第3章穩(wěn)定性與能控能觀性

3.1關于系統(tǒng)穩(wěn)定性3.1.1大范圍穩(wěn)定與小偏差穩(wěn)定

如前所述,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,是由干擾消失后的自由運動(或瞬態(tài)響應)是否收斂來衡量的。從數(shù)學模型上看,它完全取決于系統(tǒng)特征根,與偏離初始平衡態(tài)的偏差和輸入的形式及大小無關。只要特征根為負根,無論初始偏差多大系統(tǒng)都穩(wěn)定。因此,從純數(shù)學角度所討論的穩(wěn)定性,被稱為大范圍穩(wěn)定或全局穩(wěn)定。

1現(xiàn)在是1頁\一共有88頁\編輯于星期一3.1.2輸出穩(wěn)定與狀態(tài)穩(wěn)定經(jīng)典控制理論的數(shù)學模型是對系統(tǒng)的外部描述,它用輸入作用下系統(tǒng)輸出的變化來表征系統(tǒng)運動,穩(wěn)定性所考察的對象是系統(tǒng)輸出的變化(自由運動或瞬態(tài)響應是否收斂),這種穩(wěn)定性被稱為輸出穩(wěn)定或外部穩(wěn)定。3.1.3系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件前面不止一次提到過,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:系統(tǒng)特征根(閉環(huán)極點)全部具有負實部,下面對此加以證明。2現(xiàn)在是2頁\一共有88頁\編輯于星期一3現(xiàn)在是3頁\一共有88頁\編輯于星期一由上可見:1)只要特征根為負根Pi<0或具有負實部α<0,式中各瞬態(tài)響應項都會最終衰減為0,系統(tǒng)就是穩(wěn)定的(注:tq是指數(shù)級的,其增長不及ept的衰減,tq·ept仍是收斂函數(shù))。2)系數(shù)an,…,a0的改變將引起特征根改變,從而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3)系數(shù)bm,…,b0的改變只引起各組成項系數(shù)di、gj、hk改變,從而影響瞬態(tài)響應的幅值大小,但不影響特征根,與系統(tǒng)穩(wěn)定性無關。4)輸入幅值改變只引起c0和di、gj、hk改變,也不影響特征根,所以輸入與線性系統(tǒng)穩(wěn)定性也無關。

4現(xiàn)在是4頁\一共有88頁\編輯于星期一3.1.4不求特征根的判別方法按特征根判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性,必須求解特征方程。盡管計算機求解特征方程并不困難,但工程中常常希望不計算特征根就可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并能夠定性地分析系統(tǒng)動態(tài)特性,這種方法被稱為穩(wěn)定性判據(jù),已成功地應用在工程中。常用的穩(wěn)定性判據(jù)有:代數(shù)判據(jù)(勞斯判據(jù))——它按特征方程各項系數(shù)ai判別系統(tǒng)I/O穩(wěn)定性;李亞普諾夫判據(jù)——它用能量函數(shù)V(x)判別系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性;頻域判據(jù)(奈奎斯特判據(jù)、波德判據(jù))——它按開環(huán)頻率特性GK(jω)判別系統(tǒng)I/O穩(wěn)定性。

5現(xiàn)在是5頁\一共有88頁\編輯于星期一3.2.1勞斯(Routh)判據(jù)(1)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件由二階方程系數(shù)與特征根的關系,推到n階特征方程的系數(shù)ai與特征根pj有如下關系:

3.2代數(shù)判據(jù)6現(xiàn)在是6頁\一共有88頁\編輯于星期一(2)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件要判定系統(tǒng)穩(wěn)定性,必須尋求系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件,勞斯表解決了這一問題。勞斯表將特征方程系數(shù)ai排成下表中的sn和sn-1行(稱為系數(shù)行),然后按下面的式(323)～(325)計算各系數(shù)值,并將各系數(shù)值排出sn

