2021年中考數(shù)學(xué)專題突破26菱形問題

專題26菱形問題力知端隧.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。.菱形的性質(zhì)菱形的四條邊都相等；（2）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。.菱形的判定定理（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四條邊相等的四邊形是菱形。4.菱形的面積：S=ah=mn/2（菱形底邊長(zhǎng)為a,高為h,兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為m和n）例題解析與對(duì)點(diǎn)琉習(xí)【例題1】（2020?牡丹江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是菱形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)，AD〃x軸且AD=4,NA=60°,將菱形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在x軸上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A.（0,2V3） B.（2,-4）C.（273,0） D.（0,2舊）或（0,-2日）【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019瀘州）一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為6,面積為28,則該菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和為（ ）A.8B.12C.16D.32【例題2】（2020?營(yíng)口）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,其中OA=1,OB=2,則菱形ABCD的面積為

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019湖北十堰）如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E為BC的中點(diǎn)，若OE=3,則菱形的周長(zhǎng)為 ^D C【例題3】（2020?福建）如圖，點(diǎn)E,F分別在菱形ABCD的邊BC,CD【例題3】（2020?福建）如圖，點(diǎn)E,證：NBAE=NDAF.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019湖南岳陽(yáng)）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AD、【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019湖南岳陽(yáng)）如圖，DE=DF,求證：/1求證：/1=/2.專題點(diǎn)時(shí)點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題（2020?黃岡）若菱形的周長(zhǎng)為16,高為2,則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為（ ）A.4A.4：1B.5：1C.6：1D.7：1（2020?鹽城）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,H為BC中點(diǎn)，AC=6,BD=8.則線段OH的長(zhǎng)為（ ）A.12 B.5C.3D.5TOC\o"1-5"\h\z5 2（2020?樂山）如圖，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°,O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OEXCD于點(diǎn)E,連結(jié)OA.則四邊形AOED的周長(zhǎng)為（ ）A.9+2/3B.9+V3C.7+2V3 D.8（2020?甘孜州）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E為AB的中點(diǎn).若菱形ABCD的周長(zhǎng)為32,則UOE的長(zhǎng)為（ ）A.3 B.4 C.5 D.6（2020?遵義）如圖，在菱形ABCD中，AB=5,AC=6,過點(diǎn)D作DE^BA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則線段DE的長(zhǎng)為（ ）A.12 B.18C.4D.24（2019內(nèi)蒙古赤峰）如圖，菱形ABCD周長(zhǎng)為20,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是CD的中點(diǎn)，則OE的長(zhǎng)是（ ）BA.2.5B.3C.4D.5（2019?四川省綿陽(yáng)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，0（0,0）,A（4,0）,NAOC=60°,則對(duì)角線交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）（2019?四川省廣安市）如圖，在邊長(zhǎng)為＜3的菱形ABCD中，/B=30。，過點(diǎn)A作AE1BC于點(diǎn)E,現(xiàn)將^ABE沿直線AE翻折至^AFE的位置，AF與CD交于點(diǎn)G則CG等于（）D.不? 1D.A.v31B.1C.一2（2019四川省雅安市）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,AC、BD是對(duì)角線，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE,則四邊形EFGH的形狀是（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形 D.正方形（2019?貴州安順）如圖，在菱形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn);②作直線MN,且MN恰好經(jīng)過點(diǎn)A,與CD交于點(diǎn)E,連接BE.則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A.ZABC=60°B.SAABE=2SAADE叵二若AB=4,則UBE=4'：7d.sinZCBE=色、填空題

