分數(shù)集合｛｝

整數(shù)集合｛)非負數(shù)集合｛)

*3.已知l<x<2,則|x—3|、/(l-x)2等于()

(A)-2x(B)2(C)2x(D)-2

4.下列各數(shù)中，哪些互為相反數(shù)？哪些互為倒數(shù)？哪些互為負倒數(shù)？

-3,y[2-1,3,-0.3,3，1他，3：

互為相反數(shù)：互為倒數(shù)：互為負倒數(shù)：

*5.已知x、y是實數(shù)，且(X—小)2和|y+21互為相反數(shù)，求x,y的值

6.a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，m的絕對值是2,

、|a+b|

求而石■+4m-3cd=

(a-3b)"+|a'-4I

*7.已知=0,求a+b=

y[a+2

三、解題指導：

1.下列語句正確的是()

(A)無盡小數(shù)都是無理數(shù)(B)無理數(shù)都是無盡小數(shù)

(C)帶報號的數(shù)都是無理數(shù)(D)不帶報號的數(shù)一定不是無理數(shù)。

2.和數(shù)軸上的點一一對應的數(shù)是()

(A)整數(shù)(B)有理數(shù)(C)無理數(shù)(D)實數(shù)

3.零是（）

（A）最小的有理數(shù)（B）絕對值最小的實數(shù)

（C）最小的自然數(shù)（D）最小的整數(shù)

4.如果a是實數(shù)，下列四種說法：

（1）a?和IaI都是正數(shù)，（2）IaI=-a,那么a一定是負數(shù)，

（3）a的倒數(shù)是,，（4）a和一a的兩個分別在原點的兩側，幾個是正確的（）

a

（A）0（B）1（C）2（D）3

*5.比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

343f—I—11

（1）7C（2）-y[12（3）a〈b<0時，一~

4—52V—va一b

,,14_a21+"\/a+b?,2a+3b,,,.?

6.若a,b滿足J——三F—=0,則-----的值是

a+2a------------

*7.實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應點如圖，其中0是原點，且|a|=|c|

（1）判定a+b,a+c,c-b的符號:~~

（2）化簡|a|-|a+b|+1a+c|+1c-b|

*8.數(shù)軸上點A表示數(shù)一1,若AB=3,則點B所表示的數(shù)為

9.已知x知,y〉0,且y〈|x|‘用“<”連結x,—x,—|y|,y。

10.最大負整數(shù)、最小的正整數(shù)、最小的自然數(shù)、絕對值最小的實數(shù)各是什么？

11.絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)、平方數(shù)、算術平方根、立方根是它本身的數(shù)各是什

么？

12.把下列語句譯成式子：

(l)a是負數(shù)；(2)a、b兩數(shù)異號；(3)a、b互為相反數(shù)；

(4)a、b互為倒數(shù)；(5)x與y的平方和是非負數(shù)；

(6)c、d兩數(shù)中至少有一個為零；(7)a、b兩數(shù)均不為0o

*13.數(shù)軸上作出表示小,小,一小的點。

四.獨立訓練：

1.0的相反數(shù)是—，3—“的相反數(shù)是—,口的相反數(shù)是；-

”的絕對值是,0的絕對值是,小一/的倒數(shù)是

2.數(shù)軸上表示一3.2的點它離開原點的距離是o

A表示的數(shù)是一:，且AB=:，則點B表示的數(shù)是________o

乙O

3,JI,(1-72Y,-y,0.1313-,2cos60°,-3-1,1.101001000-

(兩1之間依次多一個0),中無理數(shù)有，整數(shù)有，

負數(shù)有o

4.若a的相反數(shù)是27,貝Wa|=；5.若瓜|=鋪，則a=

5.若實數(shù)x,y滿足等式(x+3)2+I4-y|=0,則x+y的值是

6.實數(shù)可分為()

（A）正數(shù)和零（B）有理數(shù)和無理數(shù)（C）負數(shù)和零（D）正數(shù)和負數(shù)