-2至s0行(稱為導出行),這個表稱為勞斯表。

7現(xiàn)在是7頁\一共有88頁\編輯于星期一8現(xiàn)在是8頁\一共有88頁\編輯于星期一這一過程計算到之后的值都等于零時為止。用同樣的方法,可以計算c,d,e等各行的系數(shù)

勞斯判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是:勞斯表第一列各系數(shù)的符號相同且不為零。如勞斯表第一列的各系數(shù)符號不同或出現(xiàn)0,則系統(tǒng)不穩(wěn)定,且符號改變次數(shù)等于正實部特征根數(shù)目。9現(xiàn)在是9頁\一共有88頁\編輯于星期一例3.1設系統(tǒng)的特征方程式為

試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解該方程系數(shù)滿足穩(wěn)定的必要條件。排出勞斯表如右,由表看出第一列系數(shù)符號不同,系統(tǒng)不穩(wěn)定。10現(xiàn)在是10頁\一共有88頁\編輯于星期一因系數(shù)符號改變了2次(從+1→-2→+3),則系統(tǒng)有2個正實部根。用MATLAB語句p=[1,2,3,4,3];roots(p)求出的特征根為:01102+13935i01102-13935i-11102+05504i-11102-05504i確有2個正實部特征根。根據(jù)勞斯表,容易得到1～4階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件如表3.1所示。11現(xiàn)在是11頁\一共有88頁\編輯于星期一(3)特殊情況的處理1)勞斯表中任意一行的第一個元素為零,而后的各元素并不為零。

此時在計算勞斯表的下一行元素時,該元素必將趨于無窮,使勞斯陣列表的計算將無法進行。為了克服這一困難,可以用一個很小的正數(shù)ε來代替第一列等于零的元素,然后再計算其他各元素。

12現(xiàn)在是12頁\一共有88頁\編輯于星期一例3.3設某系統(tǒng)的特征方程式為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解該系統(tǒng)勞斯表如右。由于(2-2/ε)為負數(shù),故第一列各元素符號不完全一致,系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列各元素符號改變次數(shù)為2,因此有2個具有正實部的根。13現(xiàn)在是13頁\一共有88頁\編輯于星期一2)勞斯表中任意一行的所有元素為零。

出現(xiàn)這種情況時勞斯表的計算無法進行,為此利用該行上一行元素構成一個輔助多項式,并利用該多項式的導數(shù)多項式的系數(shù)代替全0行,從而把其余各元的計算繼續(xù)下去。

例3.5設某系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解計算勞斯表各元素列表如右,在s3行出現(xiàn)全0。

輔助多項式為14現(xiàn)在是14頁\一共有88頁\編輯于星期一15現(xiàn)在是15頁\一共有88頁\編輯于星期一3.2.2謝聶判據(jù)

根據(jù)特征多項式系數(shù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性問題雖早已由勞斯、霍爾維茲等人解決,但其判據(jù)的充要條件由多個式子所組成,在階次較高時式子多而繁,且當n>20時勞斯表計算不能保證舍入誤差穩(wěn)定。我國學者謝緒愷于1957年在第一屆力學學術會議上報告了一個驚人的發(fā)現(xiàn):各項系數(shù)同號的多項式穩(wěn)定的一個必要條件為16現(xiàn)在是16頁\一共有88頁\編輯于星期一17現(xiàn)在是17頁\一共有88頁\編輯于星期一俄國學者李亞普諾夫(Lyapunov)于1892年提出了研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接法(第一法)和直接法(第二法),直接法可以用于線性系統(tǒng),也可以用于非線性系統(tǒng)。3.3.1李亞普諾夫第一法第一法是針對系統(tǒng)的線性化提出的,按系統(tǒng)特征根進行穩(wěn)定性的定性判斷。

該法的主要內容是:若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的特征根:

