2023屆甘肅省武威市高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat14頁2023屆甘肅省武威市高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以的虛部?，故選：.2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，然后根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，故選：.3．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積及線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，所以，，，，則ACD錯(cuò)誤，B正確.故選：B.4．在中，，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理可得表達(dá)式，結(jié)合可得答案.【詳解】，因?yàn)椋?又，所以的范圍是.故選：B5．某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能是（

）A．計(jì)算 B．計(jì)算C．計(jì)算 D．計(jì)算【答案】A【分析】按流程圖順序計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】初始值；第1次循環(huán)，；第2次循環(huán)，；第3次循環(huán)，，；第4次循環(huán)，，此時(shí)，跳出循環(huán)，輸出.故選：A6．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系、充分和必要條件的知識確定正確答案.【詳解】因?yàn)閳A內(nèi)切于圓，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由誘導(dǎo)公式求出的值，再利用拆分角求得結(jié)果.【詳解】由，得.故選：C.8．在正四棱柱中，是的中點(diǎn)，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)線面角定義，先證明為與平面所成的角，再根據(jù)題設(shè)條件求出利用正弦的定義即可求解.【詳解】依題意，可得如圖：設(shè)底面的中心為，易得平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，則，所以平面，連接，則為與平面所成的角.因?yàn)椋?所以.故選：A.9．車?yán)遄邮且环N富含維生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到眾人的喜愛根據(jù)車?yán)遄拥墓麖酱笮?，可將其從小到大依次分為個(gè)等級，其等級（）與其對應(yīng)等級的市場銷售單價(jià)單位：元千克近似滿足函數(shù)關(guān)系式若花同樣的錢買到的級果比級果多倍，且級果的市場銷售單價(jià)為元千克，則級果的市場銷售單價(jià)最接近（

）參考數(shù)據(jù)：，，，A．元千克 B．元千克C．元千克 D．元千克【答案】C【分析】利用指數(shù)運(yùn)算，化簡求的值.【詳解】由題意可知，解得，由，可得（元/千克），最接近元千克故選：C10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得，由得，由在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，得，即可解決.【詳解】由題可知，，先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.所以的取值范圍為，故選：B11．已知是離心率為的雙曲線的右支上一點(diǎn)，則到直線的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的定義，將點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到右焦點(diǎn)的距離，再求右焦點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】已知雙曲線，可知，則，所以，分別為的左、右焦點(diǎn)，則，即，設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，且，則.故選：A.12．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用換底公式及做差法可比較大小，利用作為中間量可比較大小.【詳解】因?yàn)?，則，故；又，且，在上單調(diào)遞增，則，故，所以.故選：D二、填空題13．設(shè)滿足約束條件，則的最大值為__________.【答案】6【分析】作出可行域，根據(jù)的幾何意義，即可得出最大值.【詳解】畫出可行域解可得，.由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值6.故答案為：.14．已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為，，該圓臺的體積為，則該圓臺的高為______.【答案】3【分析】由圓臺的體積公式直接求得.【詳解】圓臺的體積，得.所以該圓臺的高為3.故答案為：3.15．定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則__________.【答案】【分析】由題可得，周期為4，據(jù)此可得答案.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，解得.又，所以，則，即是以4為周期的周期函數(shù)，故.故答案為：.16．為橢圓上一點(diǎn)，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，，，若，則到軸的距離為__________.【答案】【分析】首先表示出，，，的坐標(biāo)，依題意可得，即可得到為橢圓上一點(diǎn)，聯(lián)立兩橢圓方程，求出，即可得解.【詳解】解：不妨設(shè)，，，，則，為橢圓的焦點(diǎn)，所以，又，所以，且，所以在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，且，所以，所以為橢圓上一點(diǎn)，由，解得，則，故到軸的距離為.故答案為：三、解答題17．為了豐富大學(xué)生的課外生活，某高校團(tuán)委組織了有獎(jiǎng)猜謎知識競賽，共有名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將其整理后分成組，各組區(qū)間為，，，，并畫出如圖所示的頻率分布直方圖(1)估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績各組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表；(2)若團(tuán)委決定對所有參賽學(xué)生中成績排在前名的學(xué)生進(jìn)行表彰，估計(jì)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線【答案】(1)分(2)分【分析】(1)利用頻率分布直方圖頻率和為1計(jì)算再計(jì)算平均數(shù)；(2)獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率為，進(jìn)而可得最低分?jǐn)?shù)線在內(nèi)，再進(jìn)行求解.【詳解】（1）由，得這名參賽學(xué)生的平均成績約為分，故估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績?yōu)榉郑?）獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率為，設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為，由分?jǐn)?shù)在區(qū)間的頻率為，可知，由，得，故估計(jì)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為分18．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列式求，即可得結(jié)果；（2）利用分組求和可求得，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，∵，則，解得，故.（2）由（1）知，所以∵在上單調(diào)遞增，則數(shù)列為遞增數(shù)列，∴當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，.19．如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，，結(jié)合線面垂直的判定即可證；（2）點(diǎn)O到平面PAC距離，即為三棱錐面PAC的高，計(jì)算出與即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.連接，因?yàn)?，所?又，所以，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）因?yàn)?，所以?，.設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.因?yàn)?，所以，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.20．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且(1)求的方程(2)若直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，試問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由【答案】(1)(2)過定點(diǎn)，【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線，寫出根與系數(shù)關(guān)系，化簡已知條件來求得，進(jìn)而求得拋物線的方程.（2）連值直線拋物線，寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得直線的方程，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）將代入，得，則，則，解得，故的方程為（2）設(shè)，則，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以，因此直線的方程為，整理得，即，當(dāng)時(shí)，，故直線過定點(diǎn).21．已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，證明：【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合定義域確定，的解集即可得單調(diào)區(qū)間；（2）將原不等式變形整理成，構(gòu)造新函數(shù)，分析討論，時(shí)不等式成立情況，再將問題轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性與最值，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?，則，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明：由，得，則，所以，令，則，若，則當(dāng)時(shí)，，而，所以對不可能恒成立，所以令函數(shù)，則，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，令函數(shù)，則，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性、含參不等式恒成立與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中等難度題.解決本題中含雙參不等的關(guān)鍵是，先化簡指對混合結(jié)構(gòu)的不等式，利用指對同構(gòu)，涉及的母函數(shù)為

，則不等式化為恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，確定其單調(diào)性與最值即可轉(zhuǎn)換為恒成立，將雙參數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為單變量不等式恒成立問題，即再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其最值即可證得.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)過曲線上任意一點(diǎn)作與直線的夾角為45°的直線，且與交于點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)曲線的普通方程為；直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)【分析】（1）對曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得曲線的普通方程；將代入的極坐標(biāo)方程中，可得直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由，消去參數(shù)，可得曲線的普通方程為.將代入直線的極坐標(biāo)方程中，可得直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，則點(diǎn)到的距離其中.因?yàn)檫^點(diǎn)的直線與的夾角為45°，所以，故的最小值