河北省阜平一中2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，，0，1，2，3，…，6，則的值為()A． B． C．1 D．22．若實軸長為2的雙曲線上恰有4個不同的點滿足，其中，，則雙曲線C的虛軸長的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)是虛數(shù)單位)，則實數(shù)等于（）A．-2 B．2 C． D．4．高二年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參觀學(xué)習，去哪個工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的參觀方案有（）A．16種 B．18種 C．37種 D．48種5．在等差數(shù)列中，，，則的前10項和為（）A．-80 B．-85 C．-88 D．-906．下列關(guān)于回歸分析的說法中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）（1）回歸直線必過樣本點中；（2）殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預(yù)報精度越高；（3）殘差平方和越小的模型，擬合效果越好；（4）用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越大，說明模型的擬合效果越好．A．4 B．3 C．2 D．17．若，則（）A．10 B．-10 C．1014 D．10348．設(shè)：實數(shù)，滿足，且；：實數(shù)，滿足；則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．函數(shù)的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中m，n均大于0，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．1610．在去年的足球甲聯(lián)賽上，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1；二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年失球個數(shù)的標準差是0.4，你認為下列說法中正確的個數(shù)有（）①平均來說一隊比二隊防守技術(shù)好；②二隊比一隊防守技術(shù)水平更穩(wěn)定；③一隊防守有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好；④二隊很少不失球.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．已知不等式的解集為，點在直線上，其中，則的最小值為（）A．B．8C．9D．1212．已知函數(shù)，若方程有4個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)滿足，則__________．14．設(shè)復(fù)數(shù)，則_________________.15．位同學(xué)在一次聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀念品。已知位同學(xué)之間進行了次交換，且收到份紀念品的同學(xué)有人，問收到份紀念品的人數(shù)為_______16．若函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點在圓柱的底面圓上，為圓的直徑.（1）求證：；（2）若圓柱的體積為，，，求異面直線與所成的角（用反三角函數(shù)值表示結(jié)果）.18．（12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點．（1）證明：平面;（2）設(shè)，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離．19．（12分）某種設(shè)備隨著使用年限的增加，每年的維護費相應(yīng)增加.現(xiàn)對一批該設(shè)備進行調(diào)查，得到這批設(shè)備自購入使用之日起，前五年平均每臺設(shè)備每年的維護費用大致如下表：年份(年)12345維護費(萬元)1.11.51.82.22.4（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程；（Ⅱ）若該設(shè)備的價格是每臺5萬元，甲認為應(yīng)該使用滿五年換一次設(shè)備，而乙則認為應(yīng)該使用滿十年換一次設(shè)備，你認為甲和乙誰更有道理？并說明理由.(參考公式：.)20．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，點是棱的中點，點在棱上，且滿足.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項公式；（2）證明（1）中的猜想.22．（10分）已知函數(shù),．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ）證明:；（Ⅲ）當時，恒成立，求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)題意，采用賦值法，令得，再將原式化為根據(jù)二項式定理的相關(guān)運算，求得，從而求解出正確答案．【詳解】在中，令得，由，可得，故．故答案選C．【點睛】本題考查二項式定理的知識及其相關(guān)運算，考查考生的靈活轉(zhuǎn)化能力、分析問題和解決問題的能力．2、C【解析】

設(shè)點，由結(jié)合兩點間的距離公式得出點的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為雙曲線與點的軌跡有個公共點，并將雙曲線的方程與動點的軌跡方程聯(lián)立，由得出的取值范圍，可得出答案．【詳解】依題意可得，設(shè)，則由，得，整理得.由得，依題意可知，解得，則雙曲線C的虛軸長.3、C【解析】

化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)得到答案.【詳解】知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)且故答案選C【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)計算，屬于簡單題.4、C【解析】

