2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)橫縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù).【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.2．如圖，在平行六面體中，設(shè)，，，則下列與向量相等的表達(dá)式是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，正確．故選：D3．從5名學(xué)生中選出正，副班長(zhǎng)各一名，不同的選法種數(shù)是（

）A．9 B．10 C．20 D．25【答案】C【分析】利用排列、排列數(shù)的定義直接列式計(jì)算作答.【詳解】從5名學(xué)生中選出正，副班長(zhǎng)各一名，不同的選法種數(shù)是.故選：C4．將4名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，志愿者小明不去花樣滑冰項(xiàng)目，則不同的分配方案共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．48種【答案】B【分析】先分析小明的分配方法，再將另外3名志愿者全排列，由分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】志愿者小明不去花樣滑冰項(xiàng)目，則小明有3種分配方法，將另外3名志愿者分配剩下的3個(gè)項(xiàng)目，有種分配方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的分配方案共有種．故選：B．5．用0，1，2，3，4可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】C【分析】當(dāng)個(gè)位數(shù)為0時(shí)，從其他4個(gè)數(shù)選3個(gè)進(jìn)行排列，當(dāng)個(gè)位數(shù)為2或4時(shí)，從剩下的非零的3個(gè)數(shù)中選一個(gè)排在千位，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)數(shù)中選2個(gè)排在十位和百位，最后用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】當(dāng)個(gè)位數(shù)為0時(shí)，有個(gè)，當(dāng)個(gè)位數(shù)為2或4時(shí)，有個(gè)，所以無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有24+36=60個(gè)，故選：C.6．小明準(zhǔn)備將新買(mǎi)的中國(guó)古典長(zhǎng)篇小說(shuō)四大名著《紅樓夢(mèng)》?《三國(guó)演義》?《水游傳》?《西游記》和《論語(yǔ)》五本書(shū)立起來(lái)放在書(shū)架上，若要求《三國(guó)演義》?《水汻傳》兩本書(shū)相鄰，且《論語(yǔ)》放在兩端，則不同的擺放方法有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合捆綁法運(yùn)算求解.【詳解】第一步：《論語(yǔ)》放在兩端，有種不同的擺放方法；第二步：將《三國(guó)演義》?《水汻傳》兩本書(shū)捆綁，再與剩余的兩本書(shū)一起排列，有種不同的擺放方法；所以共有種不同的擺放方法.故選：B.7．在下列條件中，一定能使空間中的四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共面定理，，若A，B，C不共線，且A，B，C，M共面，則其充要條件是，由此可判斷出答案.【詳解】根據(jù)向量共面定理，，若A，B，C不共線，且A，B，C，M共面，則其充要條件是，由此可得A，B，D不正確，選項(xiàng)C：，所以四點(diǎn)共面，故選：C.8．如圖，在直三棱柱中，是的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．若，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由向量垂直的坐標(biāo)表示可解得，即可由向量法求得，從而求得結(jié)果.【詳解】由題意得，設(shè)，則有，由得，，異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.二、多選題9．空間中三點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．C．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為 D．與夾角的余弦值是【答案】AB【分析】利用空間向量的求模公式，數(shù)量積公式及點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性即可判定.【詳解】由題意可得：，，所以，故A正確；，即，故B正確；點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：AB10．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（

）A．直線的方向向量，平面的法向量是，則；B．若非零向量滿足，則有；C．若是空間的一組基底，且，則四點(diǎn)共面；D．若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底；【答案】CD【分析】利用空間向量基底的概念與向量和向量間的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉橹本€的方向向量，為平面的法向量，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若非零向量滿足，則和的關(guān)系不確定，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，是空間的一組基底，且，則，即,可得A，B，C，D四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，是空間的一組基底，所以對(duì)于空間中的任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組，使，所以向量，，也是空間一組基底，故D正確，故選：CD．11．下列選項(xiàng)正確的是（

