2023年高考最后一輪復(fù)習(xí)微專題07 函數(shù)壓軸小題（解析版）

微專題07函數(shù)壓軸小題【秒殺總結(jié)】一、對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點，難度較大.二、對于雙變量問題，首先變形后引入新變量把問題變?yōu)閱巫兞?，再引入新函?shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)值的范圍，然后再解相應(yīng)的不等式可得所求參數(shù)范圍．三、函數(shù)零點的求解與判斷方法：（1）直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點；（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.四、已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.【典型例題】例1．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均R，若為偶函數(shù)，且滿足，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【解析】由為偶函數(shù)，則，即關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，由，則，故關(guān)于對稱，所以，則有.故選：C例2．（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，對，，有，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，由已知可得.令，由已知可得，設(shè)，則，整理可得.又，所以，所以.則，所以.故選：A.例3．（2023·全國·模擬預(yù)測）下列大小關(guān)系正確的為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于選項，因為，所以，則，又因為，則有，所以，故選項錯誤；對于選項，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以，故，故選項正確；對于選項，構(gòu)造函數(shù)，則，由選項可知：當(dāng)時，，所以，則有，因為函數(shù)在上恒大零，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，故選項錯誤；對于選項，因為，令，則，令，則，令，解得：，因為，所以在上單調(diào)遞減，故，即，所以，故選項錯誤，故選：.例4．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谀┤艉瘮?shù)的定義域為R，且偶函數(shù)，關(guān)于點成中心對稱，則下列說法正確的個數(shù)為（

）①的一個周期為2；②；③的一個對稱中心為；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意得：，將替換為得：，即，②正確；中將替換為得：，因為向左平移個單位得到，而關(guān)于點成中心對稱，所以關(guān)于中心對稱，故關(guān)于中心對稱，所以，故，所以，所以的一個周期為4，①錯誤；關(guān)于中心對稱，又的一個周期為4，故的一個對稱中心為，③正確；中，令得：，中，令得：，故，中，令得：，又因為，故，所以，所以，其中，，，故，④正確.故選：C例5．（多選題）（2023秋·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的定義域均為R，且.若的圖像關(guān)于直線對稱，且，則（

）A． B．的圖像關(guān)于點對稱C．是周期函數(shù)，且最小正周期為8 D．【答案】ABD【解析】令，則，又，故，故A正確；因為則，即①又，②①+②得：，則的圖像關(guān)于點對稱，且故B正確；的圖像關(guān)于直線對稱，則，則，則，又，兩式相減得，故，故最小正周期為4，故C錯誤；最小正周期為4，且圖像關(guān)于點對稱，，，因為，故，故D正確；故選：ABD.例6．（2023秋·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于的方程有且僅有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】令，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因為，則，所以，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，且當(dāng)時，，可得，令，可得，令，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，下面考查直線與函數(shù)的圖象相切的情形：設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切于點，其中，函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，故曲線在點的切線的方程為，即，由題意可得，解得，，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時，直線與曲線在上的圖象有兩個交點，即此時函數(shù)在上有兩個零點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為______．【答案】【解析】當(dāng)，，則，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，，作出函數(shù)的大致圖象，設(shè)，則有兩個不同的實數(shù)根，由可知，與異號，不妨設(shè)，要使方程有3個不同的實數(shù)根，則或，①當(dāng)時，，得；②當(dāng)時，設(shè)，則，得，綜上，的取值范圍為．故答案為：．例8．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有5個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍為_______.【答案】【解析】由函數(shù)可知，其函數(shù)圖象如下圖所示：若關(guān)于x的方程有5個不同的實數(shù)根，即方程有5個不同的實數(shù)根，即和共有5個不同的實數(shù)根，所以和與函數(shù)共有5個不同的交點；由圖可知，與函數(shù)最多有三個交點，且；所以，當(dāng)，與函數(shù)有2個不同的交點，需滿足與函數(shù)有3個不同的交點，所以，解得；當(dāng)時，與函數(shù)有3個不同的交點，需滿足與函數(shù)有2個不同的交點，所以解得；綜上可知，所以，a的取值范圍為.故答案為：例9．（2023·浙江省杭州第二中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，有三個不同的零點，（其中），則的值為A． B． C．-1 D．1【答案】D【解析】令f（x）=0，分離參數(shù)得a=令h（x）=由h′（x）=得x=1或x=e．當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，e）時，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上為減函數(shù)，在（1，e）上為增函數(shù)．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=則a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，對于μ=，則當(dāng)0＜x＜e時，μ′＞0；當(dāng)x＞e時，μ′＜0．而當(dāng)x＞e時，μ恒大于0．不妨設(shè)μ1＜μ2，則μ1=，=（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．故選D．例10．（2023·全國·高二）若存在兩個正實數(shù)、，使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，設(shè)，，則，則有解，設(shè)，為增函數(shù)，，當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，所以當(dāng)時函數(shù)取極小值，，即，若有解，則，即，所以或，故選：B．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】周期為的偶函數(shù)，且是的一條對稱軸，且在單調(diào)遞增，則，因為，則故，，令，在有，則在單調(diào)遞減，故，即，則，故；綜上，故選：C.2．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，的定義域均為，為的導(dǎo)函數(shù).若為偶函數(shù)，且，.則以下四個命題：①；②關(guān)于直線對稱；③；④中一定成立的是（

