時(shí)變電磁場(chǎng)例題

時(shí)變電磁場(chǎng)例題第1頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例

證明通過(guò)任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流總量為零。解：根據(jù)麥克斯韋方程

可知，通過(guò)任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流為

第2頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例

在坐標(biāo)原點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)，傳導(dǎo)電流密度為試求：(1)通過(guò)半徑r=1mm的球面的電流值；(2)在r=1mm的球面上電荷密度的增加率；(3)在r=1mm的球內(nèi)總電荷的增加率。

第3頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：(1)

(2)因?yàn)?/p>

由電流連續(xù)性方程式，得

(3)在r=1mm的球內(nèi)總電荷的增加率：

第4頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例在無(wú)源的自由空間中，已知磁場(chǎng)強(qiáng)度

求位移電流密度Jd。解：無(wú)源的自由空間中J=0,第5頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例

證明均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部，不會(huì)有永久的自由電荷分布。解：將J=σE代入電流連續(xù)性方程，考慮到媒質(zhì)均勻，有

由于第6頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例

已知在無(wú)源的自由空間中，

其中E0、β為常數(shù)，求H。解：所謂無(wú)源，就是所研究區(qū)域內(nèi)沒(méi)有場(chǎng)源電流和電荷，即J=0,ρ=0。

第7頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由上式可以寫出：

第8頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例設(shè)z=0的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，z<0一側(cè)為理想導(dǎo)體，分界面處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為試求理想導(dǎo)體表面上的電流分布、電荷分布以及分界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：第9頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六假設(shè)t=0時(shí)，ρS=0，由邊界條件n·D=ρS以及n的方向可得第10頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例

證明在無(wú)初值的時(shí)變場(chǎng)條件下，法向分量的邊界條件已含于切向分量的邊界條件之中，即只有兩個(gè)切向分量的邊界條件是獨(dú)立的。因此，在解電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題中只需代入兩個(gè)切向分量的邊界條件。解：在分界面兩側(cè)的媒質(zhì)中，

將矢性微分算符和場(chǎng)矢量都分解為切向分量和法向分量，即令第11頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六于是有

由上式可見：

對(duì)于媒質(zhì)1和媒質(zhì)2有

第12頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上面兩式相減得

代入切向分量的邊界條件：

有

第13頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六從而有

如果t=0時(shí)的初值B1、B2都為零，那么C=0。故

同理，將式

中的場(chǎng)量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展開取其中的法向分量，有第14頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六此式對(duì)分界面兩側(cè)的媒質(zhì)區(qū)域都成立，故有

將兩式相減并用

代入，得

第15頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六再將切向分量的邊界條件

第16頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例

設(shè)區(qū)域Ⅰ(z<0)的媒質(zhì)參數(shù)εr1=1,μr1=1,σ1=0；區(qū)域Ⅱ(z>0)的媒質(zhì)參數(shù)εr2=6,μr2=20,σ2=0。區(qū)域Ⅰ中的電場(chǎng)強(qiáng)度為

區(qū)域Ⅱ中的電場(chǎng)強(qiáng)度為

試求：(1)常數(shù)A；(2)磁場(chǎng)強(qiáng)度H1和H2；(3)證明在z=0處H1和H2滿足邊界條件。第17頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：(1)在無(wú)耗媒質(zhì)的分界面z=0處，有

由于E1和E2恰好為切向電場(chǎng)，

第18頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(2)根據(jù)麥克斯韋方程

有所以

第19頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六同理，可得

(3)將z=0代入(2)中得

第20頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例試求一段半徑為b，電導(dǎo)率為σ，載有直流電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線表面的坡印廷矢量，并驗(yàn)證坡印廷定理。解：如圖一段長(zhǎng)度為l的長(zhǎng)直導(dǎo)線，其軸線與圓柱坐標(biāo)系的z軸重合，直流電流將均勻分布在導(dǎo)線的橫截面上，于是有坡印廷定理驗(yàn)證

第21頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在導(dǎo)線表面，

因此，導(dǎo)線表面的坡印廷矢量

其方向處處指向?qū)Ь€的表面。將坡印廷矢量沿導(dǎo)線段表面積分，有

第22頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例

一同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間為空氣，內(nèi)、外導(dǎo)體均為理想導(dǎo)體，載有直流電流I，內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為U。求同軸線的傳輸功率和能流密度矢量。解：分別根據(jù)高斯定理和安培環(huán)路定律，可以求出同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)：第23頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上式說(shuō)明電磁能量沿z軸方向流動(dòng)，由電源向負(fù)載傳輸。通過(guò)同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體間任一橫截面的功率為這一結(jié)果與電路理論中熟知的結(jié)果一致。

第24頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例將下列場(chǎng)矢量的復(fù)數(shù)形式寫為瞬時(shí)值形式。

第25頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例已知無(wú)源(ρ=0,J=0)的自由空間中，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量式中k、E0為常數(shù)。求：磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量；坡印廷矢量的瞬時(shí)值；平均坡印廷矢量。

第26頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：(1)

由

得

(2)電場(chǎng)、磁場(chǎng)的瞬時(shí)值為

第27頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六所以，坡印廷矢量的瞬時(shí)值為

(3)平均坡印廷矢量：

第28頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例在無(wú)源區(qū)求均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度滿足的波動(dòng)方程。解：考慮到各向同性、線性、均勻的導(dǎo)電媒質(zhì)和無(wú)源區(qū)域，由麥克斯韋方程有

第29頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六所以，電場(chǎng)強(qiáng)度E滿足的波動(dòng)方程為

同理，可得磁場(chǎng)強(qiáng)度滿足的波動(dòng)方程為

第30頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例已知時(shí)變電磁場(chǎng)中矢量位，其中Am、k是常數(shù)，求電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度和坡印廷矢量。解：

如果假設(shè)過(guò)去某一時(shí)刻，場(chǎng)還沒(méi)有建立，則C=0。

第31頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六坡印廷矢量的瞬時(shí)值為

第32頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例已知無(wú)源(ρ=0,J=0)的自由空間中，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量式中k、E0為常數(shù)。求：磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量；坡印廷矢量的瞬時(shí)值；平均坡印廷矢量。

第33頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：(1)

由

得

(2)電場(chǎng)、磁場(chǎng)的瞬時(shí)值為

第34頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六所以，坡印廷矢量的瞬時(shí)值為

(3)平均坡印廷矢量：

第35頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例：已知無(wú)源的自由空間中，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為求：(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度；（2）瞬時(shí)坡印廷矢量；（3）平均坡印廷矢量解：(1)第36頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(2)(3)第37頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例試求一段半徑為b，電導(dǎo)率為σ，載有直流電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線表面的坡印廷矢量，并驗(yàn)證坡印廷定理。坡印廷定理驗(yàn)證

解：如圖一段長(zhǎng)度為l的長(zhǎng)直導(dǎo)線，其軸線與圓柱坐標(biāo)系的z軸重合，直流電流將均勻分布在導(dǎo)線的橫截面上，于是有第38頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在導(dǎo)線表面，

因此，導(dǎo)線表面的坡印廷矢量

其方向處處指向?qū)Ь€的表面。將坡印廷矢量沿導(dǎo)線段表面積分，有

第39頁(yè)，共41頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例一同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間為空氣，內(nèi)、外導(dǎo)體均為理想導(dǎo)體，載有直流電流I，內(nèi)、外