紙橋創(chuàng)新設(shè)計(jì)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——紙橋創(chuàng)新設(shè)計(jì)突破自我

題目條件限定

此題要求我們用一張A4紙和少量膠水建造一個(gè)跨度為280mm的橋。根據(jù)題意我們可以滴對(duì)此題的條件做如下的理解：（1）制作材料為A4紙

查閱資料可知A4紙的基本參數(shù)見(jiàn)下表厚度:長(zhǎng)度：抗拉強(qiáng)度:抗壓強(qiáng)度:0．088mm297mm22.2N/mm^27N/mm^2寬度:彈性模量（1層）彈性模量（2層）210mm28.9Mpa74.2Mpa（2）橋梁采用簡(jiǎn)支的方式橋梁的跨度為28cm，橋梁兩端的固定方式對(duì)試驗(yàn)有著很大的影響。在兩端用膠水粘在兩端的固定物上、兩端夾持或是簡(jiǎn)支的條件下得到的結(jié)果會(huì)有很大的不同。由于各種截面形狀的紙橋與兩端固定端的接觸面形狀尺寸都有所不同，膠接或是夾持的方式不可取。所以此題采用簡(jiǎn)支的方式。（3）載荷方式：

真實(shí)橋梁的載荷方式很繁雜，但在我們的試驗(yàn)分析中，我們認(rèn)為只要在一種載荷方式下表現(xiàn)最好的橋梁就是在所有載荷方式下表現(xiàn)最好的橋梁。我們采用控制變量法進(jìn)行試驗(yàn)，對(duì)我們?cè)O(shè)計(jì)的所有結(jié)構(gòu)的橋梁只在紙橋的中點(diǎn)處正直放置15塊人民幣一元硬幣，看各種紙橋在該載荷方式下的變外形況。單個(gè)一元錢(qián)人民幣硬幣質(zhì)量為：m=6.3g；15個(gè)硬幣的質(zhì)量為：94.5g（4）橋梁外形

從實(shí)際狀況看，橋梁具有一些基本的外形要求：豎直朝上的面要能通過(guò)行人或車(chē)輛。所以我們要求所有紙橋豎直朝上的面的寬度至少等于一個(gè)一元錢(qián)硬幣的直徑。圓形截面直徑大于等于一元錢(qián)硬幣的直徑即可。

基本簡(jiǎn)化模型：

此題中的紙橋跨度為28厘米，兩端架在書(shū)本上，試驗(yàn)中將一定數(shù)量的硬幣放置在紙橋的中點(diǎn)位置附近上以檢驗(yàn)紙橋的強(qiáng)度，假設(shè)試驗(yàn)中橋梁保持了等截面，且硬幣對(duì)橋梁的壓力可以視為作用于橋梁中點(diǎn)集中載荷，則該試驗(yàn)?zāi)Ｐ涂梢院?jiǎn)化為一個(gè)基本的二維模型。如下圖所示：

該橋梁的剪力圖，彎矩圖如下：

最大彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式如下：

?max?MmaxymaxIz其中，Mmax是橫梁上的最大彎矩，ymax是截面垂直方向上離中性軸最遠(yuǎn)的距離。

Iz為慣性矩，Iz??y2dA

A簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)受集中力作用的中點(diǎn)撓度計(jì)算公式如下：

wmaxFa3??

48EIz在紙橋中點(diǎn)處，紙橋的橫截面上有最大的正應(yīng)力。

橋梁越穩(wěn)固，在加載一致載荷的狀況下形變量就最小。所以，在簡(jiǎn)化模型中，校核各種紙橋的承載能力的核心在于計(jì)算各種紙橋的抗彎強(qiáng)度EIz：

理論分析

（1）彈性模量E的影響：

由A4紙的基本參數(shù)可知，一層A4紙和兩層粘合的A4紙的彈性模量（分別為28.9Mpa、74.2Mpa）是不一樣的。當(dāng)然E越大，橋梁中點(diǎn)的撓度也就越小。但是粘

合兩層A4紙又會(huì)減少紙的實(shí)際可用的面積，可能會(huì)使Iz減小，起到增大撓度的效果。所以，在一些關(guān)鍵部位是可以用粘合兩張A4紙來(lái)提高橋梁的強(qiáng)度，但是還應(yīng)當(dāng)充分考慮這樣做對(duì)Iz的影響。