1)全部為負實部根,則實際系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,在線性化過程中忽略的高階導數(shù)項對系統(tǒng)穩(wěn)定性無影響。即線性化模型漸近穩(wěn)定,線性化前的非線性系統(tǒng)也漸近穩(wěn)定。3.3李亞普諾夫判據(jù)18現(xiàn)在是18頁\一共有88頁\編輯于星期一2)只要有一個為正實部根,則實際系統(tǒng)不穩(wěn)定,在線性化過程中忽略的高階導數(shù)項對系統(tǒng)穩(wěn)定性無影響。即線性化模型不穩(wěn)定,線性化前的非線性系統(tǒng)也不穩(wěn)定。

3)只要有一個實部為0(純虛根),其余為負實部,則在線性化過程中忽略的高階導數(shù)項對系統(tǒng)穩(wěn)定性有影響,不能用線性化模型來判斷實際系統(tǒng)的穩(wěn)定性,必須采用實際系統(tǒng)的非線性模型來判斷。19現(xiàn)在是19頁\一共有88頁\編輯于星期一3.3.2李亞普諾夫第二法第二法不按特征根而按系統(tǒng)能量變化直接獲得其穩(wěn)定性的信息,故稱為直接法。(1)平衡狀態(tài)與范數(shù).設系統(tǒng)的狀態(tài)方程一般形式為.20現(xiàn)在是20頁\一共有88頁\編輯于星期一21現(xiàn)在是21頁\一共有88頁\編輯于星期一(2)狀態(tài)穩(wěn)定性的提法設S(δ)是一個滿足‖x-xe‖≤δ的球域,平衡態(tài)xe是該域中當t=0時的一個點。設S(ε)是xe的一個鄰域,每對應一個域S(ε),存在一個域S(δ),當t無限增加時,系統(tǒng)從S(δ)出發(fā)的狀態(tài)軌跡X(t)有三種可能:22現(xiàn)在是22頁\一共有88頁\編輯于星期一1)漸近穩(wěn)定

不超出S(ε)并最終收斂于平衡態(tài)xe,即t→∞時有2)在李亞普諾夫意義下穩(wěn)定

不能達到平衡態(tài)xe,但對一切t都存在3)不穩(wěn)定

不能達到平衡態(tài)xe,且無論δ怎樣小,至少都有一個t使得23現(xiàn)在是23頁\一共有88頁\編輯于星期一(3)能量變化與狀態(tài)穩(wěn)定性系統(tǒng)的狀態(tài)變化總是伴隨著能量的變化。為了簡單說明問題,設系統(tǒng)的動能和勢能分別為24現(xiàn)在是24頁\一共有88頁\編輯于星期一25現(xiàn)在是25頁\一共有88頁\編輯于星期一(4)李亞普諾夫穩(wěn)定性定理把上述概念拓寬,設連續(xù)純量函數(shù)V(x)是系統(tǒng)的廣義能量函數(shù),又稱為李亞普諾夫函數(shù),它是正定的,即只有在x=xe=0處V(x)=0,其余x≠0處V(x)>0;它具有連續(xù)一階偏導數(shù);它的變化遵循系統(tǒng)的狀態(tài)方程。于是,可根據(jù)V(x)的正負來判別狀態(tài)的穩(wěn)定性。26現(xiàn)在是26頁\一共有88頁\編輯于星期一定理:當選定x≠0(即干擾產(chǎn)生偏離平衡狀態(tài)xe的初始偏差),V(x)>0后,1)如果V(x)<0,則原平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的;如果隨著‖x‖→∞時,V(x)→∞,則原平衡點xe是大范圍漸近穩(wěn)定的。2)如果V(x)>0,則原平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。3)如果V(x)≤0,但V(x)不恒等于0,則原平衡狀態(tài)xe是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的,不過不是漸近穩(wěn)定的(可以保持一個穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài))。27現(xiàn)在是27頁\一共有88頁\編輯于星期一3.3.3線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的直接法

