蘇教版必修五數(shù)列教案

第一課時：§2.1數(shù)列的概念與簡單表不法

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公

式寫出數(shù)列的任意一項；對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式；了解數(shù)列的遞推公

式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.

過程與方法：通過對一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概

括能力.

情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)重點

數(shù)列及其有關(guān)概念，通項公式及其應(yīng)用

教學(xué)難點

根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式

教學(xué)過程

一.情境引入：

問題1：一牧羊人趕著一群羊通過36個關(guān)口，每過一個關(guān)口，守關(guān)人將拿走當(dāng)時羊的一半，然后

退還一只，過完這些關(guān)口后，牧羊人只乘2只羊，則原來牧羊人趕了多少只羊？

本題蘊含什么數(shù)學(xué)知識，你能解決這個問題嗎？

問題2：考察下列的數(shù)據(jù)，看看有什么共同特點？

(1)20,22,24,26,28,…。________________________

(2)1740,1823,1906,1989,2072,________________

(3)1,2,4,&16,________________

(4)1,-1,1,-1,1,-1,???o_________________________

(5)1,1,2,3,5,8,…o_________________________

(6)從1984年到2004年，我國共參加了6次奧運會，各次參賽獲得的金牌總數(shù)依次為15,

5,16,16,28,32?

二.講授新課

知識點1?數(shù)列的定義：(了解)

(1)______________________________叫做數(shù)列.

注意：①數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么

它們就是不同的數(shù)列；

②定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)

(2)數(shù)列的項：_______________________________________________________

(3).(了解)數(shù)列的般形式：

下面我們再來看這些數(shù)列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應(yīng)關(guān)系？這一關(guān)系可否用一個公

式表示？

知識點2.(重點)數(shù)列的通項公式：

寫出問題2中數(shù)列的通項公式

注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式；⑵一個數(shù)列的通項公式有時

是不唯一的，⑶數(shù)列通項公式的作用：①求數(shù)列中任意一項；②檢驗?zāi)硵?shù)是否是

該數(shù)列中的一項.

知識點3.(了解)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系:__________________________________________________________

知識點4.(了解)數(shù)列的分類：

1)根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列；

2)根據(jù)數(shù)列項的大小分：

遞增數(shù)列；遞減數(shù)列；常數(shù)數(shù)列；擺動數(shù)列。(數(shù)學(xué)符號)

觀察問題2中的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，擺動數(shù)列？

三。范例講解

例1(見課本第30頁例2)已知數(shù)列｛a”｝的通項公式，寫出這個數(shù)列的前5項，并作出它

YI(—iy2

的圖像：(1)^;(2)色=*-

”+12

知識點5：(重點)數(shù)列的表示方法：列表法；圖像法；

解析式法(通項公式或遞推公式)

(了解)遞推公式：____________________________________________________

例2.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：

,、4^6

(1)3,5,9,17,33,……；(2)1,-,2,-,……；

(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,……

(5)2,-6,12,—20,30,-42,...............................(6)3,33,333.3333,.......

例3.根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式

(1)孔=0,j=；：+(2n—l)(nGN)；

込

⑵心=1,+2(nSN)；

1=3,=3%—2(nWN).

例4.已知數(shù)列｛a｝的通項公式為a=n-+加+1,

nn

（1）若2=-17,則19是否是數(shù)列｛a”｝中的項？并求此時a的最小值;

n

（2）若｛a”｝是遞增數(shù)列，求實數(shù)2的取值范圍。

即時總結(jié):

四.課堂練習(xí)

課本P31［練習(xí)］3、4、5

IV.課時小結(jié)

木節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：數(shù)列及有關(guān)定義，會根據(jù)通項公式求其任意一項，并會根據(jù)數(shù)列的前n項

求一些簡單數(shù)列的通項公式。通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相

鄰兩項（或n項）之間的關(guān)系.

五.課后作業(yè)

課本P32習(xí)題2.1第16.

授后記

3x

拓展：已知函數(shù)/（%）=--------，數(shù)列比｝的通項由x=>2,neN*）確定.

n

兀+3

⑴判斷數(shù)列｛丄｝（"丄2,neM）中的項減去它的前一項是不是常數(shù)；

%

（2）當(dāng)X］=*時,求兀00的值.

