馬爾科夫預(yù)測法完整版

第六章

馬爾科夫預(yù)測法1第六章

目錄6.1馬爾科夫鏈的基本概念6.2狀態(tài)概率的估算補充內(nèi)容6.3馬爾科夫鏈在經(jīng)濟預(yù)測方面的應(yīng)用6.4馬爾科夫預(yù)測案例6.1馬爾科夫鏈的基本概念?

一.狀態(tài)與狀態(tài)概率?

狀態(tài)：某事物在某一時間所處的狀況。如暢銷、平銷、滯銷。?

狀態(tài)概率：被研究對象在t時間處于狀態(tài)空間中的某一狀態(tài)，處于這一狀態(tài)的可能性。如某個時間上產(chǎn)品暢銷的可能性多大。二.狀態(tài)轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)移概率及狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?

1.狀態(tài)轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)移概率?

狀態(tài)轉(zhuǎn)移是系統(tǒng)由一個時期所處的狀態(tài)Si到未來某時期所處的可能狀態(tài)Sj的轉(zhuǎn)變，而發(fā)生這種狀態(tài)轉(zhuǎn)移的可能性被稱為轉(zhuǎn)移概率。分一次轉(zhuǎn)移和多次轉(zhuǎn)移。5二.狀態(tài)轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)移概率及狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?

2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣一次轉(zhuǎn)移概率矩陣P?

k次轉(zhuǎn)移概率矩陣?

如果1次轉(zhuǎn)移概率矩陣不發(fā)生變化，有例：S1—暢銷

S2—滯銷

k=1(一步轉(zhuǎn)移）S1

S1

P11=0.7

S1

S2

P12=0.3S2

S1

P21=0.4

S2

S2

P22=0.6K=2(二步轉(zhuǎn)移）S1

S20.7×0.7+0.3×0.4=0.61s1s20.70.30.7s10.4s1三.馬爾科夫過程?

某現(xiàn)象在時間m+1時所處的狀態(tài)Sj的概率僅僅與該現(xiàn)象在時間m所處的狀態(tài)Si有關(guān)，而與時間m前所處何種狀態(tài)無關(guān)的特性成為無后效性，也稱為馬爾科夫性，具有這種特性的時間轉(zhuǎn)移和狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程稱為馬爾科夫過程。?

馬爾可夫過程的時間可以是無限連續(xù)的，在實際經(jīng)濟問題中，時間取離散值，在某一時間的狀態(tài)也是離散可列的，我們稱這樣的馬爾可夫過程為馬爾可夫鏈。它表示事物前一時期的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到現(xiàn)在的狀態(tài)，由現(xiàn)在的狀態(tài)轉(zhuǎn)移為將來的狀態(tài)，一環(huán)接一環(huán)，像一根鏈條。四、標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣與平衡向量?

如果馬爾可夫過程的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣不發(fā)生變化，則無論基期處于什么樣的狀態(tài)，經(jīng)過多期轉(zhuǎn)移后，狀態(tài)的概率趨于一個和基期無關(guān)的并且穩(wěn)定下來的值，這稱為馬爾可夫過程的穩(wěn)定性或遍歷性。?

這個穩(wěn)定下來的值我們稱為平衡向量，也叫終極狀態(tài)概率。我們會在后面補充。6.2狀態(tài)概率的估算?

一.狀態(tài)概率估計116.2狀態(tài)概率的估算?

二.轉(zhuǎn)移概率估計?

要注意的是：計算一步概率時，最后一期不參加計算，因為它將轉(zhuǎn)移到哪個狀態(tài)還不確定。補充內(nèi)容（平衡向量求解）基期t=0

時的狀態(tài)概率稱為初始概率，初始概率向量為矩陣為，多次轉(zhuǎn)移概率，預(yù)測穩(wěn)定下來的平衡向量。當(dāng)馬爾可夫過程達到平衡狀態(tài)時，上一期的狀態(tài)經(jīng)過轉(zhuǎn)移之后其狀態(tài)應(yīng)該保持不變。先假設(shè)平衡狀態(tài)為則例題:A、B、C三個廠生產(chǎn)的味精5月在某地區(qū)市場上的占有率分別為0.3、0.2、0.5，據(jù)市場調(diào)查得知，顧客的流動情況如下表所示：轉(zhuǎn)移購買比例

Ａ

Ｂ

ＣＡＢＣ0.4

0.3

0.30.6

0.3

0.10.6

0.1

0.3試預(yù)測6月與7月三個廠味精的市場占有率，如果顧客流動情況穩(wěn)定，那么，市場穩(wěn)定后三個廠的市場占有率情況如何？解答：上述味精在市場上占有率的變化過程為一個馬爾可夫過程，初始狀態(tài)為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣本月市場占有率下月占有率情況本月和下月Ａ、Ｂ、Ｃ三個廠的市場占有率情況分別是54%、20%、26%和49.2%、24.8%、26%。若一步轉(zhuǎn)移概率不發(fā)生變化，假設(shè)穩(wěn)定的市場占有率情況為所以，市場占有率的平衡狀態(tài)是；A、B、C三個廠的市場占有率分別是50%、25%和25%。馬爾可夫過程的平衡狀態(tài)僅與轉(zhuǎn)移概率有關(guān)，與初始狀態(tài)無關(guān)。?

一.市場占有率預(yù)測?

市場競爭中，市場占有率問題具有馬爾科夫鏈的特征，因此，可以用馬爾科夫預(yù)測法來對市場占有率的發(fā)展變化進行預(yù)測。?