根據(jù)題意，用間接法：先計算3個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再排除甲工廠無人去的情況，由分步計數(shù)原理可得其方案數(shù)目，由事件之間的關(guān)系，計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，若不考慮限制條件，每個班級都有4種選擇，共有4×4×4=64種情況，其中工廠甲沒有班級去，即每個班都選擇了其他三個工廠，此時每個班級都有3種選擇，共有3×3×3=27種方案；則符合條件的有64-27=37種，故選：C．【點睛】本題考查計數(shù)原理的運用，本題易錯的方法是：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有3×4×4=48種方案；顯然這種方法中有重復(fù)的計算；解題時特別要注意．5、A【解析】

用待定系數(shù)法可求出通項，于是可求得前10項和.【詳解】設(shè)的公差為，則，，所以，，前10項和為.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，求和公式，比較基礎(chǔ).6、B【解析】

利用回歸分析的相關(guān)知識逐一判斷即可【詳解】回歸直線必過樣本點中，故（1）正確殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預(yù)報精度越高，故（2）錯誤殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故（3）正確用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越大，說明模型的擬合效果越好，故（4）正確所以正確結(jié)論的個數(shù)為3故選：B【點睛】本題考查的是回歸分析的相關(guān)知識，較簡單.7、C【解析】

先求出，對等式兩邊求導(dǎo)，代入數(shù)據(jù)1得到答案.【詳解】取對等式兩邊求導(dǎo)取故答案為C【點睛】本題考查了二項式定理，對兩邊求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.8、A【解析】

利用充分必要性定義及不等式性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】當，且時，顯然成立，故充分性具備；反之不然，比如：a=100，b=0.5滿足，但推不出，且，故必要性不具備，所以是的充分不必要條件.故選A【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

試題分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可．解：∵x=﹣2時，y=loga1﹣1=﹣1，∴函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵點A在直線mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，=（）（2m+n）=4+++2≥4+2?=8，當且僅當m=，n=時取等號．故選C．考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．10、D【解析】在（1）中，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，

∴平均說來一隊比二隊防守技術(shù)好，故（1）正確；

在（2）中，一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1，二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴二隊比一隊技術(shù)水平更穩(wěn)定，故（2）正確；

在（3）中，一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1，二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴一隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好，故（3）正確；

在（4）中，二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴二隊很少不失球，故（4）正確.故選：D．11、C【解析】試題解析：依題可得不等式的解集為，故，所以即，又，則當且僅當時上式取等號，故選C考點：分式不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用12、B【解析】

作函數(shù)的圖像，方程有4個不同的實數(shù)根，從而得到，，，的范圍，代入化簡，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到取值范圍?！驹斀狻孔骱瘮?shù)的圖像如下：由圖可知：，，，故；由在單調(diào)遞減，所以的范圍是，即的取值范圍是；故答案選B【點睛】本題考查分段函數(shù)的運用，主要考查函數(shù)單調(diào)性的運用，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

設(shè)，,代入方程利用復(fù)數(shù)相等即可求解，求模即可.【詳解】設(shè)，,則，整理得：解得，所以，故答案為1【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)方程，屬于中檔題.14、1【解析】解法一：由題意可得：.解法二：15、【解析】

先確定如果都兩兩互相交換紀念品，共有次交換，可知有次交換沒有發(fā)生；再根據(jù)收到份紀念品的同學(xué)有人，可知甲與乙、甲與丙之間沒有交換，從而計算得到結(jié)果.【詳解】名同學(xué)兩兩互相交換紀念品，應(yīng)共有：次交換現(xiàn)共進行了次交換，則有次交換沒有發(fā)生收到份紀念品的同學(xué)有人一人與另外兩人未發(fā)生交換若甲與乙、甲與丙之間沒有交換，則甲、乙、丙未收到份紀念品收到份紀念品的人數(shù)為：人本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查排列組合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠確定未發(fā)生交換的次數(shù)，并且能夠根據(jù)收到份紀念品的人數(shù)確定未發(fā)生交換的情況.16、【解析】