§2.2等差數(shù)列

第二課：§2.2.1等差數(shù)列的概念

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：了解公差的概念，明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差數(shù)

列；正確認(rèn)識使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、

項數(shù)、指定的項

過程與方法：經(jīng)歷等差數(shù)列的簡單產(chǎn)生過程和應(yīng)用等差數(shù)列的基本知識解決問題的過程。

情感態(tài)度與價值觀：通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求

新知的創(chuàng)新意識。

教學(xué)重點:等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式。

教學(xué)難點:等差數(shù)列的性質(zhì)

教學(xué)過程

一.課題導(dǎo)入

［創(chuàng)設(shè)情境］

上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義及給出數(shù)列和表示的數(shù)列的幾種方法一列舉法、通項公式、遞推公式、

圖象法?這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點。下面我們看這樣一些例To

①0,5,10,15,20,25,…

②48,53,58,63

③18,15.5,13,10.5,8,5.5

④10072,10144,10216,10288,10366

觀察：請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下，看看以上四個數(shù)列有什么共同特征？

二.講授新課

知識點1.等差數(shù)列的概念_________________________________________________________________

注意(1)公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；

(2).對于數(shù)列｛入｝,若入一J=d(與n無關(guān)的數(shù)或字母)，心2,nEN*,則

此數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差。

拓展：d〉0o___________________;d=0o__________________;d<0o__________________.

思考：數(shù)列①、②、③、④的通項公式存在嗎？如果存在，分別是什么？

知識點2.等差數(shù)列的通項公式：___________________________________________

拓展2:公差d=________=___________=_________________

帶領(lǐng)學(xué)生看課本第33、34頁的例1、2、3

思考：判斷等差數(shù)列的方法有哪些？

知識點3：等差中項的概念：

三、范例講解

例]。⑴求等差數(shù)列8,5,2…的第20項

(2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,13…的項？如果是，是第幾項？

閱讀課本第37頁例3.

思考：如果-個數(shù)列｛%｝的通項公式-其中2、：是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首

項與公差分別是什么？

例2.已知正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，且公差不為零，

求證由它們的倒數(shù)所組成的數(shù)列丄丄丄不可能成等差數(shù)列。

abc

例3.已知｛%｝是等差數(shù)列，a=x-2,a=x,a=2兀+1,求該數(shù)列的通項公式。

x23

練習(xí)一：課本P。35第1、2、3和課本37第1、2、5、6

練習(xí)二：1.下列數(shù)列是等差數(shù)列的是___________

]35

(1)—丄一2—，……；(2)4,2,0,-2,-4,……:(3)1,72,73,2,-

2''2''2

2.求出下列等差數(shù)列中的未知數(shù)；

(l)a,b,-10,c,-20;(2)x,lg3,lg6,y.

3.在等差數(shù)列中｛Q」中

(1)已知。7=&〃=——,求％;(2)已知°4=4,。8=—4,求

(3)已知0]+06=12衛(wèi)4=7,求。9。

4.(1)7+3A/5,7-3A/5的等差中項為________________

(2)(〃?+”)2,(加一"J?的等差中項為________________

(3)｛｝t?5=4,a=16,a=__________

等差數(shù)列a”中2l則13

思考：在等差數(shù)列中｛a”｝中，當(dāng)m+n=p+q(m,n,p,q&N*)時是否一定有a+a=a+a。你還發(fā)

nmpq

現(xiàn)了其它的一些規(guī)律嗎?

四、.課時小結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式：°?一7=d,(n三2,nGN*).其次，

要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式：■?=?!+(?-如，并掌握其基本應(yīng)用.最后，還要注意一重要關(guān)系式=

和八=pn+q(p、q是常數(shù))的理

解與應(yīng)用.

授后記

第3課時§2.2.2等差數(shù)列

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：明確等差中項的概念；進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)公式，通過通項公式與圖

像認(rèn)識等差數(shù)列的性質(zhì)，能用圖像與通項公式的關(guān)系解決某些問題，能運用性質(zhì)解題

過程與方法：通過等差數(shù)列的圖像的應(yīng)用，進一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過等差數(shù)列通項公式

的運用，滲透方程思想。

情感態(tài)度與價值觀：通過對等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特殊

與一般的辯證唯物主義觀點。

教學(xué)重點：等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用

教學(xué)難點：靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題

教學(xué)過程

一、課題導(dǎo)入

1、回憶一下上節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：

(1)等差數(shù)列的概念

(2)、等差數(shù)列的通項公式：__________________________

(3)、有幾種方法可以計算公差d

①_________________,②___________________,③____________________

(4)問題：如果在二與占中間插入一個數(shù)A,使二，A,占成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿

足什么條件？________________________________________

2、已知數(shù)列嚴(yán)是等差數(shù)列

(1)a+cz=a+tz是否成立？據(jù)此你能得到什么結(jié)論？

3l9517

(2)a+1?||=2a是否成立？你又能得到什么結(jié)論？

sg50

結(jié)論：(性質(zhì))_____________________________________________

(3)a,a,a,a-,a,.............,G_|,......也成等差數(shù)列嗎？如是，公差是多少？

l35!92H

(4)a,a,a,a,a,.......,a,....也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？