假設(shè)顧客在市場上對一類商品有n種選擇，它們是n個不同品牌，分別記為?

顧客在本期選擇了

品牌的產(chǎn)品，在下一期有可能轉(zhuǎn)移購買其他同類產(chǎn)品的品牌，這一過程就構(gòu)成了馬爾科夫鏈，可用馬爾科夫原理對這n種品牌的市場占有率進行預(yù)測。1.市場調(diào)查?

（1）調(diào)查目前的市場占有情況，即調(diào)查所有顧客在目前消費該類商品時購買各種商品的比重，獲得初始分布（2）調(diào)查顧客在選擇n種品牌的流動情況，先獲得轉(zhuǎn)移頻率矩陣，從而由頻率估算概率，獲得轉(zhuǎn)移概率矩陣2.建立數(shù)學(xué)模型?

通過一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P，測算出第k步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(k)3.市場預(yù)測（1）預(yù)測第k期的市場占有率?

（3）預(yù)測穩(wěn)定狀態(tài)下的市場占有率，即顧客的流動對市場占有率沒有影響，即顧客流動過程中，各種品牌在顧客流動的過程中爭取到的顧客和失去的顧客相互抵消。例6-2某地區(qū)銷售的洗發(fā)水主要有三個廠家提供，分別用1,2,3來表示。在12月對2000名消費者進行調(diào)查，購買廠家1、廠家2、廠家3的產(chǎn)品的消費者人數(shù)分別為1400,200和400。同時得到用戶的轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣為：問題1、對三個廠家次年1-6月份的市場占有率進行預(yù)測。2、試求當(dāng)市場處于均衡狀態(tài)時，各廠商的市場占有率是多少。1、先求出12月份，廠商1、2、3的市場占有率情況，得到初始分布為2、通過轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣計算轉(zhuǎn)移概率矩陣假設(shè)P是穩(wěn)定的，得到：1月份各廠家的市場占有率，即當(dāng)k=1時，2月份各廠家的市場占有率，即當(dāng)k=2時，2、由于概率矩陣P是標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，因此存在唯一的市場均衡點。因此存在使得因此，可以求得市場均衡時，各廠商的占有率6.4馬兒科夫預(yù)測案例考慮某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的三個狀態(tài)，即“豐收”，“平收”，“欠收”。記S

為“豐1收”狀態(tài)，S

為“平收”狀態(tài)，S

為“欠收”23狀態(tài)。表6-3給出了該地區(qū)1966-2005年期間農(nóng)業(yè)收成的狀態(tài)變化情況。年份

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

1974

1975狀態(tài)

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S1123213212年份

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985狀態(tài)

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S3123121331年份

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995狀態(tài)

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S3321132212年份

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005狀態(tài)

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S1321122312試計算：1、初始狀態(tài)概率。2、該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的一步和二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。3、2006-2010年可能出現(xiàn)的各種狀態(tài)的概率4、終極狀態(tài)的概率1、初始狀態(tài)概率估算上表中40個記錄，有15個處于狀態(tài)S

，141個處于狀態(tài)S

,11個處于狀態(tài)S32初始狀態(tài)概率為：（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)狀態(tài)下一步狀態(tài)S13S2S35當(dāng)S1725前狀S274態(tài)S342?

由上表，可以得到一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：?

二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：將2005年的農(nóng)業(yè)收成記為

，因為2005年是平收狀態(tài)，因此

，這是預(yù)測2006-2010年狀態(tài)概率的初始向量。若一步轉(zhuǎn)移概率具有穩(wěn)定性，那么k步轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)向量為，該地區(qū)農(nóng)業(yè)在2006年的收成狀態(tài)向量3也就是該地區(qū)農(nóng)業(yè)在2006年有53.8%的概率處于豐收狀態(tài)，15.4%的概率處于平收狀態(tài)，30.8%的概率處于欠收狀態(tài)。4、終極狀態(tài)概率預(yù)測。設(shè)終極狀態(tài)的概率為即，則即可求出馬爾可夫鏈在經(jīng)濟預(yù)測方面的應(yīng)用案例例4

公司A、B、C產(chǎn)品銷售額的市場占有率分別為50%，30%，20%。由于C公司實行了改善銷售與服務(wù)方針的經(jīng)營管理決策，使其產(chǎn)品銷售額逐期穩(wěn)定上升，而A公司卻下降。通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)三個公司間的顧客流動情況如表所示。其中產(chǎn)品銷售周期是季度。問題：按照目前的趨勢發(fā)展下去，A公司的產(chǎn)品銷售額或客戶轉(zhuǎn)移的影響將嚴(yán)重到何種程度？更全面的，三個公司的產(chǎn)品銷售額的占有率將如何變化？0周期

的

周期

的供應(yīng)公司1公司顧客數(shù)5000ABCABC3500

500

1000300

2400

30030002000100100

18001周期

的顧客數(shù)——3900

3000

310001周期

的

周期

的供應(yīng)公司公司顧客數(shù)5000ABCABC3500

500

1000300

2400

30030002000100100

18001周期

的顧客數(shù)——3900

3000

3100初始分布為：01周期

的

周期

的供應(yīng)公司公司顧客數(shù)5000ABCABC13500

500

1000300

2400

30030002000100100

1800——3900

3000

3100周期

的顧客數(shù)公司AABC3500/5000=0.7300/3000=0.1500/5000=0.12400/3000=0.81000/5000=0.2300/3000=0.1BC100/2000=0.05

100/2000=0.05

1800/2000=0.950未來各期的市場占有率：未來各期的市場占有率：未來各期的市場占有率：C——保銷政策。