高等數(shù)學(xué)之一階線性微分方程

高等數(shù)學(xué)之一階線性微分方程第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二一階線性微分方程的解法1.線性齊次方程(使用分離變量法)齊次方程的通解為第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二2.線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):

未知函數(shù)的變量代換.作變換第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二非齊次線性方程的通解相應(yīng)齊方程的通解等于與非齊次方程的一個(gè)特解之和即非齊通解=齊通解+非齊特解——線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，是很優(yōu)良的性質(zhì)。例1解第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二解方程解相應(yīng)齊方程解得令例2第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二代入非齊方程解得故非齊次方程的通解為第8頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二例3解方程解這是一個(gè)二階線性方程由于其中不含變量

y

若令化成一階線性方程其通解為即再積分即為原二階方程的通解第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二例4

如圖所示，平行與軸的動(dòng)直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.解兩邊求導(dǎo)得解此微分方程第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二所求曲線為第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二一階線性微分方程的通解也可寫成方程令即化為一階線性微分方程注第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二二、伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.解法:

需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二代入上式求出通解后，將代入即得第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二例5解第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二例6

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二解分離變量法得所求通解為第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二解代入原式分離變量法得所求通解為另解第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二

注

利用變量代換將一個(gè)微分方程化為變量可分離的方程或化為已知其求解步驟的方程是求解微分方程的一種最常用的思想方法如

齊次型、可化為齊次型、一階線性方程、Bernoulli方程等都是通過變量代換來求解方程的。將變換為也是經(jīng)常可以考慮的第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二三、小結(jié)1.齊次方程2.線性非齊次方程3.伯努利方程思考題求微分方程的通解.第20頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二思考題解答第21頁，