246sl02ll

二、講授新課。

1、等差數(shù)列的性質(zhì)：(])__________________________________________________；

(2)____________________________________；(3)____________________________________；

(4)_________________________________；(5)____________________________________；

2、等差中項：________________________________________________

3、判斷等差數(shù)列的方法：(1)_______________________________；

(2)____________________________________；(3)____________________________________；

三、例題分析:

例1.⑴在等差數(shù)列*」中，已知引=列，則公差d=—,a=_______________________________________

n

(2)在等差數(shù)列｛%)中，=°%=，則勺=_________________________

(3)<15，172x~8x+m=0=13,tz=___________

在等差數(shù)列*>中，。是方程—的根，若14

(4)在兩個數(shù)a,b之間分別插入n個數(shù)和m個數(shù)，構(gòu)成兩個等差數(shù)列｛%｝,｛$｝,則

bu~bio

(5)______________________________________________________________在等差數(shù)列

X*〉中，a+tZ],+a+tz+a=900,則色+知二_________________________________；

l0i213l4

例2.已知5個數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為25,它們的平方和為165,求這5個數(shù)。

反思總結(jié)：_______________________________________________________________

練習(xí)lo(1)三角形的三個角成等差數(shù)列，則中間這個角為_____________________________

(2)已知b是a,c的等差中項，且lg(a+l),lg(b-l),lg(c-l)成等差數(shù)列，且a+b+c=15,求a,b,c.

例3.已知/(x)=,數(shù)列滿足?!=-,a=f(a)(neN*)

3x+ln+ln3

(1)求證｛丄｝為等差數(shù)列；

a”

(2)求數(shù)列的通項公式a”。

練習(xí)2.在數(shù)列中a】=l,a”+i=2a”+2n。設(shè)b”=刁許，求證：數(shù)列少”｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列*?｝的

通項公式色

例4.數(shù)列的通項公式a”=2n+l,數(shù)列｛b”｝的通項公式b=5n-3,由這兩個數(shù)列的公共項組成的數(shù)列為

n

｛c”｝,試求數(shù)列｛＜?”｝的通項公式。

練習(xí)3：等差數(shù)列X〉中，a=q,a=p,則a=______________________

pqp+q

四.課時小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容:

1.成等差數(shù)列

2.在等差數(shù)列中，m+n=p+q=(m,n,p,q￡N)

V.課后作業(yè)

同步導(dǎo)學(xué)對應(yīng)之練習(xí)

授后記

探究：設(shè)s=a,+a+6Z+.............+a,則s”叫數(shù)列的前n項和，

n23n

(1)若S=n2+n,試證：數(shù)列｛a”｝是等差數(shù)列，并求出山〉的通項公式;

n

(2)若S?=n2+zi+l,判斷數(shù)列｛a”｝是否是等差數(shù)列？

第四課時：§2.3?1等差數(shù)列的前n項和

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路；會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與

前n項和有關(guān)的問題

過程與方法：通過公式的推導(dǎo)和公式的運用，使學(xué)生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初

步形成認(rèn)識問題，解決問題的一般思路和方法；通過公式推導(dǎo)的過程教學(xué)，對學(xué)生進彳丁思維靈活性與廣

闊性的訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的思維水平.

情感態(tài)度與價值觀：通過公式的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對稱美。

教學(xué)重點：等差數(shù)列n項和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)

教學(xué)難點：靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關(guān)問題

教學(xué)過程

一.課題導(dǎo)入

“小故事”：

高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，高斯十歲時，有一次老師出了一道題目，老師說：“現(xiàn)在給大家出

道題目：

1+2+…100=?”

過了兩分鐘,正當(dāng)大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說:

“1+2+3+…+100=5050。

教師問：“你是如何算出答案的？

高斯回答說：因為1+100=101；

2+99=101；???50+51=101,所以

101X50=5050”

這個故事告訴我們：

(1)作為數(shù)學(xué)王了的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些

規(guī)律性的東西。

(2)該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項和的一種很重要的思想方法，這就是下面我們要介紹的“倒

序相加”法。

二.講授新課

1.等差數(shù)列的前':項和公式1：

推導(dǎo)：

小結(jié)：

2.等差數(shù)列的前項和公式2：

小結(jié):

發(fā)現(xiàn):

三、范例講解

例1.(見課本第40頁例1、2)在等差數(shù)列*｝中

(1)已知Q]=3,。50=1°1，求S50；

(2)已知a=4,6?=—,求Si。；

3

1315

(3)LA知d=ci—~,S―%“°

nn

練習(xí)1:在等差數(shù)列g(shù)｝中

(1)_____________________________若+%2=24,貝I」S14=

(2)若％+°3++。10=2&則Sg二_____________；

(3)_______________若第1項到第10項的和為310,第11項到第20項的和為910,則第21項到第

30項的和為____________o

2.n2=84,S=460,S

例等差數(shù)列的前項和為S”，若幾20求28。

練習(xí)2：(1)已知等差數(shù)列匕》｝的前4項和為25,后4項和為63,前n項和為286,求項

n

數(shù)o

（2）等差數(shù)列?-｝的前n項和為S,S=30,S=100,求它的前3m項和。

nm2m

（3）等差數(shù)列的前n項和為S”,若S”=q,S=p,求S。

qP+q

總結(jié)規(guī)律：1.

