第九講概率模型

第九講概率模型第1頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽不會從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“可導必連續(xù)”,“水從高處流向低處”,實例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象

第一節(jié)隨機現(xiàn)象

確定性現(xiàn)象的特征:

條件完全決定結果第2頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.實例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機現(xiàn)象結果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.第3頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三結果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.實例2“用同一門炮向同一目標發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點的情況”.結果:“彈落點會各不相同”.隨機現(xiàn)象的特征:條件不能完全決定結果第4頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三2.隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結果具有偶然性,但在大量重復試驗或觀察中,這種結果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性

,概率論就是研究隨機現(xiàn)象這種本質規(guī)律的一門數(shù)學學科.說明1.隨機現(xiàn)象揭示了條件和結果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關系無法用函數(shù)加以描述.第5頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三1.可以在相同的條件下重復地進行;2.每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結果;3.進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn).定義在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.3.隨機試驗第6頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三表1拋擲硬幣實驗結果表拋擲次數(shù)(n)正面向上的次數(shù)（頻數(shù)m）頻率（m/n）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500530000149840.499672088361240.5011當拋擲硬幣的次數(shù)很多時，出現(xiàn)正面的頻率值是穩(wěn)定的，接近于常數(shù)0.5，在它附近擺動。第7頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三結論：一般地，在大量重復進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率m/n總是接近于某個常數(shù)p，在它的附近擺動，這時就把這個常數(shù)p叫做事件A的概率，記作P(A)。第8頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

事件發(fā)生的可能性最大是百分之百，此時概率為1.0≤P(A)≤1我們用P(A)表示事件A發(fā)生的概率，則

事件發(fā)生的可能性最小是零，此時概率為0.第9頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對人們的生活有什么意義呢？我先給大家舉幾個例子，也希望你們再補充幾個例子.第10頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險金額.第11頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務人員.第12頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.第13頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

大量重復試驗的工作量大，且試驗數(shù)據(jù)不穩(wěn)定，且有些時候試驗帶有破壞性。

對于隨機事件，是否只能通過大量重復的實驗才能求其概率呢？

第二節(jié)古典概型第14頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

1．考察拋硬幣實驗，為什么在實驗之前你也可以想到拋一枚硬幣，正面向上的概率為1/2?

原因:（1）拋一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結果只有兩種；（2）硬幣是均勻的，所以出現(xiàn)這兩種結果的可能性是均等的。2．若拋擲一枚骰子，它落地時向上的點數(shù)為3的概率是多少？為什么？第15頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三歸納：那么，對于哪些隨機事件，我們可以通過分析其結果而求其概率？

（1）對于每次實驗，只可能出現(xiàn)有限個不同的實驗結果（2）所有不同的實驗結果，它們出現(xiàn)的可能性是相等的第16頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三在一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結果稱為基本事件.每一個基本事件發(fā)生的可能性都相同則稱這些基本事件為等可能基本事件.

通過以上兩個例子進行歸納：

我們將滿足（1）（2）兩個條件的隨機試驗的概率模型成為古典概型。由于以上這些都是歷史上最早研究的概率模型，對上述的數(shù)學模型我們稱為古典概型。(1)所有的基本事件是有限個。(2)每個基本事件的發(fā)生都是等可能的。第17頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三如果某個事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A的概率P(A)=m/n。古典概型的概率：如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個基本事件的概率都是1/n。第18頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三應用：擲一顆質地均勻的骰子，觀察擲出的點數(shù)，（1）寫出所有的基本事件，說明其是否是古典概型。

解：有6個基本事件，分別是“出現(xiàn)1點”，“出現(xiàn)2點”，……，“出現(xiàn)6點”。因為骰子的質地均勻，所以每個基本事件的發(fā)生是等可能的，因此它是古典概型。（2）觀察擲出的點數(shù)，求擲得奇數(shù)點的概率。

解：這個試驗的基本事件共有6個，即出現(xiàn)1點、出現(xiàn)2點、……、出現(xiàn)6點，所以基本事件數(shù)n=6；事件A={擲得奇數(shù)點}={出現(xiàn)1點，出現(xiàn)3點，出現(xiàn)5點},其包含的基本事件數(shù)m=3，所以P(A)=0.5。第19頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

例1從裝有3個白球和7個紅球的袋子中隨機摸取一個球，求A=“恰好取得白球”的概率。機動目錄上頁下頁返回結束

與“取得紅球”的概率相比，發(fā)生的可能性小的多。假如有人搞這種賭博活動，承諾取得白球給你10元，而取得紅球你給他6元，那么你認為設賭者最終是嬴家還是輸家？如果一天下來有100人參賭，則設賭者能賺（或賠）多少？第20頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