）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】D【解析】對②：由，可得，則（與為常數(shù)），令，則，所以，則，故關(guān)于直線對稱，②正確；對①：∵為偶函數(shù)，則，∴，則為奇函數(shù)，故，即，則是以4為周期的周期函數(shù)，由，令，則，可得，故，①正確；由，令，則，即，令，則，即，故，則，對③：由，即，則，由于無法得出的值，③錯誤；對④：，④正確；故選：D.3．（2023·河南信陽·高三統(tǒng)考期末）已知m、n為實數(shù)，，若對恒成立，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．－1 D．3【答案】C【解析】因為，所以，若時，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，時，，顯然不符合題意；若時，分式無意義，不符合題意；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，則，令，則，易知當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的最小值為.故選：C.4．（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）若，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，當(dāng)時，，令，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故.故選：B.5．（2023·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為且都為連續(xù)函數(shù)，記，若，均為奇函數(shù)，，則（

）A． B．0 C．2 D．2023【答案】A【解析】∵為奇函數(shù)，即，在縱軸兩邊斜率相反，故的圖像關(guān)于對稱，∵均為奇函數(shù)，∴函數(shù)的圖像分別關(guān)于，中心對稱，即又的圖像關(guān)于對稱，的圖像關(guān)于對稱，即，，，則∴與都是周期為4的周期函數(shù)，∴．故選：A．6．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）兩條曲線與存在兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可知有兩個不等正根，即有兩個不等正根，令，則，又，在上單調(diào)遞增，所以有兩個不等正根，設(shè)，則，由可得單調(diào)遞增，由可得單調(diào)遞減，且，作出函數(shù)和的大致圖象，由圖象可知當(dāng)時，有兩個正根，即時，兩條曲線與存在兩個公共點.故選：C.7．（2023·江西新余·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，若與圖像的公共點個數(shù)為，且這些公共點的橫坐標(biāo)從小到大依次為，，…，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【解析】對于A：當(dāng)時，令，則，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，又當(dāng)時，所以函數(shù)有且僅有一個零點為，同理易知函數(shù)有且僅有一個零點為，即與也恰有一個公共點，故A錯誤；對于B：當(dāng)時，如下圖：易知在，且，與圖象相切，由當(dāng)時，，則，，故，從而，所以，故B正確；對于C：當(dāng)時，如下圖：則，，所以，又圖象關(guān)于對稱，結(jié)合圖象有，即有，故C錯誤；對于D：當(dāng)時，由，與的圖象在軸右側(cè)的前個周期中，每個周期均有個公共點，共有個公共點，故D錯誤.故選：B.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是定義在上且周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)時，，令，則函數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】依題意，是定義在上且周期為4的奇函數(shù)，所以，所以是周期為的周期函數(shù).當(dāng)時，，.當(dāng)時，，.所以，所以，當(dāng)時，，，，所以，所以，畫出在區(qū)間上的圖象如下圖所示，結(jié)合的周期性可知的最大值為.故選：A9．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若在有2023個零點，則的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為是上的奇函數(shù)，所以，故在有2022個零點.又滿足，所以是周期為2的周期函數(shù).故在每個周期上均有個零點.又因為在上圖像關(guān)于原點對稱，所以在和上有相同個數(shù)的零點，也即在和上有相同個數(shù)的零點，又在上有4個零點，且，故在上有1個零點，且.當(dāng)時，有當(dāng)時，則若要滿足以上條件，需使時，，即.滿足的取值范圍條件的選項只有C.故選：C.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)滿足，令，對任意的，都有，若，則（