*7.若2a與1—a互為相反數(shù)，則a等于（）

（A）1（B）-1（C）|（D）（

乙O

8.當a為實數(shù)時，6=-a在數(shù)軸上對應的點在（）

（A）原點右側（B）原點左側（C）原點或原點的右側（D）原點或原點左側

ohah

*9.代數(shù)式-ph+丁丁+?,,,?的所有可能的值有（）

IaIIbIIab|

（A）2個（B）3個（C）4個（D）無數(shù)個

10.已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應點的位置如圖

（1）比較a—b與a+b的大小

（2）化簡|b-a|+|a+b|

11.實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，其中|a|=Ic|

試化簡：Ib—c|—|b—aI+Ia—c—2b|—|c—a|

0bc

*12.已知等腰三角形一邊長為a，一邊長b,且（2a—b）?+|9—a2

求它的周長。

*13.若3,m,5為三角形三邊，化簡：yj(2-m)2-yj(m-8)2

五、綜合應用題

32、若石二l+(3x+y_l)2=0,求&+［的值。

33、化簡：卜閩+阿一^+出一斗

________h-c

34、若a、b、c滿足k一3|+J(5+bf+GT=O,求代數(shù)式丁的值。

Jy-2%+1%2+251

35、已知J5-x,求7(x+y)-20的立方根。

36.已知實數(shù)x、y、z在數(shù)軸上的對應點如圖

k_y|Ty+z|+k+z|+^J

試化簡：x―。

《位置與坐標》專題復習

一、知識要點

一、平面直角坐標系

(-)有序數(shù)對：有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對.

1、記作(a,b)；

2、注意：a、b的先后順序對位置的影響.

(二)平面直角坐標系

1、歷史：法國數(shù)學家笛卡兒最早引入坐標系，用代數(shù)方法研究幾何圖形；

2、構成坐標系的各種名稱；

3、各種特殊點的坐標特點.

(H)坐標方法的簡單應用

1、用坐標表示地理位置；

2、用坐標表示平移.

二、平行于坐標軸的直線的點的坐標特點：

平行于x軸(或橫軸)的直線上的點的縱坐標相同；

平行于y軸(或縱軸)的直線上的點的橫坐標相同.

三、各象限的角平分線上的點的坐標特點：

第一、三象限角平分線上的點的橫縱坐標相同；

第二、四象限角平分線上的點的橫縱坐標相反.

四、與坐標軸、原點對稱的點的坐標特點：

關于x軸對稱的點的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)

關于y軸對稱的點的縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)

關于原點對稱的點的橫坐標、縱坐標都互為相反數(shù)

五、特殊位置點的特殊坐標：

坐標軸上連線平行于點P(x,y)在各象限象限角平分線上

點P(x,y)坐標軸的點的坐標特點的點

X軸Y軸原平行X軸平行Y軸第一第二第三第四第一、第二、

點象限象限象限象限四象限

三象限

(x,0(O.y(0,縱坐標相橫坐標相x>0x<0x<0x>0(m,m)(m,-m

))0)同橫坐標同縱坐標)

y>0y>0y<0y<0

不同不同

六、利用平面直角坐標系繪制區(qū)域內(nèi)一些點分布情況平面圖過程如下:

?建立坐標系，選擇一個適當?shù)膮⒄拯c為原點，確定x軸、y軸的正方向；

?根據(jù)具體問題確定適當?shù)谋壤撸谧鴺溯S上標出單位長度；

?在坐標平面內(nèi)畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱.

七、用坐標表示平移：見下圖

知識一、坐標系的理解

例1、平面內(nèi)點的坐標是（）

A一個點B一個圖形C一個數(shù)D一個有序數(shù)對

?？碱}及易錯題

1.在平面內(nèi)要確定一個點的位置，一般需要個數(shù)據(jù);

在空間內(nèi)要確定一個點的位置,一般需要個數(shù)據(jù).

2、在平面直角坐標系內(nèi)，下列說法錯誤的是()

A原點0不在任何象限內(nèi)B原點。的坐標是0

C原點。既在X軸上也在Y軸上D原點0在坐標平面內(nèi)

知識二、已知坐標系中特殊位置上的點，求點的坐標

點在x軸上,坐標為(x,0)在x軸的負半軸上時,x<0,在x軸的正半軸上時,x>0

點在y軸上,坐標為(0,y)在y軸的負半軸上時,y<0,在y軸的正半軸上時,y>0

第一、三象限角平分線上的點的橫縱坐標相同(即在y=x直線上)；坐標點(x,y)xy>0

第二、四象限角平分線上的點的橫縱坐標相反(即在y=-x直線上)；坐標點(x,y)xy<0

例i點p在％軸上對應的實數(shù)是一石，則點P的坐標是，若點Q在,軸上

對應的實數(shù)是:，則點Q的坐標是,

例2點P(a-l,2a-9)在x軸負半軸上，則P點坐標是.

