2023屆北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題

2023屆北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)，再由集合并集的運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，，所以.故選：C.2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A，取特殊值判斷BCD.【詳解】，，即，故A正確；取，則不成立，故B錯(cuò)誤；取，則不成立，故C錯(cuò)誤；取，則，故D錯(cuò)誤.故選：A3．設(shè)，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】先求出展開式第項(xiàng)，再由列出方程，即可求出的值.【詳解】展開式第項(xiàng)，∵，∴，∴.故選：A.4．已知點(diǎn)，．若直線上存在點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將問題化為直線與圓有交點(diǎn)，注意直線所過定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再應(yīng)用點(diǎn)線距離公式列不等式求k的范圍.【詳解】由題設(shè)，問題等價(jià)于過定點(diǎn)的直線與圓有交點(diǎn)，又在圓外，所以只需，可得.故選：D5．已知函數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由的奇偶性、單調(diào)性結(jié)合充分條件、必要條件的概念即可得解.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，且為上的增函數(shù).當(dāng)時(shí)，，所以，即“”是“”的充分條件，當(dāng)時(shí)，，由的單調(diào)性知，，即，所以“”是“”成立的必要條件.綜上，“”是“”的充要條件.故選：C6．過雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為A．若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．或2【答案】B【分析】由題意易得所以，從而，再由求解.【詳解】解：在中，因?yàn)?，所以，則，所以，故選：B7．在長(zhǎng)方體中，與平面相交于點(diǎn)M，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面交線的性質(zhì)可知，又平行線分線段成比例即可得出正確答案，對(duì)于ABD可根據(jù)長(zhǎng)方體說明不一定成立.【詳解】如圖，連接，交于，連接，，在長(zhǎng)方體中，平面與平面的交線為,而平面，且平面，所以，又，，所以，故C正確.對(duì)于A，因?yàn)殚L(zhǎng)方體中與不一定垂直，故推不出，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)殚L(zhǎng)方體中與不一定相等，故推不出，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B知，不能推出與垂直，而是中線，所以推不出，故D錯(cuò)誤.故選：C8．聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為 B．的最大值為C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】D【分析】A.代入周期的定義，即可判斷；值，即可判斷；C.代入對(duì)稱性的公式，即可求解；D.根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程，即可判斷.【詳解】A.，故A錯(cuò)誤；B.，當(dāng)，時(shí)，取得最大值1，，當(dāng)，時(shí)，即，時(shí)，取得最大值，所以兩個(gè)函數(shù)不可能同時(shí)取得最大值，所以的最大值不是，故B錯(cuò)誤；C.，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；D.，即，，即或，解得：，所以函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：D9．如圖，圓M為的外接圓，，，N為邊BC的中點(diǎn)，則（

）A．5 B．10 C．13 D．26【答案】C【分析】由三角形中線性質(zhì)可知，再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交點(diǎn)可知，同理可得，再由數(shù)量積運(yùn)算即可得解.【詳解】是BC中點(diǎn)，，M為的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點(diǎn)，，同理可得，.故選：C10．已知項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列滿足，．若，則k的最大值是（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】通過條件，，得到，再利用條件得到，進(jìn)而得到不等關(guān)系：，從而得到的最大值.【詳解】由，，得到，即，當(dāng)時(shí)，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到：，所以.故選：B二、填空題11．若復(fù)數(shù)，則________.【答案】【解析】根據(jù)以及復(fù)數(shù)商的模等于復(fù)數(shù)的模的商，計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，考查了復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.12．函數(shù)的值域?yàn)開_______．【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別求和的值域，再取并集即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為?3．經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為______．【答案】【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)求出直線方程，可求得O點(diǎn)到直線距離，進(jìn)一步求出三角形面積.【詳解】由題意知，拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，，直線AB：，聯(lián)立方程，消去x可得，，韋達(dá)定理得，因?yàn)?，所以，即，所以直線AB：，所以點(diǎn)O到直線AB的距離為，所以.故答案為：三、雙空題14．在中，，，．（1）若，則________；（2）當(dāng)________（寫出一個(gè)可能的值）時(shí)，滿足條件的有兩個(gè)．【答案】

