新高中數(shù)學(xué)人教A選修2-2習(xí)題：第二章推理與證明 檢測A

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章檢測(A)(時(shí)間：90分鐘滿分:120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1數(shù)列2，5,11,20，x,47，…中的x等于()A.28 B.32 C。33 D.27解析由5—2=3，11—5=6，20-11=9,x—20=12，得x=32.答案B2用反證法證明一個命題時(shí),下列說法正確的是()A.將結(jié)論與條件同時(shí)否定，推出矛盾B.肯定條件,否定結(jié)論,推出矛盾C.將被否定的結(jié)論當(dāng)條件，經(jīng)過推理得出的結(jié)論只與原題條件矛盾，才是反證法的正確運(yùn)用D.將被否定的結(jié)論當(dāng)條件，原題的條件不能當(dāng)條件答案B3由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)"可類比猜想“正四面體的內(nèi)切球切于四個面".（）

A。各正三角形內(nèi)一點(diǎn)B.各正三角形的某高線上的點(diǎn)C。各正三角形的中心D。各正三角形外的某點(diǎn)解析正三角形的邊對應(yīng)正四面體的面,即正三角形所在的正四面體的面,所以邊的中點(diǎn)對應(yīng)的就是正四面體各正三角形的中心。故選C.答案C4已知c〉1，a=c+1-c，b=c-c-A.a〉b B。a〈bC。a=b D。a,b大小不定解析∵a=c+1-c=1c+1+c，答案B5下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)x>0,且x≠1時(shí),lgx+1lgxB。當(dāng)x〉0時(shí),x+1C。當(dāng)x≥2時(shí)，x+1x的最小值為D.當(dāng)0〈x≤2時(shí)，x-1x解析選項(xiàng)A錯在lgx的正負(fù)不明確;選項(xiàng)C錯在等號成立的條件不存在；根據(jù)函數(shù)f(x)=x—1x的單調(diào)性,當(dāng)x=2時(shí)，f(x）取最大值32，故選項(xiàng)D答案B6觀察下列各式：a+b=1，a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7，a5+b5=11,…，則a10+b10=（）A.28 B.76C.123 D.199解析利用歸納法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1，a4+b4=4+3=7，a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18，a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.規(guī)律為從第三組開始,其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和.答案C7設(shè)xi,ai（i=1，2,3)均為正實(shí)數(shù)，甲、乙兩位同學(xué)由命題“若x1+x2=1,則a1x1+a2x2≤甲:若x1+x2+x3=1，則a1x1+a2乙：若x1+x2+x3+x4=1，則a1x1+a2他們所用的推理方法是(）A.甲、乙都用演繹推理B。甲、乙都用類比推理C。甲用演繹推理，乙用類比推理D.甲用歸納推理，乙用類比推理答案B8已知數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)為23,415,635,863,1099A.an=2B。an=2C.an=2D。an=2解析23=2×11×3,415=2×答案C9已知數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和Sn=n2·an(n≥2，n∈N),而a1=1,通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an等于（)A.2(n+1C.22n-解析∵Sn=n2·an(n≥2),a1=1,∴S2=4a2=a1+a2?a2=13S3=9a3=a1+a2+a3?a3=a1S4=16a4=a1+a2+a3+a4?a4=a1+a2+a3答案B10用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+12+13+…+12n-1〈n(n∈N*，n>1）”時(shí)，由n=k（k〉1)不等式成立,推證n=k+A.2k-1 B.2k—1 C.2k D.2k+1答案C二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在題中的橫線上）11已知x,y∈R，且x+y〈2，則x，y中至多有一個大于1,在用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)為.