（2020?陜西）如圖，在菱形ABCD中，AB=6,NB=60°,點(diǎn)E在邊AD上，且AE=2.若直線l經(jīng)過點(diǎn)E,將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點(diǎn)F,則線段EF的長(zhǎng)為^（2020?哈爾濱）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在線段BO上，連接AE,若CD=2BE,ZDAE=ZDEA,EO=1,則線段AE的長(zhǎng)為^（2020?嘉興）如圖，回ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件:使團(tuán)ABCD是菱形.TOC\o"1-5"\h\zB C（2019廣西北部灣）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交與點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AH±BC于點(diǎn)出已知BO=4,S菱形ABCD=24,則UAH= .（2019內(nèi)蒙古通遼）如圖，在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，NA=60°,M是AD邊上的一點(diǎn)，且AM=3AD,N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將^AMN沿MN所在直線翻折得到^A，MN,連接A，C.則A，C長(zhǎng)度的最小值是 ^（2019湖南常德）規(guī)定：如果一個(gè)四邊形有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四邊形為廣義菱形.根據(jù)規(guī)定判斷下面四個(gè)結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊形是廣義菱形；③對(duì)角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M、N的坐標(biāo)分別為（0,1）,（0,-1）,P是二次函數(shù)y=4x2的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，PQ垂直直線y=-1于點(diǎn)Q,則四邊形PMNQ是廣義菱形.其中正確的是 .（填序號(hào)）（2019廣西梧州）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60。，將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)得到菱形AEFG，點(diǎn)E在AC上，EF與CD交于點(diǎn)P，則DP的長(zhǎng)是.三、解答題（2020?濱州）如圖，過回ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)E作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC、CD、DA于點(diǎn)P、M、Q、N.（1）求證：△PBE04QDE；（2）順次連接點(diǎn)P、M、Q、N,求證：四邊形PMQN是菱形.,Y（2020?郴州）如圖，在菱形ABCD中，將對(duì)角線AC分別向兩端延長(zhǎng)到點(diǎn)E和F,使得AE=CF.連接DE,DF,BE,BF.求證：四邊形BEDF是菱形.

（2019?海南?。┤鐖D，在邊長(zhǎng)為l的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、D不重合），射線PE與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.（1）求證：△PDE04QCE；（2）過點(diǎn)E作EF〃BC交PB于點(diǎn)F,連結(jié)AF,當(dāng)PB=PQ時(shí)，①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；②請(qǐng)判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由.（2019北京市）如圖1,在菱形ABCD中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E,F分別在AB,AD上，BE=DF,連接EF.（1）求證:ACXEF；1（2）如圖2,延長(zhǎng)EF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接BD交AC于點(diǎn)O,若BD=4,tanG=萬，求AO的長(zhǎng).圖1圖圖1圖2專題26菱形問題例知姬殿.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。.菱形的性質(zhì)菱形的四條邊都相等；（2）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。.菱形的判定定理（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四條邊相等的四邊形是菱形。4.