李亞普諾夫穩(wěn)定性定理沒有給出正確尋找李亞普諾夫函數(shù)的方法,成為應用直接法的主要問題。但對于線性定常系統(tǒng)x=Ax,當選擇如下線性二次型李亞普諾夫函數(shù)V(X)時,則可以給出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件:28現(xiàn)在是28頁\一共有88頁\編輯于星期一例3.7用李亞普諾夫穩(wěn)定性定理判斷系統(tǒng)

.29現(xiàn)在是29頁\一共有88頁\編輯于星期一30現(xiàn)在是30頁\一共有88頁\編輯于星期一頻率判據(jù)是一種幾何判據(jù),先由H·Nyquist于1932年提出,稱為奈奎斯特判據(jù),在20世紀40年代得到廣泛應用。后來Bode將它轉換到Bode圖上,更加直觀方便,稱為波德判據(jù)。

3.4.1奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(1)開環(huán)極點與閉環(huán)極點間的關系要用開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,必須要找到開環(huán)極點與閉環(huán)極點間的關系才行。設閉環(huán)系統(tǒng)如圖3.4.1所示,其前向傳遞函數(shù)為3.4頻域判據(jù)31現(xiàn)在是31頁\一共有88頁\編輯于星期一32現(xiàn)在是32頁\一共有88頁\編輯于星期一33現(xiàn)在是33頁\一共有88頁\編輯于星期一(2)幅角原理把特征函數(shù)F(jω)表示成零極點形式34現(xiàn)在是34頁\一共有88頁\編輯于星期一35現(xiàn)在是35頁\一共有88頁\編輯于星期一36現(xiàn)在是36頁\一共有88頁\編輯于星期一(3)Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)的敘述ω=-∞→+∞時,GK(jω)的Nyquist軌跡逆時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)N等于GK(jω)的正極點數(shù)P時,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(此時Z=P-N=P-P=0,即閉環(huán)無右半s平面上的極點)。

37現(xiàn)在是37頁\一共有88頁\編輯于星期一3.4.2Nyquist判據(jù)的應用應用Nyquist判據(jù)時,先要知道GK(jω)在右半平面的極點數(shù)P,然后按最小相位系統(tǒng)或非最小相位系統(tǒng)兩種情況分別按表3.2進行判別。

38現(xiàn)在是38頁\一共有88頁\編輯于星期一(1)最小相位系統(tǒng)(P=0)的穩(wěn)定性

例3.8設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試用Nyquist判據(jù)判斷該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解該系統(tǒng)為0型,GK(jω)的Nyquist軌跡如圖3.4.4所示,其中ω=-∞→0-段用虛線表示,ω=0+→+∞段用實線表示,它們以實軸為對稱軸。前面第2章介紹的系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線是ω=0+→+∞的那部分。39現(xiàn)在是39頁\一共有88頁\編輯于星期一臨界穩(wěn)定的物理解釋臨界穩(wěn)定時GK(jω)的Nyquist軌跡正好通過(-1,j0)點,此時輸出與輸入的幅值相等,而相位正好差180°。這相當于系統(tǒng)受到等幅值的“正—負”反饋的交替作用,如圖345所示,因而系統(tǒng)的輸出為±xo,即等幅振蕩,故系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。例3.9設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。40現(xiàn)在是40頁\一共有88頁\編輯于星期一41現(xiàn)在是41頁\一共有88頁\編輯于星期一例3.9設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解該系統(tǒng)為0型,只是在前例前向通道中加入了一個超前環(huán)節(jié)(τs+1),它的Nyquist軌跡仍起于正實軸,但以最大相位滯后180°收斂于0點,其中間過程取決于超前時間常數(shù)τ。如果τ≌T1(或T2及T3),則有42現(xiàn)在是42頁\一共有88頁\編輯于星期一43現(xiàn)在是43頁\一共有88頁\編輯于星期一結論①當GK(jω)的Nyquist軌跡不穿越負實軸時,K的變化不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性;穿越負實軸時,K的變化要影響系統(tǒng)穩(wěn)定性,K越大系統(tǒng)穩(wěn)定性越差,超過臨界值后系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。②在系統(tǒng)開環(huán)中加入超前環(huán)節(jié)可以改善系統(tǒng)穩(wěn)定性(但τ值要適當)。通過加入某種環(huán)節(jié)改變系統(tǒng)結構從而改善系統(tǒng)性能的方法稱為系統(tǒng)校正(見第5章)。44現(xiàn)在是44頁\一共有88頁\編輯于星期一45現(xiàn)在是45頁\一共有88頁\編輯于星期一例3.10設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解該系統(tǒng)為I型,K較小時Nyquist曲線如圖