2.

完成上節(jié)課的探究：

總結(jié)：由昇的定義可知，當(dāng)n=l時，3=孔；當(dāng)心2時，

即-1^一尺1_1（"=2）

四.課堂練習(xí)

課本P41練習(xí)1、2、3、4

五.課時小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.等差數(shù)列的前項和公式1：等差數(shù)列的前若項和公式2：

2.一些規(guī)律。

六.課后作業(yè)

課本P44習(xí)題3、4、5、6題

授后記授后記：

1.通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首

項與末項的和這個規(guī)律；由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識解決一些簡單的問題，進行等差數(shù)列通項公

式應(yīng)用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對等差數(shù)列相應(yīng)問題的研究。

2?通過公式的推導(dǎo)和公式的運用，使學(xué)生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成

認(rèn)識問題，解決問題的一般思路和方法；通過公式推導(dǎo)的過程教學(xué)，對學(xué)生進行思維靈活性與廣闊性的訓(xùn)

練，發(fā)展學(xué)生的思維水平.

3.在講解上一節(jié)的探究時，由于時間倉促，處理的不到位，而且本例與

第五課時：§2.3.2等差數(shù)列的前n項和

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前"項和公式；了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們

解決一些相關(guān)問題；會利用等差數(shù)列通項公式與前，:項和的公式研究屛的最值；

過程與方法：經(jīng)歷公式應(yīng)用的過程；

情感態(tài)度與價值觀：通過有關(guān)內(nèi)容在實際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活,又服務(wù)于生活的

實用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并數(shù)學(xué)地解決問題。

教學(xué)重點:熟練掌握等差數(shù)列的求和公式

教學(xué)難點:靈活應(yīng)用求和公式解決問題

教學(xué)過程

一.課題導(dǎo)入

首先回憶一下上一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：

1.__________________________________________等差數(shù)列的前1■-項和公式1：;

2?等差數(shù)列的前':項和公式2：______________________；

3.幾個重要結(jié)論：

①__________________；②__________________________；③___________________O

練習(xí)：1.等差數(shù)列*」的前n項和為S”，若32S=n2,則a”=___________________；

n

若S”=AZ'+1,貝ija”=_________；

2.____等差數(shù)列匕」前12項和為354,奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為32：27,則公差d=；

3o等差數(shù)列5｝的前n項和為S”,若<0,S=S,則該數(shù)列的前多少項和最?。?/p>

ai912

4.等差數(shù)列的前n項和為S”，等差數(shù)列數(shù)列｛b”｝前n項和為T,若

n

T”3“+2b

5

探究：如果一個數(shù)列SI?的前n項和為&=種』*滬+『，其中p、q、r為常數(shù)，且

P*°,那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是多少？它的前n項和有最值嗎？若有

公差，首項滿足什么條件？

二.講授新課

與等差數(shù)列前項和有關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)：

(1)

(2)

(3)

(4)

⑸

三、典例回顧：

例1.已知等差數(shù)列｛a”｝,且滿足a”=40-4",

(1)前多少項的和最大？最大值為多少？

(2)數(shù)列｛|a”|｝的前n項和為7；,求珀兀。

例2：—列火車自A城駛向B城，沿途有n個車站(包括起點站A和終點站B),車上有一節(jié)郵政車廂，每

?？恳徽?，便要卸下前面?zhèn)€站發(fā)往該站的郵袋各一個，同時，又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個

1列車從第K站出發(fā)時郵政車廂內(nèi)共有郵袋多少個？

2從第幾站出發(fā)時車廂內(nèi)的郵袋數(shù)最多？最多是多少？

例3：教育儲蓄是一種零存整取定期儲蓄存款，他享受整存整取利率，利息免稅，教育儲蓄的對象為在校

小學(xué)生四年級（含四年級）以上的學(xué)生，假設(shè)另存整齊三年期，教育儲蓄的月利率為2.l%o.