菱形的面積：S=ah=mn/2（菱形底邊長(zhǎng)為a,高為h,兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為m和n）例題解析與對(duì)點(diǎn)琉習(xí)【例題1】（2020?牡丹江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是菱形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)，AD〃x軸且AD=4,NA=60°,將菱形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在x軸上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A.(0,2d3) B.(2,-4)C.(2d3,0) D.(0,2d3)或(0,-2d3)【答案】D【解析】分點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸和y軸負(fù)半軸兩種情況分別討論，結(jié)合菱形的性質(zhì)求解.根據(jù)菱形的對(duì)稱性可得：當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，A、B、C均在坐標(biāo)軸上，如圖，VZBAD=60°,AD=4,AZOAD=30°,AOD=2,.?.AO=d42-22=2d3=OC,???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-2d3）,同理：當(dāng)點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2d3),???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2d3)或(0,-2d3).【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019瀘州）一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為6,面積為28,則該菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和為（ ）A.8 B.12 C.16 D.32【答案】C【解析】如圖所示：???四邊形ABCD是菱形，.??AO=CO=；AC,DO=BO=；BD,AC±BD,???面積為28,A1AC-BD=2OD-AO=28①2???菱形的邊長(zhǎng)為6,AOD2+OA2=36②，由①②兩式可得：（OD+AO）2=OD2+OA2+2OD?AO=36+28=64..??OD+AO=8,.??2（OD+AO）=16,即該菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和為16.【例題2】（2020?營(yíng)口）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,其中OA=1,OB=2,則菱形ABCD的面積為 ^【答案】4【解析】根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線之積的一半可得答案.VOA=1,OB=2,AAC=2,BD=4,???菱形ABCD的面積為1X2X4=4.2【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019湖北十堰）如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E為BC的中點(diǎn)，若OE=3,則菱形的周長(zhǎng)為 ^【答案】24【解析】???四邊形ABCD是菱形，AAB=BC=CD=AD,BO=DO,???點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AOE是ABCD的中位線，ACD=2OE=2X3=6,，菱形ABCD的周長(zhǎng)=4X6=24【例題3】（2020?福建）如圖，點(diǎn)E,F分別在菱形ABCD的邊BC,CD上，且BE=DF.求證：NBAE=NDAF.【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)菱形的性質(zhì)可得nb=nd,ab=ad,再證明Aabe/Aadf,即可得nbae=ZDAF.證明：四邊形ABCD是菱形，AZB=ZD,AB=AD,在^ABE和AADF中,(AB=AD■ZB=ND,(BE=DFAAABE^AADF(SAS),AZBAE=ZDAF.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2019湖南岳陽(yáng))如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AD、CD邊上的點(diǎn)，DE=DF,求證：/1=/2.【答案】見解析.【解析】證明：???四邊形ABCD是菱形，AAD=CD,rAD=CD，ZD=ZD在^ADF和^CDE中，DP=DE,AAADF^ACDE(SAS),??.Z1=Z2.專題點(diǎn)對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題(2020?黃岡)若菱形的周長(zhǎng)為16,高為2,則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為( )A.4：1B.5：1C.6：1D.7：1【答案】B【解析】如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2,利用菱形的性質(zhì)得到AB=4,利用正弦的定義得到NB=30°,則NC=150°,從而得到NC：NB的比值.如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2,???菱形的周長(zhǎng)為16,AAB=4,在RtAABH中，sinB=AH=2=1,AB4 2AZB=30°,?「AB〃CD,AZC=150°,AZC：ZB=5：1.