解析“至多有一個大于1"包括“都不大于1和有且僅有一個大于1”，故其對立面為“x，y都大于1"。答案x,y都大于112觀察數(shù)列3，3,15,21,33,…,寫出該數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為。解析將各項(xiàng)統(tǒng)一寫成根式形式為3,9,15,21,27，…即3×1,3×3,3×5,答案an=3(2n-1)13以下是對命題“若兩個正實(shí)數(shù)a1,a2滿足a12+a22=1,則a1+a2證明:構(gòu)造函數(shù)f（x）=(x-a1）2+(x—a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因?yàn)閷σ磺袑?shí)數(shù)x,恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，從而得4(a1+a2)2-8≤0，所以a1+a2≤2.根據(jù)上述證明方法，若n個正實(shí)數(shù)滿足a12+a22+…+an2=解析依題意,構(gòu)造函數(shù)f(x）=（x-a1）2+(x-a2)2+…+（x—an）2，則有f(x)=nx2—2（a1+a2+…+an）x+1，Δ=[-2(a1+a2+…+an)]2-4n=4(a即有a1+a2+…+an≤n.答案a1+a2+…+an≤n14若等差數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)之和為Sn，則S4，S8-S4，S12—S8，S16—S12成等差數(shù)列。類比以上結(jié)論有：若等比數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)之積為Tn,則T4,,,T16T12成等比數(shù)列解析本題是數(shù)列與類比推理相結(jié)合的問題，既考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識，又考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力.答案T15設(shè)C1,C2，C3,…為一組圓,其作法如下：C1是半徑為a的圓，在C1的圓內(nèi)作四個相等的圓C2（如圖)，每個圓C2和圓C1都內(nèi)切,且相鄰的兩個圓C2均外切;在C2的每一個圓中,用同樣的方法作四個相等的圓C3,依此類推作出C4,C5，C6，….（1)其中C2中每個圓的半徑長等于(用a表示）;

(2)猜想Cn中每個圓的半徑長為(用a表示,不必證明）.

答案(2-1）a(2-1）n—1a三、解答題（本大題共5小題,共45分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16（8分）若x，y>0，且x+y〉2，求證:1+xy<2和1+yx〈證明假設(shè)1+xy≥2,且1+yx≥2,則1+x≥2y,1+y≥2x,所以（1+x）+(1+y)≥2y+2x,即x+y≤2,與題設(shè)矛盾.17(8分)已知命題“若數(shù)列{an｝是等比數(shù)列，且an〉0，則數(shù)列｛bn｝，bn=na1a2…an（n∈N＊）也是等比數(shù)列”。解類比等比數(shù)列的性質(zhì),可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列,則數(shù)列{bn},bn=a1+a2設(shè)等差數(shù)列{an｝的公差為d,則bn=a1+a2+…+ann=na1+n(n-118（9分）設(shè)n∈N＊,xn是曲線y=x2n+2+1在點(diǎn)(1，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求數(shù)列｛xn}的通項(xiàng)公式;(2）記Tn=x12x32…x2（1)解y'=（x2n+2+1)'=（2n+2)x2n+1,曲線y=x2n+2+1在點(diǎn)（1,2）處的切線斜率為2n+2，從而切線方程為y-2=（2n+2)(x—1)。令y=0，解得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xn=1—1n（2)證明由題設(shè)和(1)中的計(jì)算結(jié)果知Tn=x1當(dāng)n=1時(shí)，T1=14當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)閤2所以Tn>122×12綜上可得對任意的n∈N＊，均有Tn≥1419（10分)如圖，設(shè)拋物線y2=2px(p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.求證：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。證明因?yàn)閽佄锞€y2=2px（p>0)的焦點(diǎn)為Fp2所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+p2，代入拋物線方程,可得y2—2pmy-p2=0設(shè)A（x1,y1),B（x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個根，所以y1y2=—p2。因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=—p2上所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是-p故直線CO的斜率為k=y2即k也是直線OA的斜率。故直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.20(10分）設(shè)f（n)=1+12+13+…+1n，問是否存在關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)g(n）使等式f（1)+f(2)+…+f(n-1）=g(n）·［f(n）—1]對于n≥2的一切自然數(shù)都成立？解當(dāng)n=2時(shí)，由f（1)=g（2)·[f（2）-1],得g(2）=f(1當(dāng)n=3時(shí),由f（1）+f(2)=g(3）·［f（3）—1],得g（3)=f(1猜想g(n)=n(n≥2）。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥2時(shí),等式f（1）+f（2）+…+f(n—1）=n［f（n)—1]恒成立.①當(dāng)n=2時(shí)，由上面計(jì)算知，等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),f(1)+f（2）+…+f（k-1）=k［f（k）—1]恒成立.則當(dāng)n=k+1時(shí)，f（1)+f（2)+…+f（k-1）+f(k）=k[f(k)—