1欲在三年后，一次支取，本息合計2萬元每月大約存入多少元？

2零存整取三年期教育儲蓄每月至多存入多少元？這樣，三年后本息合計多少元？（精確到一元）（教育儲

蓄的存款總額不超過兩萬元）

探究題：

k

例4.已知等差數(shù)列｛a｝,公差為d,且b=—（k二1,2,…）。

nk

k

（1）求證數(shù)列｛仇｝是等差數(shù)列；

若勺=弓求認(rèn)°

(2)

久+T—+仇32

例5.數(shù)列｛a”｝中，a〕=2,且滿足a*—2a”+i+a”=0（nwN*）.

（1）求數(shù)列｛a”｝的通項公式；

（2）設(shè)S=|a|+|a|+---+|a|,求S”；

n12n

（3）設(shè)——-——=勺+人+???+$（“€”*），是否存在整數(shù)m,使得對

"（12-a”）~

于任意（"wAQ,均有T>—成立？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理山。

n

五?課堂練習(xí)。課本第43頁練習(xí)。

六.課時小結(jié)

1?前n項和為S”,通項公式是a=｛

n

2.差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法：

(1)當(dāng)氓>0,d<0,前n項和有最大值-可由&三0,且j￡0,求得n的值。當(dāng)處<0,d>0,前n項和有最小值，可

由八W0,且j$0,求得n的值。

V.課后作業(yè)

課本P44習(xí)題的7、8、9、10、12題

授后記

第六課時：§2.4?1等比數(shù)列

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：掌握等比數(shù)列的定義；理解等比數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)；

過程與方法：通過實例，理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)，能在具體的問題

情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，提高數(shù)學(xué)建模能力；體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

情感態(tài)度與價值觀：充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的模型，體會數(shù)學(xué)是來源于現(xiàn)實生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實生

活的，數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥無味的，提高學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)重點：等比數(shù)列的定義及通項公式

教學(xué)難點：靈活應(yīng)用定義式及通項公式解決相關(guān)問題

教學(xué)過程

一.課題導(dǎo)入：復(fù)習(xí)：等差數(shù)列的定

義：％—】=d,(n$2,neN+)

等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，在現(xiàn)實生活中，除了等差數(shù)列，我們還會遇到下面一類特殊的數(shù)

列。

①1,2,4,8,16,…

1丄］丄

②1,」，二，§,16,

@1,20,,2C?,,???

④10000x1-0198,10000X1.019GP,10000x1.019^,10000x1.019^,

10000x1.019^,……

觀察：請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下，看看以上①、②、③、④四個數(shù)列有什么共同特征？共同特點：

—.講授新課

1.等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這

個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表

%

示(qHO),即：=q(qHO)

說明：1°“從第二項起”與“前一項”之比為常數(shù)q

%】

｛%｝成等比數(shù)列三■■二q（處N*,獰0）2°隱含：任一項％■。因#°

3°q=l時，｛aj為常數(shù)。

探求：等比數(shù)列的通項公式：

2.等比數(shù)列的通項公式1:a-=al"嚴(yán)^

3.等比數(shù)列的通項公式2:a-=a-'嚴(yán)血WE

4.既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列

探究：課本P48頁的例3—等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：

等比數(shù)列｛%｝的通項公式％=叫T專，它的圖象是分布在曲線q（q〉0）

上的一些孤立的點。

當(dāng)_____時，等比數(shù)列｛氓｝是遞增數(shù)列；當(dāng)_________,等比數(shù)列｛處｝是遞增數(shù)列；

當(dāng)_____時，等比數(shù)列｛氓｝是遞減數(shù)列；當(dāng)_________吋，等比數(shù)列｛處｝是遞減數(shù)列；

當(dāng)_____吋，等比數(shù)列｛*■｝是擺動數(shù)列；當(dāng)____時，等比數(shù)列｛%｝是常數(shù)列。

思考：常數(shù)列匕｝一定是等比數(shù)列嗎？一定是等差數(shù)列嗎？

三、范例講解

題型一：判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列

練習(xí)1。數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，公比為q

（1）｛aJ,｛a^｝,｛a^｝—；

數(shù)列2232是否為等比數(shù)列，若是，公比分別為

（2）數(shù)列｛log/"｝（b）0,且b工1）是—數(shù)列，公差（或公比）為___________________；

思考：（1）數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛b"”｝（b）0,且b工1）是否為等比數(shù)列？

（2）若數(shù)列｛%｝中對于任意的正整數(shù)都有a\=aa,則數(shù)列｛%｝是否是等比

+1nn+2

數(shù)列？

總結(jié)：1?;

2.若a,G,b成等比數(shù)列，則稱G為a,b的等比中項，且G~=ab(或

G=±\[ab)

例].已知a,b,c,d成等比數(shù)列，a+b,b+c,c+d均不為零，求證：a+b,b+c,c+d成等比數(shù)列。

題型二、等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列的通項公式。

例2.已知數(shù)列｛色｝為等比數(shù)列。

(1)若偽=27,q=-3,求a;(2)^a-a=15,a-a=6,求坷,g;

75x42

⑶若他+兔=36,?+嗎=18,%=*，求n；

(4)若Q]+。2+。3=7,%。2。3=&求。比。

例3.一個等比數(shù)列的前二項依次是a,2a+2,3a+3,則-13丄是否為這個數(shù)列中的某一項？若2

是，是第幾項？

思考：你能仿照等差數(shù)列說出等比數(shù)列的性質(zhì)嗎?