（2020?鹽城）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,H為BC中點(diǎn)，AC=BD=8.則線段OH的長(zhǎng)為（ ）A.12B.；C.3D.5【答案】B【解析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ACLBD,OB=OD=1BD=4,OC=OA=1AC=3,再利用勾2 2股定理計(jì)算出BC,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到OH的長(zhǎng).???四邊形ABCD為菱形，AACXBD,OB=OD=1BD=4,OC=OA=1AC=3,22在RtABOC中，BC=叱32+42=5,VH為BC中點(diǎn)，AOH=1BC=5.22（2020?樂山）如圖，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°,O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OEXCD于點(diǎn)E,連結(jié)OA.則四邊形AOED的周長(zhǎng)為（ ）A.9+2/3 B.9+V3 C.7+2V3 D.8【答案】B【解析】先利用菱形的性質(zhì)得AD=AB=4,AB〃CD,ZADB=ZCDB=30°,AO±BD,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AO=2,OD=273,然后計(jì)算出OE、DE的長(zhǎng)，最后計(jì)算四邊形AOED的周長(zhǎng).V?四邊形ABCD為菱形，AAD=AB=4,AB〃CD,VZBAD=120°,AZADB=ZCDB=30°,VO是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，，AO，BD,在RtAAOD中，AO=1AD=2,2OD=V3oa=2/3,VOE±CD,AZDEO=90°,在RtADOE中，OE=1OD=73,2DE=/3OE=3,，四邊形AOED的周長(zhǎng)=4+2+/3+3=9+/3.（2020?甘孜州）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E為AB的中點(diǎn).若

菱形ABCD菱形ABCD的周長(zhǎng)為32,貝UOE的長(zhǎng)為（ ）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD=8,AC,BD,則NAOB=90°,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案.??四邊形ABCD是菱形，AAB=BC=CD=AD,AC±BD,AZAOB=90°,??菱形ABCD的周長(zhǎng)為32,AAB=8,E為AB邊中點(diǎn)，.\OE=1AB=4.25.（2020?遵義）如圖，在菱形ABCD中，AB=5,AC=6,過點(diǎn)D作DE^BA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則線段DE的長(zhǎng)為（ ）245A.245A.12B.18C.4D.【答案】D【解析】由在菱形ABCD中，AB=5,AC=6,利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理，求得OB的長(zhǎng)，繼而可求得BD的長(zhǎng)，然后由菱形的面積公式可求得線段DE的長(zhǎng).如圖.??四邊形ABCD是菱形，AC=6,AACXBD,OA=；AC=3,BD=2OB,AB=5,AOB=VAB2-OA2=4,ABD=2OB=8,S菱形ABCD=AB?DE=1AC?BD,2%C,BD_1X6X8_24TOC\o"1-5"\h\z?DE=2 -2 —AB 5 53 C（2019內(nèi)蒙古赤峰）如圖，菱形ABCD周長(zhǎng)為20,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是CD的中點(diǎn)，則OE的長(zhǎng)是（ ）A.2.5B.3 C.4D.5【答案】A【解析】V四邊形ABCD為菱形，.?.CD=BC—為=5,且O為BD的中點(diǎn)，4VE為CD的中點(diǎn)，AOE為^BCD的中位線，.\OE=108=2.527.(2019?四川省綿陽(yáng)市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，0(0,0),A(4,0),NA0C=60°,則對(duì)角線交點(diǎn)E的坐標(biāo)為()A.、B.「C.」：D.一【答案】D【解析】過點(diǎn)E作EF±x軸于點(diǎn)F,??四邊形OABC為菱形，NAOC=60°,^LAQE=iLAOC?? - =30°,ZFAE=60°,A(4,0),AOA=4,ZLZ7=<4(?=.M4A- - =2,"JI EF=-. =.：I=」,EF= = =AOF=AO-AF=4-1=3,

（2019?四川省廣安市）如圖，在邊長(zhǎng)為、回的菱形ABCD中，/B=30。，過點(diǎn)A作AE1BC于點(diǎn)E，現(xiàn)將^ABE沿直線AE翻折至^AFE的位置，AF與CD交于點(diǎn)G則CG等于（）TOC\o"1-5"\h\zA.\：3-1B.1C.一D..-^―2 2【答案】A【解析】因?yàn)镹B=30°,AB=v：3,AE±BC,一L 3 一L ■-3所以BE=—，所以EC=v3--,2 2則CF=3-v：3,又因?yàn)镃G〃AB,所以CGAB所以CGABCFBf所以CG=v13—1.（2019四川省雅安市）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,AC、BD是對(duì)角線，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE,則四邊形EFGH的形狀是（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形 D.正方形