（2）慣性矩Iz的影響

毫無(wú)疑問(wèn)，各種截面形狀有不同的Iz，從而使各種截面橋梁的強(qiáng)度不同。下面通過(guò)理論計(jì)算對(duì)三種基本截面（圓形、正方形、三角型）進(jìn)行比較。

A4紙的寬度為210mm。所以要是只疊一層，圓形截面的半徑為33.4mm、正方形邊長(zhǎng)為52.5mm、等邊三角形的邊長(zhǎng)為70mm，紙張厚度均記為e。根據(jù)Iz?2y?dA對(duì)三角形和正方形進(jìn)行計(jì)算。A根據(jù)Iz?111Ip??r2dA??r3ed?對(duì)圓形截面的慣性矩進(jìn)行計(jì)算。結(jié)果如下：22A2AIz圓=1.170?10-4eIz正方形=9.647?10-5eIz等邊三角形=8.575?10-5e由此可知若是在一致紙張層數(shù)下，圓形截面的強(qiáng)度最高。

（3）最大抗拉壓應(yīng)力的影響

資料顯示，A4紙抗拉壓強(qiáng)度不同，能承受的最大拉應(yīng)力（22.2N/mm^2）是最大壓應(yīng)力的3倍（7N/mm^2）。對(duì)于圓形和矩形截面，中性軸剛好就是截面的對(duì)稱(chēng)軸，所以截面受到的最大拉壓應(yīng)力是一樣的。截面上的拉壓應(yīng)力分布圖如下圖所示：（對(duì)此題的紙橋而言，中心軸以上為壓應(yīng)力，中心軸以下為拉應(yīng)力）

而對(duì)于等邊三角形截面，其截面應(yīng)力分布如下圖：

所以，上下對(duì)稱(chēng)的截面承受的最大應(yīng)力應(yīng)當(dāng)小于其最大壓應(yīng)力7N/mm^2，倒置的等邊三角截面可以承受的最大應(yīng)力為最大壓應(yīng)力的兩倍14N/mm^2，設(shè)計(jì)紙橋時(shí)應(yīng)當(dāng)

充分利用A4紙抗拉壓強(qiáng)度不同這一重要特性，設(shè)計(jì)出上下不對(duì)稱(chēng)的截面，等腰三角形就是一個(gè)很好的選擇。

（4）平面結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響：

這個(gè)紙橋使用紙張折成的，所以橫截面都不是整個(gè)一張紙，而是具有薄壁特性。這就要求我們充分考慮到平面結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。第一、閉口截面比開(kāi)口截面穩(wěn)定，所以避免使用開(kāi)口截面。其次、平行四邊形有不穩(wěn)定性，三角形有穩(wěn)定性，所以矩形在頂部受力時(shí)極易變形，而三角形不會(huì)。綜上所述，理論分析的結(jié)果是，圓形截面具有最大的Iz，但是三角形截面最能充分利用A4紙抗拉壓能力不同的特性，并且具有最好的平面穩(wěn)定性。但是要想使三角形倒放成為橋梁必需將紙疊成多個(gè)三角形組成的手風(fēng)琴形狀。根據(jù)理論分析，我們?cè)O(shè)計(jì)了粘合多層的圓形截面和具有三角形截面優(yōu)點(diǎn)的手風(fēng)琴截面的紙橋。并對(duì)它們進(jìn)行試驗(yàn)對(duì)比。

試驗(yàn)分析

我們制作了粘合雙層的圓形截面和具有多個(gè)三角形截面的手風(fēng)琴截面的紙橋。簡(jiǎn)支后，在其中點(diǎn)位置放置15枚一元錢(qián)硬幣，測(cè)量其中點(diǎn)位置的撓度。試驗(yàn)結(jié)果如下。（1）粘合雙層的圓形截面紙橋

（2）具有多個(gè)三角形截面的手風(fēng)琴截面紙橋

試驗(yàn)結(jié)果：橋梁結(jié)構(gòu)中點(diǎn)撓度截面變化對(duì)比可知，手風(fēng)琴截面強(qiáng)度更大，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性更好。

粘合兩層的圓形截面橋6mm上方塌陷較多手風(fēng)