四.課時小結(jié)

本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容：等比數(shù)列的概念和等比數(shù)列的通項公式.

五、課后作業(yè)

課本P49習(xí)題3、4、5、7題.

授后記

第七課時：§2.4.2等比數(shù)列

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項公式；深刻理解等比中項概念；熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，

并系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法

過程與方法：通過自主探究、合作交流獲得對等比數(shù)列的性質(zhì)的認(rèn)識。

情感態(tài)度與價值觀：充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的模型，體會數(shù)學(xué)是來源于現(xiàn)實生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實生活

的，數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥無味的，提高學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)重點:等比中項的理解與應(yīng)用

教學(xué)難點:靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問題

教學(xué)過程

一、課題導(dǎo)入

1._________________________________________判斷等比數(shù)列的方法：(1)定義法:______;

(2)等比中項法：_____________________________________；

(3)通項公式法：_________________________________o

2、若數(shù)列｛a”｝、｛b”｝是等比數(shù)列，首項分別是坷，0,公比分別是q,Qo則

(1)數(shù)列｛丄｝是否是等比數(shù)列？_____,若是，公比是___________;

a?

(2)等比數(shù)列下標(biāo)成等差數(shù)列的項構(gòu)成的數(shù)列是否是等比數(shù)列？___________;

(3)數(shù)列｛ab｝,｛—｝是否是等比數(shù)列?—；若是，公比分別是—，_______________；

nn

拓展探究：在等比數(shù)列中，m+n=p+q,亠宀“，竝有什么關(guān)系呢？

二、講授新課。

1.等比數(shù)列的通項公式a”==_______;公比q=_____=__=______;

2.等比數(shù)列的性質(zhì)：________________________________;

3.__________________________________________________三個數(shù)成等比數(shù)列通常設(shè)這三個

數(shù)為__________________________________________________________；

但四個數(shù)成等比數(shù)列不能輕易地設(shè)為^,-,aq,aq\為什么？

qq

三、例題分析：

例1.⑴、在等比數(shù)列S｝,已知叫=，，叫則《?=_;

⑵、在等比數(shù)列直｝中，毎=3,

logj6'+log3logs*3+logi4+logfc5+log*6+logs*7=_________；

則幻+333

（3）、在等比數(shù)列中，眄=-2,as=54，則嘰_____________________；

（4）、在正項等比數(shù)列中，aa+2aa+aa=25,則a+a=___________；

24354635

（5）_______________________________________________、在等比數(shù)列4）中，b=2,b=&則

420

切=；

（6）___________________________________________________________、在等差數(shù)列｛%｝

a,a,a

中，且36l0成等比數(shù)列，則公比為_____________________________________,若公差大于零,

則aa,+a

i+6=

他+冬+a7

?I3旦

例2.已知無窮數(shù)列1°'2沖……10?……，1

求證：（1）這個數(shù)列成等比數(shù)列，

丄

（2）這個數(shù)列中的任一項是它后面第五項的,

（3）這個數(shù)列的任意兩項的積仍在這個數(shù)列中。

例3。已知四個數(shù)，前三個數(shù)成等差，后三個數(shù)成等比（公比大于零），中間兩個數(shù)為之積為16,前后兩

個數(shù)之積為-128,求這四個數(shù)。

例4.一個等差數(shù)列｛a”｝（公差不等于零）中的部分項構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列｛%,｝,已知k=2,k=

x2

4,心=12o求數(shù)列伙”｝的通項公式;

思考：你能求出［k］的前n項和嗎？

n

練習(xí)：1.已知勺=2,點(a”,a”+J在函數(shù)/(x)=x2+2x的圖象上,

(1)證明數(shù)列｛lg(l+a”)｝是等比數(shù)列；

(2)7；=(l+a)(l+a)---(l+a),7；,｛｝

設(shè)12n求及數(shù)列a”的通項公式

2.已知數(shù)列｛a”｝,flj=2,設(shè)該數(shù)列的前n項和為s”,且a=S+2(neN*),

n+1n

(1)求證：數(shù)列｛a”｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)仇=丄log2(a?a”)，求數(shù)列?J的通項公式；及前n項和7；

n

你能求出S”嗎？

五.課時小結(jié)