與此同理，福利彩票對絕大多數(shù)彩民來說，只能是奉獻。這是因為如果獎號為七位數(shù)，它的產(chǎn)生是從0-9十個數(shù)碼中可以重復地選取出來的。按照乘法原理，全部可能結果，即總基本事件數(shù)為107個，而這個特殊的獎號（中獎號碼）只是其中的一份即1/107，于是獲大獎的概率幾乎是不可能的。現(xiàn)在你對彩票有所了解嗎?機動目錄上頁下頁返回結束第21頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三求古典概型的步驟：（1）判斷是否為等可能性事件；（2）計算所有基本事件的總結果數(shù)n．（3）計算事件A所包含的結果數(shù)m．（4）計算第22頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三解:顯然每個人的生日在一年365天中的任意一天都是等可能的.為簡便，先來求64名學生生日各不相同的概率，然后利用逆事件概率公式解決。我們構建如下模型，設想將64名學生放到365個房間中去。每一種放法就是一個基本事件，因此基本事件總數(shù)是36564。由于每個人的生日都不同，故每個房間中至多放一名學生，共有365·364········302種不同的放法。機動目錄上頁下頁返回結束

例2：設一個班級有64人，那么至少有2個人生日相同的概率為多少？第23頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三于是，根據(jù)古典概型計算公式，64名學生生日各不相同的概率為

64名同學至少有2人生日相同的概率為

由此可見，當這個班級有64人時，“至少有兩個同學生日相同”的概率幾乎是1。

機動目錄上頁下頁返回結束第24頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三可以將上述模型一般化，即將64人改為n(n<365)人，則n個人中至少有2個同學生日相同的概率為機動目錄上頁下頁返回結束第25頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三用上面的公式可以計算此事出現(xiàn)的概率為=1-0.524=0.476

美國數(shù)學家伯格米尼曾經(jīng)做過一個別開生面的實驗，在一個盛況空前、人山人海的世界杯足球賽賽場上，他隨機地在某號看臺上召喚了22個球迷，請他們分別寫下自己的生日，結果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩人同生日。即22個球迷中至少有兩人同生日的概率為0.476.第26頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

這個概率不算小，因此它的出現(xiàn)不值得奇怪.計算后發(fā)現(xiàn)，這個概率隨著球迷人數(shù)的增加而迅速地增加，如下頁表所示：

第27頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

人數(shù)至少有兩人同 生日的概率200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有這些概率都是在假定一個人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下計算出來的.實際上,這個假定并不完全成立，有關的實際概率比表中給出的還要大.當人數(shù)超過23時，打賭說至少有兩人同生日是有利的.第28頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三且每次試驗的結果與其他次試驗無關——稱為這n次試驗是相互獨立的n重貝努利試驗。

試驗可重復n次每次試驗只有兩個可能的結果：

第三節(jié)貝努利概型

事件A出現(xiàn)k次的概率記為：第29頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三n重貝努利試驗：▲連續(xù)拋骰子10次，觀察出現(xiàn)偶數(shù)點的次數(shù)；▲某人打靶命中率為0.7，連續(xù)打靶15發(fā)子彈，觀察命中次數(shù)；▲在次品率為0.1的一批產(chǎn)品中，有放回地每次任取1件，重復8次，觀察其中的次品數(shù).

第30頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三一般地，若則第31頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

有5個女孩，她們?nèi)ハ床途?，在打破?個餐具中有3個是最小的女孩打破的，因此人家說她笨拙。你能否運用概率統(tǒng)計原理為她申辯，說這完全可能是碰巧？

舉例：她笨拙嗎？第32頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三分析：假設每個女孩打破餐具的概率相等，那么打破4個餐具中同一人打破3個的概率為根據(jù)小概率原理，這概率很小，可以認為在一次試驗中是不可能發(fā)生的。這意味著每個女孩打破餐具的概率不相等，也就是說，最小的女孩打破餐具的概率要大些。第33頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

假定不考慮英文寫作所占的15分，那么按及格成績60分計算，85道選擇題必須答對51道題以上。如果單靠碰運氣、瞎猜測的話，則每道題答對的概率為1/4，答錯的概率是3/4。顯然，各道題的解答互不影響，因此，可以將解答85道選擇題看成85重貝努利試驗。英語考試第34頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三這個概率非常小，因此可以認為，想靠碰運氣通過四級考試幾乎是一個不可能發(fā)生的事件，它相當于在一千億個想碰運氣的考生中，僅有0.874人能通過四級考試。設A表示答對的題數(shù)超過51，則第35頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三小結概率：頻率的穩(wěn)定值古典概型（1）試驗結果的有限性（2）所有結果的等可能性。P（A）=n重貝努利概型第36頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