分析函數(shù)的單調(diào)性，由題設(shè)條件得出，于此求出實數(shù)的取值范圍?！驹斀狻慨敃r，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增。由于函數(shù)的最小值為，則，得，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：?！军c睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，求解時要分析函數(shù)的單調(diào)性，還要注意分界點處函數(shù)值的大小關(guān)系，找出一些關(guān)鍵的點進行分析，考查分析問題，屬于中等題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)圓柱的幾何特征及圓周角定理，我們易根據(jù)已知中點P在圓柱的底面圓周上，AB為圓O的直徑，得到AP⊥BP，⊥BP，結(jié)合線面垂直的判定定理得到BP⊥平面后，易進一步得到BP⊥；

（2）延長PO交圓O于點Q，連接BQ，，結(jié)合圓柱的體積為，，我們易得∠即為異面直線與所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案.【詳解】解：解：（1）證明：易知AP⊥BP，又由⊥平面PAB，得⊥BP，

從而BP⊥平面，故BP⊥；

（2）解：延長PO交圓O于點Q，連接BQ，，則BQAP，得∠或它的補角為異面直線與所成的角.

由題意，解得＝3.

又，則為的直角三角形，則，得，

由余弦定理得，

則異面直線與所成的角為.【點睛】本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)及異面直線及其所成的角，其中熟練掌握圓柱的幾何特征，并從中分析出相關(guān)直線之間的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.18、（1）證明見解析（2）到平面的距離為【解析】

試題分析：（1）連結(jié)BD、AC相交于O，連結(jié)OE，則PB∥OE，由此能證明PB∥平面ACE．（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出A到平面PBD的距離試題解析：(1）設(shè)BD交AC于點O，連結(jié)EO．因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點．又E為PD的中點，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由題設(shè)易知，所以故，又所以到平面的距離為法2：等體積法由，可得.由題設(shè)易知,得BC假設(shè)到平面的距離為d，又因為PB=所以又因為(或)，，所以考點：線面平行的判定及點到面的距離19、（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.【解析】

（Ⅰ）先算出，再由公式分別算，和線性回歸方程。（Ⅱ）分別算出五年與十年的每臺設(shè)備的平均費用，費用越小越好?！驹斀狻?1)，所以回歸方程為.（Ⅱ）若滿五年換一次設(shè)備，則由（Ⅰ）知每年每臺設(shè)備的平均費用為：（萬元），若滿十年換一次設(shè)備，則由（Ⅰ）知每年每臺設(shè)備的平均費用大概為：（萬元），因為，所以甲更有道理．【點睛】求線性回歸直線方程的步驟（1）用散點圖或進行相關(guān)性檢驗判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）求系數(shù)：公式有兩種形式，即。當數(shù)據(jù)較復(fù)雜時，題目一般會給出部分中間結(jié)果，觀察這些中間結(jié)果來確定選用公式的哪種形式求；（3）求：.；（4）寫出回歸直線方程．20、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)得出平面，再由直線與平面垂直的性質(zhì)可證明出；（Ⅱ）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，計算出平面和平面的法向量，利用向量法求出這兩個平面所成銳二面角的余弦值．【詳解】（Ⅰ）在正方體中，平面，平面，∴；（Ⅱ）如圖，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，，設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令，可得，∵平面，∴為平面的一個法向量，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與直線垂直的證明，考查利用空間向量法計算二面角，解題的關(guān)鍵就是計算出兩個平面的法向量，利用空間向量法來進行計算，考查計算能力與邏輯推理能力，屬于中等題．21、（1）a1＝－1；a2＝－；a3＝－；猜想an＝－（n∈N*）（2）證明見解析【解析】

（1）分別令n＝1、2，通過解一元二次方程結(jié)合已知的遞推公式可以求出a1，a2，同理求出a3，根據(jù)它們的值的特征猜想{an}的通項公式；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法，通過解一元二次方程可以證明即可.【詳解】（1）當n＝1時，由已知得a1＝＋－1，即∴當n＝2時，由已知得a1＋a2＝＋－1，將a1＝－1代入并整理得＋2a2－2＝0.∴a2＝－（a