四川省達(dá)州市萬(wàn)源中學(xué)2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)（理科）試題【含答案】

四川省萬(wàn)源中學(xué)2022-2023學(xué)年第二學(xué)期高二入學(xué)考試數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共12道小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在中，“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也又非必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.【詳解】在中，，所以“”是“”的充要條件.故選：C2.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可求得的值.【詳解】故選：C3.在中，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算的幾何表示結(jié)合條件即得.【詳解】∵，∴，又∴.故選：B.4.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.12 B.36 C.31 D.33【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的分段和性質(zhì)列方程即可解得.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，所以不妨設(shè)則.由分段后性質(zhì)可知：構(gòu)成等比數(shù)列.由，即，解得：.所以.故選：C5.命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，直接判斷選項(xiàng).【詳解】存在量詞命題否定是全稱量詞命題，所以“，”的否定是“，”.故選：C6.在長(zhǎng)方體中，，，則與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接交于F，由題意可知與平面所成角與與平面所成角相等，由題意可證平面平面，過作于，由面面垂直的性質(zhì)定理可得是與平面所成角，即與平面所成角為，在中，計(jì)算即可.【詳解】解：連接交于F，設(shè)與平面所成角為，因?yàn)椤?所以與平面所成角為，如圖：因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，，，所以四邊形是正方形，是中點(diǎn)，，，所以，又，面，所以平面，又平面，所以平面平面，過作于，因?yàn)槊婷妫婷?，，面，所以平面，所以，即，所?故選：A.7.已知直線，若，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由兩直線垂直，斜率的關(guān)系列方程直接解得.【詳解】因?yàn)樗缘男甭蕿?因?yàn)椋缘男甭时卮嬖冢?，所?所以，解得：.故選：B8.某人有1990年北京亞運(yùn)會(huì)吉祥物“盼盼”，2008年北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“貝貝”“晶晶”“歡歡”“迎迎”“妮妮”，2010年廣州亞運(yùn)會(huì)吉祥物“阿樣”“阿和”“阿如”“阿意”“樂羊羊”，2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”，若他從這15個(gè)吉祥物中隨機(jī)取出兩個(gè)，這兩個(gè)吉祥物都是來(lái)自在北京舉辦的運(yùn)動(dòng)會(huì)的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先得到15個(gè)吉祥物中，來(lái)自北京舉辦的運(yùn)動(dòng)會(huì)的有7個(gè)，再根據(jù)組合知識(shí)計(jì)算出相應(yīng)的概率.【詳解】15個(gè)吉祥物中，來(lái)自北京舉辦的運(yùn)動(dòng)會(huì)的有7個(gè)，他從這15個(gè)吉祥物中隨機(jī)取出兩個(gè)，這兩個(gè)吉祥物都是來(lái)自在北京舉辦的運(yùn)動(dòng)會(huì)的概率為.故選：B9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的的值為（）A.14 B.20 C.30 D.55【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖分析即可.【詳解】開始：，，不成立，循環(huán)，，不成立，循環(huán)，，不成立，循環(huán)，，成立，終止程序，輸出，故選：C.10.已知集合，若“”是“”的充分非必要條件，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)不等式的解法求集合，根據(jù)題意可得A是B的真子集，結(jié)合真子集關(guān)系分析求解.【詳解】由題意可得：，或，若“”是“”的充分非必要條件，則A是B的真子集，所以.故選：A.11.設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值、最小值分別為（）A.最大值，最小值 B.最大值，最小值1C.最大值2，最小值 D.最大值2，最小值1【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)明確點(diǎn)到原點(diǎn)距離為，結(jié)合曲線方程，利用基本不等式可得的最小值和最大值，即可得答案.【詳解】由題意知點(diǎn)到原點(diǎn)距離為，由于點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小，最小值為1；又因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為，故選：B12.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，P是底面上一點(diǎn)．若∥平面，下列說(shuō)法正確的是（）A.線段長(zhǎng)度最大值為，無(wú)最小值B.線段長(zhǎng)度最小值為，無(wú)最大值C.線段長(zhǎng)度最大值為，最小值為D.線段長(zhǎng)度無(wú)最大值，無(wú)最小值【答案】C【解析】【分析】分別取的中點(diǎn),根據(jù)面面平行的判定定理可得平面平面，故點(diǎn)的軌跡為線段.當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，線段長(zhǎng)度最大，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，線段長(zhǎng)度最小，求解即可.【詳解】分別取的中點(diǎn),因?yàn)?，平面，平面，所以平?同理可得平面.因?yàn)槠矫?所以平面平面.因?yàn)镻是底面上一點(diǎn)．且∥平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以,,當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，；當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，.所以線段長(zhǎng)度最大值為，最小值為.故選:C.二、填空題：本大題共4道小題，每小題5分，共20分．13.已知，且，則的最大值為___________．【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式得到，從而得到.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．故答案為：214.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為_______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)條件，將弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為圓心到漸近線的距離，算出a與c的關(guān)系即可.【詳解】對(duì)于雙曲線，其漸近線方程為，對(duì)于圓，有，圓心為，半徑，漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到漸近線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得：；故答案為：2.15.已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)拋物線方程為，求出雙曲線的焦點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)，從而可得出答案.【詳解】解：由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)為，設(shè)拋物線方程，則，所以，所以拋物線方程為.