2.4.7所示。圖中細雙點畫線為輔助圓弧線,順時針跨越2v=2個象限。整個曲線不包圍(-1,j0)點,系統(tǒng)穩(wěn)定,但隨著K增大,系統(tǒng)將從穩(wěn)定→臨界穩(wěn)定→不穩(wěn)定。46現(xiàn)在是46頁\一共有88頁\編輯于星期一47現(xiàn)在是47頁\一共有88頁\編輯于星期一例3.11設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解該系統(tǒng)為上例加入一個積分環(huán)節(jié),系統(tǒng)從Ⅰ型變?yōu)棰蛐?v=2),Nyquist曲線如圖2.4.8所示,輔助圓弧線順時針跨越2v=4個象限。因整個曲線順時針包圍(-1,j0)點2圈,Z=P-N=0-(-2)=2,故系統(tǒng)不穩(wěn)定,且對任何K值都不穩(wěn)定。48現(xiàn)在是48頁\一共有88頁\編輯于星期一49現(xiàn)在是49頁\一共有88頁\編輯于星期一結論

①增加系統(tǒng)型號v對系統(tǒng)穩(wěn)定性不利(但對提高穩(wěn)態(tài)精度有利)。②不包含超前環(huán)節(jié)的Ⅱ型系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的,而且是結構不穩(wěn)定(閉環(huán)特征方程必定有缺項)。此時調節(jié)系統(tǒng)參數(shù)K和T對穩(wěn)定性無濟于事,必須采用校正的方法才能穩(wěn)定。為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,實際系統(tǒng)一般不超過Ⅱ型(不采用Ⅲ型系統(tǒng))。50現(xiàn)在是50頁\一共有88頁\編輯于星期一(2)條件穩(wěn)定系統(tǒng)當Nyquist曲線不止一次穿越負實軸時,系統(tǒng)穩(wěn)定性并不隨K值的增大簡單地從穩(wěn)定→臨界穩(wěn)定→不穩(wěn)定,K需要分段取值才能保證穩(wěn)定。

例3.12設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。51現(xiàn)在是51頁\一共有88頁\編輯于星期一解當T1τT2時,Nyquist曲線如圖2.4.9所示。隨著K增大,曲線擴展,相當于圖中(-1,j0)點沿負實軸向0點移動。當(-1,j0)點在a點時曲線不包圍a點,系統(tǒng)穩(wěn)定。當(-1,j0)點在b點時,曲線順時針包圍b點2圈,系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(-1,j0)點在c點時,曲線順時針及逆時針各包圍c點1圈,系統(tǒng)又變得穩(wěn)定。

52現(xiàn)在是52頁\一共有88頁\編輯于星期一(3)Nyquist判據(jù)的等價敘述對于復雜系統(tǒng),GK(jω)的Nyquist軌跡將反復穿越負實軸,此時軌跡包圍(-1,j0)點的圈數(shù)很容易數(shù)錯。