）A． B．3 C．1 D．【答案】A【解析】因為，所以，即，，故，所以是奇函數(shù)，令，解得：，故，解得：，則，令，解得：，故，解得：，則，依次可得：，解得：，則，則，故，中，令得：，所以,故選：A二、多選題11．（2023·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）設(shè)定義在R上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，且，，且為奇函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．D．【答案】ABD【解析】因為為奇函數(shù)，所以，取可得，因為，所以；所以，又，，故，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；因為，所以，所以，為常數(shù)，因為，所以，所以，取可得，所以，故關(guān)于對稱，故A正確；又，所以，所以，所以，故函數(shù)為周期為的周期函數(shù)，因為，所以，，所以，所以，所以，由已知無法確定的值，故的值不一定為，故C錯誤．因為，所以，，所以，故函數(shù)為周期為的函數(shù)，所以，所以函數(shù)為周期為4的函數(shù)，又，，，，所以，，所以，故D正確；故選：ABD．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)和，存在直線與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，，，，令得，令得，令得，令得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時，此時，顯然與兩條曲線和共有0個交點，不符合題意；②時，此時，故與兩條曲線和共有2個交點，交點的橫坐標(biāo)分別為0和1,不符合題意；③時，首先，證明與曲線有2個交點，即證明有2個零點，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點設(shè)為在上存在且只存在1個零點設(shè)為其次，證明與曲線和有2個交點，即證明有2個零點，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點設(shè)為，在上存在且只存在1個零點設(shè)為再次，證明存在，使得因為，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點，因為，，所以在上存在零點，取一零點為，令即可，此時取則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，最后證明，即從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因為所以，又因為在上單調(diào)遞減，，即，所以，,不成立故,故選項正確,故選項錯誤.同理，因為，又因為在上單調(diào)遞增，即，，所以，又因為，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)分別為,.故正確故選:.13．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)、的定義域均為．且滿足，，，則（

）A． B．C．的圖象關(guān)于點對稱 D．【答案】BC【解析】對于A選項，因為，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，，因為，所以，，即，因為，所以，，則，所以，，A錯；對于B選項，因為定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，B對；對于C選項，因為，所以，，聯(lián)立，可得，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，C對；對于D選項，因為，令可得，所以，，故，因為，所以，，可得，所以，，可得，則，記，，其中，且，，則，，所以，數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，則，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，，所以，，D錯.故選：BC.14．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)數(shù)分別為與，已知，，且關(guān)于直線對稱，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因為，所以所以，所以，故D正確，令時，，所以，由，所以，所以B選項正確，因為，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即為奇函數(shù)，所以函數(shù)（為常數(shù)）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，故C選項正確，函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，符合題意，所以，故選項A不正確，故選：BCD.15．（2023·廣東清遠(yuǎn)·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，，，，對于A，設(shè)，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以，故A正確；對于B，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，則，整理得，所以，故B不正確；對于D，設(shè)，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以有，即，所以，則，故D正確；由前面可知，所以，故C正確.故選：ACD.16．（2023·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？计谀┮阎瘮?shù)與的定義域均為，且，，若為偶函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D．【答案】BCD【解析】A選項，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，的圖象，橫坐標(biāo)放大為原來的兩倍，得到的圖象，則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱；的圖象，向左平移個單位，得到的圖象，則的圖象關(guān)于對稱，A選項錯誤.B選項，由，以替換得，由得，令得，由于的圖象關(guān)于對稱，所以，B選項正確.C選項，由，以替換得，由得，令得，所以的圖象關(guān)于點對稱，C選項正確.D選項，的圖象關(guān)于對稱，所以，由，得，以替換得，所以，，的周期為4，又，，所以，D選項正確.故選：BCD三、填空題17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個不相等的實數(shù)根，且，則的取值范圍是______．【答案】【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)，即時，，且，當(dāng)，即時，，且，當(dāng)，即時，，且，因此，在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，再作出直線，則方程有兩個不等實根，當(dāng)且僅當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點，觀察圖象知方程有兩個不等實根，當(dāng)且僅當(dāng)，此時，且，即，且，則有，令，求導(dǎo)得，令，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而，于是當(dāng)時，，有，所以的取值范圍是.故答案為：18．（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，對于任意的，都有，且恒成立，則______.【答案】3882【解析】令，則有，若，則有，顯然矛盾；若，則有，顯然與已知矛盾，當(dāng)為大于3的整數(shù)時，與已知函數(shù)單調(diào)遞增相矛盾，故，所以有；