1、若m+n=p+q,°a~af%

2、若&是項數(shù)相同的等比數(shù)列，則匕?"、｛$｝也是等比數(shù)列

六.課后作業(yè)同步導(dǎo)學(xué)授后記

第八課時：§2.5.1等比數(shù)列的前n項和

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路；會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)等比

數(shù)列的一些簡單問題。會用等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的￡'%孔島°屮知

道三個數(shù)求另外兩個數(shù)的.些簡單問題；提高分析、解決問題能力

過程與方法：經(jīng)歷等比數(shù)列前n項和的推導(dǎo)與靈活應(yīng)用，總結(jié)數(shù)列的求和方法，并能在具體的問題情境中

發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型、解決求和問題。

情感態(tài)度與價值觀：在應(yīng)用數(shù)列知識解決問題的過程中，要勇于探索，積極進取，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和刻

苦求是的精神。

教學(xué)重點：等比數(shù)列的前n項和公式推導(dǎo)

教學(xué)難點：靈活應(yīng)用公式解決有關(guān)問題

教學(xué)過程

一.課題導(dǎo)入

［創(chuàng)設(shè)情境］宰相的麥子：相傳古印度宰相達(dá)依爾，是國際象棋的發(fā)明者。有一次，國王因為他的貢獻(xiàn)要

獎勵他，問他想要什么。達(dá)依爾說：“只要在國際象棋棋盤上（共64格）擺上這么些麥了就行了：第一格

一粒，第二格兩粒，，后面一格的麥了總是前一格麥了數(shù)的兩倍，擺滿整個棋盤，我就感恩不盡了?！眹?/p>

王一想，這還不容易，剛想答應(yīng)，如果你這時在國王旁邊站著，你會不會勸國王別答應(yīng)，為什么？

［分析問題］:如果把各格所放的麥粒數(shù)看成是一個數(shù)列，我們可以得到一個等比數(shù)列，它的首項是1,公

比是2,求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒數(shù)總合就是求這個等比數(shù)列的前64項的和。

下面我們先來推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式。

公式的推導(dǎo)方法一：

公式的推導(dǎo)方法二:

公式的推導(dǎo)方法二:

二.講授新課

1、等比數(shù)列的前n項和公式:

［解決問題］宰相的麥了的問題

2、等比數(shù)列前n項和的一些性質(zhì)。

(1)連續(xù)m項和(即______________________________)仍組成等比數(shù)列。

注意點：_____________________________________________;

(2)、項數(shù)為偶數(shù)時，________________________；

3、等比數(shù)列前n項和與函數(shù)的關(guān)系：__________________________o

三、例題講解

例1?在等比數(shù)列｛色｝中，

(1)已知％=—4,g=g,求Si。；(2)已知Q］=1,%=243,g=3,求n和S〃；7

63

(3)已知S~，求％；(4)已知S=3a,求q。

333

例2.設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前':項之和為80,前知項之和為6560,且前若項中數(shù)值最大的項為

54,求此數(shù)列。

例3.等比數(shù)列前n項,前2n項,前3n項的和分別是Sn,S2n,S3n,

求證：氏+si=s.cs—)

例4。已知等比數(shù)列｛Q」中，a=sinor+cosa,a=l+sin2a.

23

13

(1)問：2sin2^-—cos4^+—是數(shù)列｛色｝的第幾項？

(2)若tan號=2,求數(shù)列｛a”｝的前n項和。

練習(xí)：1.已知數(shù)列｛an｝中,色=-2,S”+i=a”,求an,Sn

2.已知數(shù)列｛a”｝中,=1,?=2,且%=(l+q)a-qa_(n>2,neN*,q0).

2nni

(1)設(shè)b”=a”+i-a”(“eN*),證明：｛%｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(3)若色是NS的等差中項，求q的值，

并證明：對任意的nwN*,a”是a”+3與匕必的等差中項。

四.課時小結(jié)

等比數(shù)列求和公式：當(dāng)q=l時，當(dāng)*7*1時，1-彳或

l-ff

五。課后作業(yè)：課本P52的練習(xí)1、3,第55頁T1、2

授后記

第九課時：§2.5.2等比數(shù)列的前n項和

教學(xué)目標(biāo):引導(dǎo)學(xué)生接觸生活中的實例，用數(shù)列的有關(guān)知識解決具體問題，若分期付款模型等。

情感態(tài)度與價值觀：生動的現(xiàn)實生活，會使學(xué)生認(rèn)識到現(xiàn)實生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中處處有

應(yīng)用

教學(xué)重點：學(xué)會由特殊到一般，歸納總結(jié)一般的情形，進而建立等比數(shù)列的模型；或努力尋求遞推關(guān)系，

把它歸結(jié)為遞推數(shù)列的問題。

教學(xué)難點：如何把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

教學(xué)過程：

例1.某城市1991年底人口為500萬，人均住房面積為6擊,如果該城市每年人口平均增長率為1%,每

年平均新增住房面積為30萬求2000年底該城市人均住房面積為多少/?（精確到0.01）

例2.從盛有鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水2屣的容器中倒出1屣鹽水，然后加入1滋水，以后每次都倒出

1仗鹽水，然后再加入1滋水，

問：（1）.第5次倒出的的1仗鹽水中含鹽多少g?

