2023屆新疆昌吉市教育共同體四校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)命題也成立。現(xiàn)已知當(dāng)n=8時(shí)該命題不成立，那么可推得A．當(dāng)n=7時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)n=7時(shí)該命題成立C．當(dāng)n=9時(shí)該命題不成立 D．當(dāng)n=9時(shí)該命題成立3．把邊長(zhǎng)為的正沿邊上的高線折成的二面角,則點(diǎn)到的距離是()A． B． C． D．4．若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖像的一個(gè)對(duì)稱中心可以為（）A． B． C． D．5．構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)，則與的面積之比為（）A． B． C． D．6．若實(shí)數(shù)x、y的取值如表，從散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且回歸方程為y=3.5x12345y27812mA．15 B．16 C．16.2 D．177．已知函數(shù)在處有極值10，則等于()A．1 B．2 C．—2 D．—18．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．9．已知f'x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，將y=fA． B．C． D．10．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，的值介于0到之間的概率為（）A． B． C． D．11．有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有（）A．34種 B．48種C．96種 D．144種12．已知均為實(shí)數(shù)，若（為虛數(shù)單位），則（）A．0 B．1 C．2 D．-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定積分的值為__________.14．矩陣的逆矩陣為__________.15．若對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．16．若變量，滿足約束條件則的最大值為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18．（12分）如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，，，且，A為BE的中點(diǎn)將沿AD折到位置如圖，連結(jié)PC，PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐．（Ⅰ）求證；（Ⅱ）若平面．①求二面角的大??；②在棱PC上存在點(diǎn)M，滿足，使得直線AM與平面PBC所成的角為，求的值．19．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)，且時(shí)，證明：.（常數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.20．（12分）如圖,四棱柱中,底面是等腰梯形,,,是線段的中點(diǎn),平面.(1)求證:平面；(2)若,求平面和平面所成的銳二面角的余弦值.21．（12分）已知數(shù)列滿足，.（I）求，，的值；（Ⅱ）歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.22．（10分）某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出（萬元）與銷售（萬元）之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：245683040605070若由資料可知對(duì)呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：（1）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）據(jù)此估計(jì)廣告費(fèi)用支出為10萬元時(shí)銷售收入的值.（參考公式：，.）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】令,則，設(shè)，令，，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，得，所以函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)需滿足，即．應(yīng)選答案D。點(diǎn)睛：解答本題時(shí)充分運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，先將函數(shù)解析式中的參數(shù)分離出來，得到，然后構(gòu)造函數(shù)，分別研究函數(shù)，的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，得，所以函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，即．使得問題獲解。2、A【解析】

根據(jù)逆否命題和原命題的真假一致性得，當(dāng)時(shí)命題不成立，則命題也不成立，所以選A.【詳解】根據(jù)逆否命題和原命題的真假一致性得，當(dāng)時(shí)命題不成立，則命題也不成立，所以當(dāng)時(shí)命題不成立，則命題也不成立，故答案為：A【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法和逆否命題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)互為逆否關(guān)系的命題同真同假，即原命題與逆否命題的真假性相同，原命題的逆命題和否命題的真假性相同.所以，如果某些命題（特別是含有否定概念的命題）的真假性難以判斷，一般可以判斷它的逆否命題的真假性.3、D【解析】

取中點(diǎn)，連接，根據(jù)垂直關(guān)系可知且平面，通過三線合一和線面垂直的性質(zhì)可得，，從而根據(jù)線面垂直的判定定理知平面，根據(jù)線面垂直性質(zhì)知，即為所求距離；在中利用勾股定理求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：為邊上的高，即為二面角的平面角，即且平面為正三角形為正三角形又為中點(diǎn)平面，平面又平面即為點(diǎn)到的距離又，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)到直線距離的求解，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系在立體圖形中找到所求距離，涉及到線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.4、A【解析】

通過平移得到，即可求得函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)，得到答案.【詳解】向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像，則其對(duì)稱中心為,或?qū)⑦x項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)驗(yàn)證,選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，以及熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.5、D【解析】

由題意得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，由余弦定理得出，結(jié)合三角形面積公式得出正確答案.【詳解】，，即點(diǎn)為的中點(diǎn)由余弦定理得：解得：故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理以及三角形的面積公式，屬于中檔題.6、D【解析】

計(jì)算出樣本的中心點(diǎn)x,y，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程可得出【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=1+2+3+4+55由于回歸直線過點(diǎn)x,y，所以，3.5×3-1.3=m+295【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線的基本性質(zhì)，在解回歸直線相關(guān)的問題時(shí)，熟悉結(jié)論“回歸直線過樣本的數(shù)據(jù)中心點(diǎn)x,7、B【解析】，，函數(shù)

在處有極值為10，，解得．經(jīng)檢驗(yàn)知，符合題意．，．選B．點(diǎn)睛：由于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)極值點(diǎn)的必要不充分條件，故在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后還要判斷在該零點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的值的符號(hào)是否發(fā)生變化，然后才能作出判斷．同樣在已知函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)的值時(shí)，根據(jù)求得參數(shù)的值后應(yīng)要進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷所求參數(shù)是否符合題意，最終作出取舍．8、D【解析】設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn),=m,=n,|F1F2|=2c，由雙曲線的定義可得m?n=2a，點(diǎn)P滿足,可得m2+n2=4c2，即有(m?n)2+2mn=4c2，又mn=2a2，可得4a2+4a2=4c2，即有c=a，則離心率e=故選：D.9、D【解析】