）A．有6個(gè)不同的球，取5個(gè)放入5個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子恰好放1個(gè)，則不同的存放方式有720種B．有7個(gè)不同的球，全部放入5個(gè)相同的盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，則不同的存放方式有140種C．有7個(gè)相同的球，取5個(gè)放入3個(gè)不同的盒子中，允許有盒子空，則不同的存放方式有18種D．有7個(gè)相同的球，全部放入3個(gè)相同的盒子中，允許有盒子空，則不同的存放方式有8種【答案】ABD【分析】用排列的定義求解判斷A，用分組分配法求解判斷B，用插隔板法求解判斷C，用列舉法求解判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，6個(gè)球選5個(gè)的排列，方法數(shù)為，A正確；選項(xiàng)B，按球的個(gè)數(shù)分類(lèi)討論得方法數(shù)為：，B正確；選項(xiàng)C，用插隔板法，相當(dāng)于8個(gè)相同的球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子里至少一個(gè)球，方法數(shù)為，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，存放方法在于球的個(gè)數(shù)，相當(dāng)于把7分成3個(gè)數(shù)的和（可以是0），，共8種方法，D正確．故選：ABD．12．已知正方體的棱長(zhǎng)為，為側(cè)面的中心，為棱的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），為上底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若平面，則C．若，則線段的最大值為D．當(dāng)與的所成角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分【答案】ACD【分析】證明，由此證明的面積為定值，再證明平面，結(jié)合錐體體積公式判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系由條件確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再求，判斷B；利用空間向量可判斷CD.【詳解】因?yàn)闉閭?cè)面的中心，所以為的中點(diǎn)，又為棱的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離的一半，設(shè)，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積，又，，且，平面，所以平面，所以三棱錐的體積，A正確；如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，為的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以向量為平面的一個(gè)法向量，設(shè)，，所以，因?yàn)槠矫妫?，所以，所以，所以，B錯(cuò)誤；設(shè)，則，又，因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以，所以?dāng)時(shí)，線段取最大值，最大值為；C正確；因?yàn)?，，又與的所成角為，所以，化簡(jiǎn)可得，且，所以點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分，D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解集的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法研究空間中的線面位置關(guān)系.三、填空題13．______．【答案】715【分析】利用組合數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】∵∴=……=.故答案為：.14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【分析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，【詳解】設(shè)，則，，故，得，故答案為：.15．10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排4人后排6人，現(xiàn)體育教師要從后排6人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法有__________種．（數(shù)字作答）【答案】450【分析】先從6個(gè)人中選2人調(diào)整到前排，再把2人在6個(gè)位置選2個(gè)進(jìn)行排列，按照乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】先從后排6人中抽2人，有種選法，再將抽2人調(diào)整到前排，共有6人，且其他人的相對(duì)順序不變，有種選法，故不同調(diào)整方法有種.故答案為：450.16．在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，．點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不含邊界），，則與平面所成角的正切值的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由垂直關(guān)系得點(diǎn)軌跡，根據(jù)結(jié)合圓的性質(zhì)可得，再根據(jù)直線與平面所成角的定義結(jié)合條件即得.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，得，，由題意得，故，得，故點(diǎn)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分，由題可知為的中點(diǎn)，如圖，當(dāng)共線時(shí)，取得最小值為，而，所以，因?yàn)槠矫妫耘c平面所成角即為，所以，故答案為：.四、解答題17．已知，，，，，求：(1)分別求出的坐標(biāo)；(2)與夾角的余弦值．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由向量垂直和平行可得關(guān)于的關(guān)系式，求解即可；（2）由（1）可得向量與的坐標(biāo)，進(jìn)而由夾角公式可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，則，．又，所以，即，解得，于是．（2）由（1）得，；設(shè)與的夾角為，因?yàn)椋耘c夾角的余弦值為．18．3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方法數(shù).(1)選5名同學(xué)排成一排：(2)全體站成一排，甲、乙不在兩端：(3)全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；(4)全體站成一排，男生彼此不相鄰；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)直接用排列原理求解；(2)先特殊后一般即可求解；(3)利用捆綁法求解；(4)利用插空法求解.【詳解】（1）無(wú)條件的排列問(wèn)題,排法有種.（2）先在中間五個(gè)位置選兩個(gè)位置安排甲，乙，然后剩余5個(gè)人在剩余五個(gè)位置全排列，所以有種.（3）相鄰問(wèn)題，利用捆綁法，共有種.（4）即不相鄰問(wèn)題，先排好女生共有種排法，男生在5個(gè)空中安插，共有種排法，所以共有種.19．按下列要求分配6本不同的書(shū)，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲?乙?丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本：【答案】(1)60(2)360(3)15【分析】（1）根據(jù)有序不均勻分組，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；（2）根據(jù)有序不均勻分組分配，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；（3）根據(jù)有序平均分組分配，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；【詳解】（1）依題意，先選1本有種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有種選法；最后余下3本全選有種方法，故共有種．（2）由（1）知，分組后共有60種方法，分別分給甲?乙?丙的方法共有種．（3）分三步，先從6本書(shū)選2本，再?gòu)?本書(shū)選2本，剩余的就是最后一份2本書(shū)，共有種方法，該過(guò)程出現(xiàn)了重復(fù)．不妨記6本書(shū)為?????，若第一步取了，第二步取了，第三步取了，記該種分法為，，，則種分法中還有，，?，，?，，?，，?，，，共種情況，而這種情況僅是??的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有種．20．已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角大??；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明平面，則有，在證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可．【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)M為中點(diǎn)，，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，因?yàn)槠矫?，所以即為平面PCD的一個(gè)法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，所以，即直線與平面所成角的大小為．21．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且(1)求證：；(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算得到證明.（2）確定，分別是棱，的中點(diǎn)時(shí)，體積取得最大值，建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面的法向量為，底面的法向量為，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）設(shè)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，則，，因?yàn)?，故．?）設(shè)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以?dāng)取得最大值時(shí)，三棱錐B1﹣BEF的體積取得最大值．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即，分別是棱，的中點(diǎn)時(shí)，體積取得最大值，此時(shí)，坐標(biāo)分別為，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，得．底面的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角的平面角為，由題意知為銳角．因?yàn)?，所以，于是．即二面角的正弦值為?2．如圖，在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，為正三角形，平面平面．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)在線段上是否存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)，使得平面和平面夾角的余弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)存在點(diǎn)，為中點(diǎn).【分析】（1）連接，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，，再由得到