常考題及易錯題

1、點P(m+2,m-l)在y軸上，則點P的坐標是.

2、己知點A(m,-2)，點B(3,m-l)，且直線AB〃x軸，則m的值為.

3、已知:A(1,2),B(x,y),AB//x軸，且B到y(tǒng)軸距離為2,則點B的坐標是.

4.平行于x軸的直線上的點的縱坐標一定()

A.大于0B.小于0C.相等D.互為相反數(shù)

(3)若點(a,2)在第二象限,且在兩坐標軸的夾角平分線上,則a=.

(3)己知點P(X2-3,1)在一、三象限夾角平分線上，則x=.

5.過點A(2,-3)且垂直于y軸的直線交y軸于點B,則點B坐標為().

A.(0,2)B.(2,0)C.(0,-3)D.(-3,0)

6.如果直線AB平行于y軸，則點A,B的坐標之間的關系是（）.

A.橫坐標相等B.縱坐標相等

C.橫坐標的絕對值相等D.縱坐標的絕對值相等

知識點三：點符號特征.

點在第一象限時，橫、縱坐標都為一，點在第二象限時，橫坐標為—，縱坐標為一，點有

第三象限時，橫、縱坐標都為一，點在第四象限時，橫坐標為一，縱坐標為—；丫軸上的點

的橫坐標為一,x軸上的點的縱坐標為—.

例1.如果a—b<0,且abVO,那么點（對）在（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限，D、第四象限.

例2、如果上<0,那么點P（x,y）在（）

X

（A）第二象限（B）第四象限（C）第四象限或第二象限（D）第一象限或第三象限

?？碱}及易錯題

1.點P的坐標是（2,—3）,則點P在第象限.

2、點P（x,y）在第四象限，且|x|=3,|y|=2,則P點的坐標是.

3.點A在第二象限，它到x軸、y軸的距離分別是V3、2廁坐標是:

4.若點P（x,y）的坐標滿足xy>0.則點P在第象限;

若點P（x,y）的坐標滿足xy<0,且在x軸上方，則點P在第象限.

若點P（a,b）在第三象限，則點P'（—a,—b+1）在第象限；

5.若點加)在第二象限,則下列關系正確的是()

A.0<???<1B.m<0C.m>0D.m>1

6.點(x,i—1)不可能在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.已知點P(2元一10,3-X)在第三象限，則x的取值范圍是()

A.3<x<5B.3<x<5C.x>5或x<3D.x25或工<3

8.(本小題12分)設點尸的坐標(x,p)，根據(jù)下列條件判定點刀在坐標平面內(nèi)的位置：

(1)xy=0；(2)孫>0；(3)x+y=0.

⑵點人(1-行,])在第象限.

(3)橫坐標為負，縱坐標為零的點在()

(A)第一象限(B)第二象限(C)X軸的負半軸(D)Y軸的負半軸

(4)如果a-b<0,且ab<0,那么點(41))在()

(A)第一象限，(B)第二象限(C)第三象限，(D)第四象限.

(5)已知點A(m,n)在第四象限,那么點B(n,m)在第象限

(6)若點P(3a-9,1-a)是第三象限的整數(shù)點(橫、縱坐標都是整數(shù))，那么a=

知識四：求一些特殊圖形,在平面直角坐標系中的點的坐標.

過點作x軸的線,垂足所代表的

是這點的橫坐標；過點作y軸的垂線，垂足所代表的實數(shù)，是這點的.點的橫坐標寫在小

括號里第一個位置，縱坐標寫小括號里的第一個位置，中間用—隔開.