【答案】C【解析】由點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，根據(jù)三角11形中位線性質(zhì)，得EF=GH=2AB,EH=FG=?CD,又由AB=CD,^EF=FG=GH=EH時(shí)，四邊形EFGH是菱形.1???點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，?，?EF=GH=2AB,1EH=FG=2CD,VAB=CD,AEF=FG=GH=EH時(shí)，四邊形EFGH是菱形，故選C.（2019?貴州安順）如圖，在菱形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于2CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)；②作直線MN,且MN恰好經(jīng)過點(diǎn)A,與CD交于點(diǎn)E,連接BE.則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A.ZABC=60°B.SAABE=2SAADEC,若AB=4,則UBE=4"7d.sinZCBE=四【答案】C【解析】由作法得AE垂直平分CD,即CE=DE,AE±CD,???四邊形ABCD為菱形，AAD=CD=2DE,AB〃DE,DE在RtAADE中，cosD=^=，,AZD=60°,AZABC=AZABC=60°，所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確;vsAabe=2ab-ae,sAade=2de-ae,而AB=2DE,.??54八3￡=254八口￡,所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確;若AB=4,貝UDE=2,?.AE=2-;3在RtAABE中，BE=：/+（2,3）'=2二；?，所以C選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤;作EH±BC交BC的延長(zhǎng)線于H,如圖，設(shè)AB=4a,貝UCE=2a,BC=4a,BE=2-;^a,在ACHE中，NECH=ND=60°,；.CH=a,EH=--3aeh小VaT...sinNCBE=BE= = ，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確故選：C. D二、填空題（2020?陜西）如圖，在菱形ABCD中，AB=6,NB=60°,點(diǎn)E在邊AD上，且AE=2.若直線l經(jīng)過點(diǎn)E,將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點(diǎn)F,則線段EF的長(zhǎng)為^【答案】2V7.【解析】過點(diǎn)A和點(diǎn)E作AG±BC,EHXBC于點(diǎn)G和H,可得矩形AGHE,再根據(jù)菱形ABCD中，AB=6,NB=60°,可得BG=3,AG=3V3=EH,由題意可得，F(xiàn)H=FC-HC=2-1=1,進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得EF的長(zhǎng).如圖，過點(diǎn)A和點(diǎn)E作AG±BC,EHXBC于點(diǎn)G和H,得矩形AGHE,AGH=AE=2,?.?在菱形ABCD中，AB=6,ZB=60°,ABG=3,AG=3V3=EH,.?.HC=BC-BG-GH=6-3-2=1,?「EF平分菱形面積，AFC=AE=2,AFH=FC-HC=2-1=1,在RtAEFH中，根據(jù)勾股定理，得EF=VEH2+FH2=V27+1=2近.（2020?哈爾濱）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在線段BO上，連接AE,若CD=2BE,ZDAE=ZDEA,EO=1,則線段AE的長(zhǎng)為^【答案】2近.【解析】設(shè)BE=x，則CD=2x,根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=AD=CD=2x,OB=OD,AC±BD,再證明DE=DA=2x,所以1+x=3x,解得x=2,然后利用勾股定理計(jì)算OA,再計(jì)算AE的2長(zhǎng).設(shè)BE=x，則CD=2x,???四邊形ABCD為菱形，AAB=AD=CD=2x,OB=OD,AC±BD,VZDAE=ZDEA,ADE=DA=2x,ABD=3x,.??OB=OD=3x,2VOE+BE=BO,二1+x=3x,解得x=2,2即AB=4,OB=3,在RtAAOB中，OA=V42-32=V7,在RtAAOE中，AE=V12+(77)2=2V2.(2020?嘉興)如圖，回ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件： ，使團(tuán)ABCD是菱形.【答案】AD=DC（答案不唯一）.【解析】根據(jù)菱形的定義得出答案即可.???鄰邊相等的平行四邊形是菱形，，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0，試添加一個(gè)條件：可以為：AD=DC.（2019廣西北部灣）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交與點(diǎn)0,過點(diǎn)A作AH±BC于點(diǎn)出已知B0=4,S菱形ABCD=24,貝UAH= .【答案】-.【解析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及菱形面積公式，根據(jù)菱形面積=對(duì)角線積的一半可求AC,再根據(jù)勾股定理求出BC,然后由菱形的面積即可得出結(jié)果.???四邊形ABCD是菱形，AB0=D0=4,A0=C0,AC±BD,二BD=8.1 1VS菱形ABCD=-ACXBD=24,AAC=6,A0C=-AC=3,乙 乙...bc=\OB2OC2=5,VS菱形ABCD=BCXAH=24,AAH=g.