法國有兩個大數(shù)學家，一個叫做巴斯卡爾，一個叫做費馬。

巴斯卡爾認識兩個賭徒，這兩個賭徒向他提出了一個問題。他們說，各出賭金100元,共200元，并約定誰先贏滿5局，誰取得全部200元，由于出現(xiàn)意外情況，

A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個錢應該怎么分？

引例一：賭博問題第四節(jié)數(shù)學期望第37頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三A勝4局B勝3局前七局:后二局:把已賭過的七局(A勝4局B勝3局)與上述結果相結合,即A、B賭完9局,AAAB

B

ABBA勝B

勝分析假設繼續(xù)賭兩局,則結果有以下四種情況:AAA

B

B

ABBA勝兩局A勝B負B勝A負B勝兩局第38頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三因此,A能“期望”得到的數(shù)目應為而B能“期望”得到的數(shù)目,則為故有,在賭技相同的情況下,A,B最終獲勝的可能性大小之比為即A應獲得賭金的而B只能獲得賭金的第39頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

設某射擊手在同樣的條件下,瞄準靶子相繼射擊90次,(命中的環(huán)數(shù)是一個隨機變量).射中次數(shù)記錄如下引例二射擊問題試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?命中環(huán)數(shù)k命中次數(shù)頻率第40頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三解平均射中環(huán)數(shù)第41頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三平均射中環(huán)數(shù)頻率隨機波動隨機波動隨機波動穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”等于射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的求和第42頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三設X為離散型隨機變量，其分布列為為X的數(shù)學期望數(shù)學期望的定義則稱第43頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三數(shù)學期望的本質——加權平均它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，表示了隨機變量在隨機實驗中取值的平均值，所以又常稱為隨機變量的平均數(shù)、均值。第44頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三分賭本問題A期望所得的賭金即為X的數(shù)學期望射擊問題

“平均射中環(huán)數(shù)”應為隨機變量Y的數(shù)學期望第45頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三試問哪個射手技術較好?實例一

誰的技術比較好?乙射手甲射手第46頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三解故甲射手的技術比較好.第47頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三實例二

發(fā)行彩票的創(chuàng)收利潤

某一彩票中心發(fā)行彩票10萬張,每張2元.設頭等獎1個,獎金1萬元,二等獎2個,獎金各5千元;三等獎10個,獎金各1千元;四等獎100個,獎金各100元;五等獎1000個,獎金各10元.每張彩票的成本費為0.3元,請計算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤.解設每張彩票中獎的數(shù)額為隨機變量X,則第48頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三每張彩票平均可賺每張彩票平均能得到獎金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行10萬張彩票的創(chuàng)收利潤為第49頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

法國有兩個大數(shù)學家，一個叫做巴斯卡爾，一個叫做費馬。

巴斯卡爾認識兩個賭徒，這兩個賭徒向他提出了一個問題。他們說，他倆下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，

A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個錢應該怎么分？

實例三正確的答案是：贏了4局的拿這個錢的3／4,贏了3局的拿這個錢的1／4

為什么呢？第50頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三

答案：假定他們倆再賭一局，或者A贏，或者B贏。

若是A贏滿了5局，錢應該全歸他；

若是A輸了，即A、

B各贏4局，這個錢應該對半分?，F(xiàn)在，A贏、輸?shù)目赡苄远际?／2,所以A拿的錢應該是（A拿的錢的數(shù)學期望）

1×1／2＋1／2×1／2＝3／4,

當然，

B就應該得1／4。第51頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三實例四“犯人”的機智

有一個古老的傳說，一個紳士因看不慣王爺?shù)乃魉鶠槎米锪怂?，并被關進了監(jiān)獄，眾人替他求情，王爺就給他出了個難題：給他兩個碗，一個碗里裝50個小黑球，另一個碗里裝50個小白球。規(guī)則是把他的眼睛蒙住，要他先選擇一個碗，并從這個碗里拿出一個球。如果他拿的是黑球，就要繼續(xù)關在監(jiān)獄；如果他拿的是白球，就將獲得自由。但在蒙住眼睛之前，允許他用他希望的任何方式把球進行混合。這個紳士兩眼直盯著兩個碗，因為關系到他今后的人生和眾人的情意，他不得不慎重考慮。王爺說：“這就要看你的造化了，你挑一個碗并從里面拿出一個白球的幾率是50%?！钡?2頁，共59頁，2023年，2月20日，星期三的確如此，這時他選中裝