53現(xiàn)在是53頁\一共有88頁\編輯于星期一54現(xiàn)在是54頁\一共有88頁\編輯于星期一例3.13設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解該系統(tǒng)為帶超前環(huán)節(jié)的Ⅱ型(v=2),設T1、T2<τ1、τ2<T3,Nyquist半軌跡如圖2.4.12所示。在K較小時,無正穿越,有1次負穿越,0-1=-1≠P/2,故系統(tǒng)不穩(wěn)定。

若K增大,使(-1,j0)點移到圖中b點時,有一次正穿越,1-1=0=P/2,故系統(tǒng)穩(wěn)定。

若K再繼續(xù)增大,使(-1,j0)點移到圖中a點時,又增加一次負穿越,1-2=-1≠P/2,故系統(tǒng)不穩(wěn)定。55現(xiàn)在是55頁\一共有88頁\編輯于星期一56現(xiàn)在是56頁\一共有88頁\編輯于星期一3.4.3Bode判據(jù)

若將Nyquist圖改為Bode圖同樣可以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性,兩圖存在如下對應關系:

Nyquist圖上的單位圓(幅值為1)Bode圖上的0分貝線;Nyquist圖上的負實軸Bode圖上的-180°線,如圖2.4.13所示。57現(xiàn)在是57頁\一共有88頁\編輯于星期一58現(xiàn)在是58頁\一共有88頁\編輯于星期一59現(xiàn)在是59頁\一共有88頁\編輯于星期一穿越頻率

為了今后分析方便,定義兩種穿越頻率:

ωc——Nyquist軌跡與單位圓交點的頻率,即對數(shù)幅頻曲線L(ω)在0dB線上的交點頻率,稱為幅值穿越頻率、幅值剪切頻率或幅值交界頻率。60現(xiàn)在是60頁\一共有88頁\編輯于星期一61現(xiàn)在是61頁\一共有88頁\編輯于星期一3.4.4非最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性

非最小相位環(huán)節(jié)與對應最小相位環(huán)節(jié)的比較見圖3.4.15和3.4.16。由圖可見,非最小相位環(huán)節(jié)與對應的最小相位環(huán)節(jié)的幅頻特性相同,而相頻特性不同,它的相位變化范圍大,高頻段不存在2.6.2節(jié)中所述的(v+u+2q-r)·(-90°)的關系。62現(xiàn)在是62頁\一共有88頁\編輯于星期一例3.14設單位反饋系統(tǒng)如圖3.4.17所示,試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

63現(xiàn)在是63頁\一共有88頁\編輯于星期一64現(xiàn)在是64頁\一共有88頁\編輯于星期一65現(xiàn)在是65頁\一共有88頁\編輯于星期一解該系統(tǒng)有一個因被控對象含有正反饋而形成的非最小相位環(huán)節(jié)G3(s)=10/(10s-1),有一個s=01的正極點,P=1,是一個非最小相位系統(tǒng),其開環(huán)傳遞函數(shù)為Nyquist圖和Bode圖如圖3.4.18所示。66現(xiàn)在是66頁\一共有88頁\編輯于星期一3.5.1問題的提出

狀態(tài)能控性和能觀性是卡爾曼(Kalman)在20世紀60年代提出的現(xiàn)代控制理論的兩個基本概念。能控性是指能否通過輸入使系統(tǒng)在有限時間內從其初始狀態(tài)達到目標狀態(tài),能觀性是指能否根據(jù)有限時間內對輸出的觀測確定該時間段內的系統(tǒng)狀態(tài),它們分別表征了系統(tǒng)對狀態(tài)的控制能力和識別能力。