（2019內(nèi)蒙古通遼）如圖，在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，NA=60°,M是AD邊上的一點(diǎn)，且AM=§AD,N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將^AMN沿MN所在直線翻折得到^A，MN,連接A，C.則A，C長(zhǎng)度的最小值是【答案】回-1【解析】過點(diǎn)M作MHXCD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接CM,1VAM=3AD,AD=CD=3.\AM=1,MD=2VCD#AB,AZHDM=ZA=60°「「AHD=2MD=1,HM=U3hD=43.".CH=4AMC=Vliffi2+CH2=V19,將△AMN沿MN所在直線翻折得到MN,.,.AM=A'M=1,???點(diǎn)A在以M為圓心，AM為半徑的圓上，J當(dāng)點(diǎn)A'在線段MC上時(shí)，A（長(zhǎng)度有最小值A(chǔ)A'C長(zhǎng)度的最小值=MC-MA，='自-1（2019湖南常德）規(guī)定：如果一個(gè)四邊形有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四邊形為廣義菱形.根據(jù)規(guī)定判斷下面四個(gè)結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊形是廣義菱形；③對(duì)角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M、N的坐標(biāo)分別為(0,1),(0,-1),P是二次函數(shù)y=4x2的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，PQ垂直直線y=-1于點(diǎn)Q,則四邊形PMNQ是廣義菱形.其中正確的是 .(填序號(hào))【答案】①②④.【解析】①根據(jù)廣義菱形的定義，正方形和菱形都有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，①正確；②平行四邊形有一組對(duì)邊平行，沒有一組鄰邊相等，②錯(cuò)誤；③由給出條件無法得到一組對(duì)邊平行，③錯(cuò)誤；④設(shè)點(diǎn)P(m,4m2),則UQ(m,-1),.MP=M+*m2THm2+11pq=11n?,廠Q +-L,???點(diǎn)P在第一象限，.??m>0,12AMP=4"+1,AMP=PQ,XVMN#PQ,???四邊形PMNQ是廣義菱形.④正確；故答案為①②④.(2019廣西梧州)如圖，在菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60。，將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)得到菱形AEFG，點(diǎn)E在AC上，EF與CD交于點(diǎn)P，則DP的長(zhǎng)是.【答案】、八-1【解析】連接BD交AC于O，如圖所示：四邊形ABCD是菱形，?.CD=AB=2,ZBCD=ZBAD=60。，ZACD=ZBAC=1ZBAD=30。，OA=OC,2AC1BD,OB=1AB=12OA=3OBB=%3?AC=2V3,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE=AB=2,ZEAG=ZBAD=60。,CE=AC-AE=2<3-2??四邊形AEFG是菱形，,EF//AG，:.ZCEP=ZEAG=60。:.ZCEP+ZACD=90。，:.ZCPE=90。，?PE=1CE=<3-1，PC=<3PE=3-332.DP=CD-PC=2-(3-<3)=33-1三、解答題(2020?濱州)如圖，過回ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)E作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC、CD、DA于點(diǎn)P、M、Q、N.(1)求證：△PBE04QDE；(2)順次連接點(diǎn)P、M、Q、N,求證：四邊形PMQN是菱形.【答案】見解析?！窘馕觥?1)證明：二?四邊形ABCD是平行四邊形，AEB=ED,AB〃CD,AZEBP=ZEDQ,ZEBP=ZEDQ在^PBE和△QDE中，［EB=ED,ZBEP=ZDEQ/.△PBE^^QDE(ASA)；(2)證明：如圖所示：,/△PBE^^QDE,AEP=EQ,同理：△BME/^DNE(ASA),AEM=EN,???四邊形PMQN是平行四邊形，?「PQXMN,，四邊形PMQN是菱形.（2020?郴州）如圖，在菱形ABCD中，將對(duì)角線AC分別向兩端延長(zhǎng)到點(diǎn)E和F,使得AE=CF.連接DE,DF,BE,BF.求證：四邊形BEDF是菱形.【答案】見解析?！窘馕觥克倪呅蜛BCD是菱形，可得AB=BC=CD=DA,ZDCA=ZBCA,ZDAC=ZBAC,可以證明△CDF04CBF,4DAE04BFC,4DCF04BEA,進(jìn)而證明平行四邊形BEDF是菱形.證明：???四邊形ABCD是菱形，ABC=CD,ZDCA=ZBCA,AZDCF=ZBCF,VCF=CF,/.△CDF^^CBF(SAS),ADF=BF,?「AD〃BC,AZDAE=ZBCF,VAE=CF,DA=AB,AADAE^ABFC(SAS),ADE=BF,同理可證：△DCF/^BEA(SAS),ADF=BE,???四邊形BEDF是平行四邊形，VDF=BF,???平行四邊形BEDF是菱形.20.(2019?海南省)如圖，在邊長(zhǎng)為l的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)(與點(diǎn)A、D不重合)，射線PE與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.(1)求證：△PDE04QCE；(2)過點(diǎn)E作EF〃BC