故答案為：16.過點(diǎn)作直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)差法,可求得直線的方程,結(jié)合直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),可得,即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為則設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)則則,兩式相減并化簡(jiǎn)可得即直線的斜率為2所以直線的方程為,化簡(jiǎn)可得因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)所以解得且所以的取值范圍為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系,中點(diǎn)弦問題,根據(jù)交點(diǎn)情況求參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.三、解答題：本大題共6道小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求A的大小；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理，可得，從而得解；

（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，推出，再由得解．【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理角化邊得，即，又【小?詳解】由（1）知，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，面積，面積的最大值為.18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量法求得公差和公比后可得通項(xiàng)公式；（2）用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和．【小問1詳解】解：設(shè)的公差為，的公比為，，，聯(lián)立，整理可得，解得，所以，.【小問2詳解】解：由（1）知，則，①，②①-②，得.所以.19.命題.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）分和兩種情況討論即可；（2）由題先求出為真時(shí)的取值范圍，然后分真假或假真兩種情況，分別解出即可.【小問1詳解】因?yàn)闉檎婷}，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上所述，；【小問2詳解】若為真，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，因?yàn)闉檎婷}，且為假命題，所以真假或假真，當(dāng)真假時(shí)，有，解得；當(dāng)假真時(shí)，有，解得；綜上所述，或.20.某校從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)（均為整數(shù)）分成六組)，后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題:（1）求成績(jī)落在）上的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；（2）估計(jì)這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分；（3）按分層抽樣從成績(jī)?cè)?，[80，90)兩個(gè)分?jǐn)?shù)段學(xué)生中選出11人，再?gòu)倪@11人中選2人參加培訓(xùn)，求選出的2人在同一分?jǐn)?shù)段的概率.【答案】（1）0.3，補(bǔ)圖見詳解（2）0.75；71（3）【解析】【分析】（1）利用頻率和為1計(jì)算得到答案，在頻率分布直方圖中高為頻率除以組距，補(bǔ)齊即可.（2）直接根據(jù)頻率分布直方圖數(shù)據(jù)計(jì)算求解，把每一組的組中值乘以面積相加即可得到平均分.（3）按分層抽樣確定兩個(gè)分?jǐn)?shù)段人數(shù)，列出所有情況，統(tǒng)計(jì)滿足條件的的種數(shù)，計(jì)算得到答案.【小問1詳解】由題意，，所以成績(jī)落在）上的頻率為0.3，在頻率分布直方圖中高為0.03，補(bǔ)齊如圖【小問2詳解】由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)知及格率為：，平均分：.【小問3詳解】成績(jī)是70~80分組有人，成績(jī)?cè)?0~90分組有人，按分層抽樣組抽6人記為，組抽5人記為1，2，3，4，5.從這11人中抽2人有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共55種選法.兩人來(lái)自同一組有有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共25種選法.所以兩人來(lái)自同一組的概率為.21.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)側(cè)平面得出，再利用勾股定理即可證明，從而證明平面.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可解決.【詳解】（1）證明：因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，所以側(cè)平面，而平面，所以，在中，，所以，所以，又，平面，因此平面．（2）如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)是平面的法向量，則，設(shè)是平面的法向量，則，所以，因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的大小為．22.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線過右焦點(diǎn)且與雙曲線交于、兩點(diǎn)．（1）若雙曲線的離心率為，虛軸長(zhǎng)為，求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，，若的斜率存在，且，求的斜率；（3）設(shè)的斜率為，，求雙曲線的方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由離心率公式和的關(guān)系，即可得到結(jié)果；（2）求出右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件，即可求出直線的斜率．（3）設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，消元