3.5狀態(tài)能控能觀性67現(xiàn)在是67頁\一共有88頁\編輯于星期一68現(xiàn)在是68頁\一共有88頁\編輯于星期一3.5.2能控性的定義及判別上例雖可直觀理解系統(tǒng)的狀態(tài)能控能觀概念,但為了進一步揭示它是系統(tǒng)除穩(wěn)定性之外的另一基本結構特性,有必要介紹這兩個概念的定義及其判別方法。(1)能控性定義線性系統(tǒng)X=A(t)X+B(t)u,如果對于取定初始時刻t0∈J的一個非零初始狀態(tài)X(t0)=X0,存在一個時刻t1(t0<t1∈J)和一個容許控制u(t)(t∈[t0,t1]),使得系統(tǒng)在u(t)作用下由初始狀態(tài)X0出發(fā)的軌線,經(jīng)過t1-t0時間后能轉移到目標狀態(tài)X(t1)=0,則稱此X0是系統(tǒng)在t0時刻的一個能控狀態(tài),見圖3.5.2。69現(xiàn)在是69頁\一共有88頁\編輯于星期一(2)能控性判據(jù)(省略證明)1)判據(jù)的第一種形式系統(tǒng)X=AX+Bu能控的充分必要條件是:能控性矩陣Qc=[BAB…An-1B]滿秩,即

從物理概念上看,式(3.5.1)表示:一個n階系統(tǒng)可以被控制的狀態(tài)數(shù)目為n,超過n的多余狀態(tài)必然是不能控的。70現(xiàn)在是70頁\一共有88頁\編輯于星期一71現(xiàn)在是71頁\一共有88頁\編輯于星期一例3.15考察如下系統(tǒng)的能控性解用MATLAB計算出再輸入矩陣Qc=[b…Ab…A2b],用k=rank(Qc)語句可求出能控性矩陣的秩rankQc=n=3,故此系統(tǒng)狀態(tài)能控。72現(xiàn)在是72頁\一共有88頁\編輯于星期一2)判據(jù)的第二種形式設系統(tǒng)X=AX+Bu的特征根為相異單實根λ1,λ2,…,λn,可通過非奇異變換將其化為對角形則系統(tǒng)狀態(tài)能控的充分必要條件是:對角形的Bd中無元素全為0的行,否則系統(tǒng)不能控,且全為0元素的行所對應的狀態(tài)是不能控狀態(tài)。73現(xiàn)在是73頁\一共有88頁\編輯于星期一例3.17試判斷系統(tǒng)的能控性,并指出各狀態(tài)變量能控或不能控。解該系統(tǒng)的對角形為74現(xiàn)在是74頁\一共有88頁\編輯于星期一因Bd中僅第2行元素是0,故x1和x3能控而x2不能控,系統(tǒng)不能控(用Qc的秩判斷結果相同)。75現(xiàn)在是75頁\一共有88頁\編輯于星期一76現(xiàn)在是76頁\一共有88頁\編輯于星期一3.5.3能觀性的定義及判別

(1)能觀測性定義

線性系統(tǒng)X=A(t)X+B(t)u、y=C(t)X,如果對于取定初始時刻t0∈J的一個非零初始狀態(tài)X(t0)=X0,存在一個時刻t1(t0<t1∈J),使得由區(qū)間[t0t1]上的系統(tǒng)輸出觀測值y(t),可以惟一地決定系統(tǒng)的初始狀態(tài)X0,則稱此X0為能觀測狀態(tài)。77現(xiàn)在是77頁\一共有88頁\編輯于星期一(2)能觀測性判據(jù)

1)判據(jù)的第一種形式

系統(tǒng)X=AX+Bu、y=C(t)X能觀的充分必要條件是:能觀性矩陣

78現(xiàn)在是78頁\一共有88頁\編輯于星期一2)判據(jù)的第二種形式設系統(tǒng)的特征根為相異單實根λ1,λ2,…,λn,可通過非奇異變換將其化為對角形珘,則系統(tǒng)狀態(tài)能觀的充分必要條件是:對角形的Cd中列元素全為0。否則系統(tǒng)不能觀,且全為0元素的列所對應的狀態(tài)是不能觀狀態(tài)。79現(xiàn)在是79頁\一共有88頁\編輯于星期一例3.19試判斷例3.17系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。

解按判據(jù)第一種形式:計算出