例1、X軸上的點P到Y軸的距離為2.5,則點P的坐標為()

A(2.5,0)B(-2.5,0)C(0,2.5)D(2.5,0)或(-2.5,0)

?？碱}及易錯題

1、點A(2,3)至ljx軸的距離為;點B(-4,0)到y(tǒng)軸的距離為；點C到

x軸的距離為1,到y(tǒng)軸的距離為3,且在第三象限，則C點坐標是.

2.若點A的坐標是(一3,5)，則它到x軸的距離是，到y(tǒng)軸的距離是

3.點P到x軸、y軸的距離分別是2、1,則點P的坐標可能

為.

4.已知點M到x軸的距離為3,到y(tǒng)軸的距離為2,則M點的坐標為().

A.(3,2)B.(-3,-2)C.(3,-2)

D.(2,3),(2,-3),(-2,3),(-2,-3)

5.若點P(。，8)到無軸的距離是2,到y(tǒng)軸的距離是3,則這樣的點P有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.已知直角三角形ABC的頂點A(2,0),B(2,3).A是直角頂點，斜邊長為5,求頂點C的坐

標.

7.直角坐標系中,正三角形的一個頂點的坐標是(0,、回)，另兩個頂點B、C都在x軸上，

求B,C的坐標.

9.在平面直角坐標系中,A,B,C三點的坐標分別為(0,0),(0,-5),(-2,-2),以這三點

為平行四邊形的三個頂點，則第四個頂點不可能在第象限.

10.直角坐標系中，一長方形的寬與長分別是6,8,對角線的交點在原點，兩組對邊分別與坐

標軸平行,求它各頂點的坐標.

11.在平面直角坐標系中,A,B,C三點的坐標分別為(0,0),(0,-5),(-2,-2),以這三

點為平行四邊形的三個頂點,則第四個頂點不可能在第象限.

14.已知等邊aABC的兩個頂點坐標為A(-4,0),B(2,0),求：(1)點C的坐標；(2)

△ABC的面積

知識點五：對稱點的坐標特征.

關于x對稱的點，橫坐標不，縱坐標互為；關于y軸對稱的點,坐標不變，

坐標互為相反數(shù)；關于原點對稱的點,橫坐標—，縱坐標—.

例1.己知A(—3,5),則該點關于x軸對稱的點的坐標為；關于y軸對的點的坐

標為；關于原點對稱的點的坐標為;關于直線x=2對稱的

點的坐標為.

例2.將三角形力勿的各頂點的橫坐標都乘以-1,則所得三角形與三角形4比'的關系()

A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱

C.關于原點對稱D.將三角形向左平移了一個單位

?？碱}及易錯題

1在第一象限到x軸距離為4,到y(tǒng)軸距離為7的點的坐標是;在第四象限到

x軸距離為5,到y(tǒng)軸距離為2的點的坐標是；

3.點A(-l,-3)關于x軸對稱點的坐標是.關于原點對稱的點坐標是.

4.若點A(m,-2),B(l,n)關于原點對稱，則m=,n=.

5.已知：點P的坐標是(小，-1),且點P關于x軸對稱的點的坐標是(-3,2”),則

m=,n=；

6.點9-1,2)關于》軸的對稱點的坐標是，關于y軸的對稱點的坐標

是，關于原點的對稱點的坐標是；

7.若M(3,/篦)與N(〃，m-V)關于原點對稱，則m=,n=；

9.直角坐標系中，將某一圖形的各頂點的橫坐標都乘以-1,縱坐標保持不變,得到的圖形與

原圖形關于軸對稱；將某一圖形的各頂點的縱坐標都乘以-1,橫坐標保持不變，得

到的圖形與原圖形關于一軸對稱.

10.點A(—3,4)關于無軸對稱的點的坐標是()

A.(3,—4)B.(—3,—4)C.(3,4)D.(—4,—3)

11.點P(-l,2)關于原點的對稱點的坐標是()

A.(1,-2)B(-1,-2)C(1,2)D.(2,-1)

12.在直角坐標系中，點P(-2,3)關于y軸對稱的點R的坐標是()

A(2,3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,-3)

若&-3+(b+2)2=0,則點M(a,b)關于y軸的對稱點的坐標為.

13.若一個點的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù),則此點一定在()

A.原點B.x軸上C.兩坐標軸第一、三象限夾角的平分線上

D.兩坐標軸第二、四象限夾角的平分線上

知識點六：利