（答案不唯一）【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；（2）根據(jù)已知兩邊及一邊的對(duì)角求三角形解得情況，建立不等式求出的范圍即可得解.【詳解】（1），，，，由余弦定理，，即，解得.（2）因?yàn)?,所以當(dāng)時(shí)，方程有兩解，即，取即可滿足條件（答案不唯一）故答案為：；6.四、填空題15．某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方初始兵力，t為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方t時(shí)刻的兵力;正實(shí)數(shù)a，b分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為T．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若且，則；②若且，則；③若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；④若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①②④【分析】對(duì)于①根據(jù)已知條件利用作差法比較大小即可得出，所以①正確；對(duì)于②，利用①中結(jié)論可得藍(lán)方兵力先為0，即解得，②正確；對(duì)于③和④，若要紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，分別解出紅、藍(lán)兩方兵力為0時(shí)所用時(shí)間、，比較大小即可知③錯(cuò)誤，④正確.【詳解】對(duì)于①，若且，則，即，所以，由可得，即①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)根據(jù)①中的結(jié)論可知，所以藍(lán)方兵力先為0，即，化簡(jiǎn)可得，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，即，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為，所以②正確；對(duì)于③，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時(shí)間大于藍(lán)方即可，設(shè)紅方兵力為0時(shí)所用時(shí)間為，藍(lán)方兵力為0時(shí)所用時(shí)間為，即，可得同理可得即，解得又因?yàn)槎紴檎龑?shí)數(shù)，所以可得，紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；所以可得③錯(cuò)誤，④正確.故答案為：①②④.五、解答題16．如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面BDE；(2)求直線DE與平面ABE所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)D到平面ABE的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，然后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）利用空間向量的方法求線面角即可；（3）利用空間向量的方法求點(diǎn)到面的距離即可.【詳解】（1）在三棱柱中，，為，的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，，為中點(diǎn)，∴，∵，平面，∴平面.（2）如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，在直角三角形中，，，∴，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以.（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以.17．設(shè)函數(shù)，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得存在．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．條件①：；條件②：的最大值為；條件③：的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計(jì)分．【答案】(1)選擇條件②③，(2)最大值為，最小值為.【分析】（1）由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性可排除條件①，先利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解；（2）利用整體代入法，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）若選擇條件①，因?yàn)?，所以，由可得?duì)恒成立，與矛盾，所以選擇條件②③，由題意可得，設(shè)，由題意可得，其中，，因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，解得，所以，，由的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為可得，所以解得，所以.（2）由正弦函數(shù)的圖象可得當(dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.18．某地區(qū)組織所有高一學(xué)生參加了“科技的力量”主題知識(shí)竟答活動(dòng)，根據(jù)答題得分情況評(píng)選出一二三等獎(jiǎng)若干，為了解不同性別學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名參加活動(dòng)的高一學(xué)生，獲獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：性別人數(shù)獲獎(jiǎng)人數(shù)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)男生200101515女生300252540假設(shè)所有學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立．(1)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，求抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)的概率；(2)用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，以X表示這2名學(xué)生中獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為；從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為；從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見解析，期望(3)【分析】（1）直接計(jì)算概率；（2）的所有可能取值為0,1,2，求出高一男生獲獎(jiǎng)概率和高一女生獲獎(jiǎng)概率，再計(jì)算概率得到分布列，最后計(jì)算期望即可；（3）計(jì)算出，，比較大小即可.【詳解】（1）設(shè)事件為“分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名,抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)”，則，（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2.記事件為“從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名,該學(xué)生獲獎(jiǎng)”,事件為“從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名,該學(xué)生獲獎(jiǎng)”.由題設(shè)知,事件,相互獨(dú)立,且估計(jì)為估計(jì)為.所以,,.所以的分布列為012故的數(shù)學(xué)期望（3），理由：根據(jù)頻率估計(jì)概率得，由（2）知，，故，則.19．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)恒成立，求a的取值范圍；(3)證明：若在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則．【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）討論、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間；（2）由，討論、研究導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷單調(diào)性，進(jìn)而判斷題設(shè)不等式是否恒成立，即可得參數(shù)范圍；（3）根據(jù)（2）結(jié)論及零點(diǎn)存在性確定時(shí)在上存在唯一零點(diǎn)，由零點(diǎn)性質(zhì)及區(qū)間單調(diào)性，應(yīng)用分析法將問題轉(zhuǎn)化為證在上恒成立，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則在R上遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，若，則，在上遞減；若，則，在上遞增；綜上，時(shí)的遞增區(qū)間為R，無遞減區(qū)間；時(shí)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）由，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上遞增，則，滿足要求；當(dāng)時(shí)，由（1）知：在上遞減，在上遞增，而，所以在上遞減，在上遞增，要使對(duì)恒成立，所以，只需，令且，則，即遞減，所以，故在上不存在；綜上，（3）由（2）知：時(shí)，在恒有，故不可能有零點(diǎn)；時(shí)，在上遞減，在上遞增，且，所以上，無零點(diǎn)，即，且趨向于正無窮時(shí)趨向正無窮，所以，在上存在唯一，使，要證，只需在上恒成立即可，令，若，則，令，則，即在上遞增，故，所以，即在上遞增，故，所以在上恒成立，得證；故，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，通過討論確定在某一單調(diào)區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)的a的范圍后，應(yīng)用分析法證恒成立即可.20．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程及離心率；(2)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)為A，直線與E相交于M，N兩點(diǎn)，直線AM與直線相交于點(diǎn)Q．問：直線NQ是否經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由．【答案】(1)橢圓E的方程為，離心率為.(2)直線過定點(diǎn).【分析】(1)根據(jù)橢圓經(jīng)過點(diǎn)即可求得橢圓方程，利用離心率公式即可求離心率；(2)表示出直線的方程為，即可求得點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式表示得直線的方程為，即可求出與軸的交點(diǎn)，利用韋達(dá)定理等量替換即可求出直線NQ恒過的定點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓E的方程為，因?yàn)樗?，所以離心率為.（2）直線過定點(diǎn)，理由如下：由可得，顯然，設(shè)則有直線的方程為令，解得，則，所以直線的斜率為且，所以直線的方程為令，則所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵在于利用直線的點(diǎn)斜式方程求的點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式方程表示出直線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理等量代換求恒過定點(diǎn).21．已知有窮數(shù)列滿足．給定正整數(shù)m，若存在正整數(shù)s，，使得對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列A是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列．(1)判斷數(shù)列是否為連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列？是否為連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列？說明理由；(2)若項(xiàng)數(shù)為N的任意數(shù)列A都是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，求N的最小值；(3)若數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，而數(shù)列，數(shù)列與數(shù)列都是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，且，求的值．【答案】(1)數(shù)列是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，理由見解析；(2)11(3)0【分析】（1）根據(jù)新定義直接驗(yàn)證數(shù)列，1，0，1，0