（2）.經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少2鹽？此時加1仗水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分

數(shù)為多少？

閱讀課木第52、53頁例4、例5理解現(xiàn)實問題中的數(shù)學(xué)解決方案。

例3.某地現(xiàn)有居民的住房總面積為a加2,其中需要拆除的I口住房的面積占了一半，當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定

在每年拆除一定數(shù)量舊住房的情況下，仍以10%的住房增長率建設(shè)新房。

(1)如果10年后該地的住房總面積正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)拆除的住房面積為多少？(提不：

1.1"a2.6)

(2)o過10年后還未拆除的舊住房的面積占當(dāng)時住房總面積的百分比時多少？

(精確到0。1%)

課堂練習(xí)：第53頁2、3題。

課時小結(jié):

課后作業(yè)：第56頁3、4、7題

第I課時:數(shù)列求和

目的：小結(jié)數(shù)列求和的常用方法，尤其是要求學(xué)生初步掌握用拆項法、裂項法和錯位法求一

些特殊的數(shù)列的和。

過程與方法：進一步滲透方程的思想、分類討論的思想、等價轉(zhuǎn)化的思想.

情感態(tài)度與價值觀：對學(xué)生進行思維的嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們實事求是的科學(xué)態(tài)度.重點：熟悉各種求

和的方法

難點：靈活運用各種方法解題。

教學(xué)過程：

一、提出課題：

｛｝^=1，n，210S-（210+l）S+0

設(shè)正項等比的數(shù)列a”的首項前項和為S”且3020幾=。

（1）求｛a”｝的通項；

探究:（2）求｛“S”｝的前n項和7；

回顧I口知：等差數(shù)列的前n項和Sn=____________=__________,

等比數(shù)列的前n項和Sn=__________

二、例題分析。

1公式法：如求和：02一妙）*（卯一丹）+??…

2.分組求和

1+1.丄+4,亠+7,4+2,…….i+CSM-Z),

例1.求數(shù)列adda.

的前n項和。

練習(xí)：1.求和：1X4+2X5+3X6+.....................+nX(n+1)

2...........................................................求數(shù)列1,(1+a),(1+a+a2),.....,(1+a+a2++an_1),前n

項和

了解12+22+32+???H2=_____________________

3、裂項法：

6___6___6_6

例2、求數(shù)列X‘2x3’3x4’‘心+0‘前n項和

1]___________________1______

練習(xí)：1、求M14-21+2+31+2+……前n項和

求和S”=^—+42+???+

2、"1*33^5

4、錯位法:

例3、求數(shù)列2*前n項和

5.分類討論求和

-L4.-7J0.02).

例4.求數(shù)列….(一?(％-前n項和

6.倒序相加求和

例5.求在[a,b](b>a,a,beN")±且分母是3的不可約分的數(shù)之和。

7.分母有理化

1111-----------1---1——-=---------

y[2+1--/3+/2VnTl+\fn

如S”=AA且S〃=9,求n.

拓展：1,已知正項數(shù)列｛a”｝的前n項和滿足S”=?^)2"”=(_1)"S”,

求數(shù)列9”｝的前n項和7；

2-已知點列人(五,1),毘(勺,2),…，乙且麗二與向量方=(2",1)共線,

neN*,X]=1。

(1)求￡的表達(dá)式,

____________1___________

(2)數(shù)列｛??｝的前n項和為7；,若mW7；對

[log+l)]

2(x?+l)][log2(x?+1

neN*,恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

三、小結(jié)：根據(jù)通項公式的特征確定求和的方法。求數(shù)列前"項和時，一定要數(shù)清項數(shù)，選好

方法，否則易錯.

問：你能說出哪些求通項公式的方法

四。作業(yè)。第52頁練習(xí)第4題。第56頁習(xí)題第8題。第60頁復(fù)習(xí)題第8題

授后記

第十一課時數(shù)列求通項

一、課時目標(biāo)：

(1)在熟記與等比、等差數(shù)列相關(guān)的公式的同時，進一步理解等比、等差數(shù)列的定義;

(2)掌握常見遞推公式通項公式的求法

二、本課重點、難點：常見遞推公式其通項公式的求法

二、新課講解遞推公式的概念

在數(shù)列｛%