根據(jù)f'x的正負(fù)與f【詳解】因?yàn)閒'x是函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，f'x>0時(shí)，函數(shù)A中，直線對(duì)應(yīng)f'x，曲線對(duì)應(yīng)B中，x軸上方曲線對(duì)應(yīng)fx，x軸下方曲線對(duì)應(yīng)fC中，x軸上方曲線對(duì)應(yīng)f'x，x軸下方曲線對(duì)應(yīng)D中，無論x軸上方曲線或x軸下方曲線，對(duì)應(yīng)f'x時(shí)，fx都應(yīng)該是單調(diào)函數(shù)，但圖中是兩個(gè)不單調(diào)的函數(shù)，顯然故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系，熟記導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系即可，屬于?？碱}型.10、A【解析】因?yàn)?若,則,，故選A.11、C【解析】試題分析：,故選C.考點(diǎn)：排列組合.12、C【解析】

將已知等式整理為，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，即：則：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)相等的定義，涉及簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：，其中利用定積分的幾何意義計(jì)算.詳解：，其中的幾何意義為函數(shù)與直線及軸所圍成的圖形的面積，即圓在第一象限的部分的面積，其值為.而.所以原式.故答案為：.點(diǎn)睛：本題主要考查定積分，定積分的幾何意義，圓的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，解答定積分的計(jì)算，關(guān)鍵是熟練掌握定積分的相關(guān)性質(zhì).14、【解析】

通過逆矩陣的定義構(gòu)建方程組即可得到答案.【詳解】由逆矩陣的定義知：,設(shè)，由題意可得：，即解得，因此.【點(diǎn)睛】本題主要考查逆矩陣的相關(guān)計(jì)算，難度不大.15、【解析】

當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于恒成立，運(yùn)用基本不等式可得的最小值，從而可得的范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，不等式恒等價(jià)于恒成立，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取得等號(hào)，即有最小值，所以，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題、分類討論思想和分離參數(shù)的應(yīng)用以及基本不等式求最值，屬于中檔題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).16、9.【解析】分析：畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)求最值即可.詳解：作出如圖所示可行域：可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A（2,3）時(shí)取得最大值，故最大值為9.點(diǎn)睛：考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的最值問題，準(zhǔn)確畫出圖形，畫出可行域確定最優(yōu)解是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)得出平面，再由直線與平面垂直的性質(zhì)可證明出；（Ⅱ）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面和平面的法向量，利用向量法求出這兩個(gè)平面所成銳二面角的余弦值．【詳解】（Ⅰ）在正方體中，平面，平面，∴；（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，可得，∵平面，∴為平面的一個(gè)法向量，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線垂直的證明，考查利用空間向量法計(jì)算二面角，解題的關(guān)鍵就是計(jì)算出兩個(gè)平面的法向量，利用空間向量法來進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力與邏輯推理能力，屬于中等題．18、Ⅰ詳見解析；Ⅱ①，②或．【解析】

Ⅰ可以通過已知證明出平面PAB，這樣就可以證明出；Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求出二面角的大??；求出平面PBC的法向量，利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明：Ⅰ在圖1中，，，為平行四邊形，，，，當(dāng)沿AD折起時(shí)，，，即，，又，平面PAB，又平面PAB，．解：Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由于平面ABCD則0，，0，，1，，0，，1，1，，1，，0，，設(shè)平面PBC的法向量為y，，則，取，得0，，設(shè)平面PCD的法向量b，，則，取，得1，，設(shè)二面角的大小為，可知為鈍角，則，．二面角的大小為．設(shè)AM與面PBC所成角為，0，，1，，，，平面PBC的法向量0，，直線AM與平面PBC所成的角為，，解得或．【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直，考查了利用向量數(shù)量積，求二面角的大小以及通過線面角公式求定比分點(diǎn)問題.19、（1）（2）證明見解析【解析】

1，等價(jià)于方程在恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．即在恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．令，利用

函數(shù)圖象即可求解．

2要證明：只需證明，即證明要證明，即證明利用導(dǎo)數(shù)即可證明．【詳解】Ⅰ，，，函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，方程在恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．在恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．令，則．可得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．函數(shù)草圖如下，可得，．實(shí)數(shù)a的取值范圍為：2要證明：證明．證明，即證明．令則，時(shí)，，函數(shù)遞增，時(shí)，，遞減．，即原不等式成立．要證明，即證明．，故只需證明即可．令，則．時(shí)，，函數(shù)遞減，時(shí)，，函數(shù)遞增．，又，故原不等式成立．綜上，，【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值、單調(diào)性，考查了函數(shù)不等式的證明、分析法證明不等式，屬于中檔題．20、（1）證明見解析；（2）.【解析】分析：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可通過線面垂直的判定方法證得平面；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，即可求得答案.詳解：(1)證明方法一:連接，因?yàn)榈酌媸堑妊菪吻宜?，，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，因此，且，所以，且，又因?yàn)榍?，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，所以，平面平面，在平行四邊形中，因?yàn)?所以平行四邊形是菱形，因此，所以平面.解法二：底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以