2023屆安徽省宣城市高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

2023屆安徽省宣城市高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】化簡集合，根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以.故選：B.2．設(shè)復(fù)數(shù)滿，則=（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】運用復(fù)數(shù)四則運算及復(fù)數(shù)的模計算可得結(jié)果.【詳解】方法1：因為，所以.方法2：因為，所以.故選：C.3．已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由拋物線的焦半徑公式求解．【詳解】由題意可得，解得.故選：B．4．中國某些地方舉行婚禮時要在吉利方位放一張桌子，桌子上放一個裝滿糧食的升斗（如圖），斗面用紅紙糊住，斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子，寓意為糧食滿園、稱心如意、十全十美．如圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，把該升斗看作一個正四棱臺，下底面邊長為25cm，上底面邊長為10cm，側(cè)棱長為15cm，忽略其壁厚，則該升斗的容積約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算高，由體積公式得出答案.【詳解】上下底面對角線的長度分別為，則高.上底面的面積，下底面的面積.則.故選：C5．將5個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出將5個1和2個0隨機排成一行的種數(shù)和2個0不相鄰的種數(shù)，利用古典概型的概率公式直接求解.【詳解】將5個1和2個0隨機排成一行，總的排放方法有種.要使2個0不相鄰，利用插空法,5個1有6個位置可以放0,故排放方法有種.所以所求概率為.故選：D.6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和與差的正弦公式及誘導(dǎo)公式，結(jié)合二倍角的余弦公式即可求解.【詳解】由題意可知，，所以.故選：C.7．已知圓錐的底面半徑為，高為，當其內(nèi)接正四棱柱的體積最大時，該正四棱柱的外接球的表面積（單位：）為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正四棱柱底面邊長為a，高為h，運用相似三角形可得a與h的關(guān)系，運用導(dǎo)數(shù)研究正四棱柱體積的最大值，計算此時正四棱柱的外接球半徑，進而可得結(jié)果.【詳解】圓錐的軸截面如圖所示，為正四棱柱上底面的正中心，為圓錐底面的圓心，正四棱柱外接球的球心O，半徑為R，則，設(shè)正四棱柱底面邊長為a，高為h，則，，，，∵，∴，即：，∴，又∵，∴正四棱柱的體積為，（）∴，，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當時，取得最大值，此時，∴，，∴，∴正四棱柱的外接球的表面積為.故選：A.8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，，則（

）A．670 B．672 C．674 D．676【答案】D【分析】運用抽象函數(shù)的奇偶性表達式及導(dǎo)數(shù)運算可得的一個周期為3，再運用賦值及周期性計算可得一個周期內(nèi)的和，進而可求得結(jié)果.【詳解】∵為奇函數(shù)，∴，∴，即：，又∵，∴，①又∵為偶函數(shù)，∴，②∴將②中換成得：，③∴將③中換成得：，④由①④得：，∴的一個周期為3，∴，將代入③得：，∴又∵，∴.故選：D.二、多選題9．已知，則實數(shù)滿足（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】把指數(shù)式改寫為對數(shù)式，再結(jié)合對數(shù)運算法則、換底公式變形，利用基本不等式判斷各選項．【詳解】因為，所以，，，，易知，所以，A正確；，C錯；顯然，，，B錯；，D正確．故選：AD．10．下列命題中，正確的命題是（

）A．數(shù)據(jù)1，3，4，5，6，8，10的第60百分位數(shù)為5B．若隨機變量，，則C．若隨機變量，則取最大值時或4【答案】BCD【分析】對于A：直接求出第60百分位數(shù)，即可判斷；對于B：由正態(tài)曲線的對稱性直接求解；對于C：表示出，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于D：由分層隨機抽樣中方差的計算公式直接求解.【詳解】對于A：數(shù)據(jù)1，3，4，5，6，8，10一共有7個.因為，所以其第60百分位數(shù)為第5個，為6.故A錯誤；對于B：因為隨機變量，由正態(tài)曲線的對稱性可得：，所以，所以.故B正確；對于C：因為隨機變量，所以.所以要使最大，只需最大.由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得：當或4時，最大.故C正確；對于D：由題意可得男生成績的平均數(shù)為9，方差為11，記為.女生成績的平均數(shù)為7，方差為8，記為.所以全部10名學(xué)生的成績的平均數(shù)為.由分層隨機抽樣中方差的計算公式可得：.故D正確.故選：BCD11．已知點，，且點在圓上，為圓心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與圓相交所得的弦長為4B．的最大值為C．的面積的最大值為2D．當最大時，的面積為1【答案】ABD【分析】由圓的方程得圓C是以為圓心，以2為半徑的圓，根據(jù)圓上點與兩定點及直線MN的位置關(guān)系，分析選項正誤.【詳解】圓C：，即，所以圓C是以為圓心，以2為半徑的圓.對于A，直線MN的方程為，過圓心，所以直線MN與圓C相交所得的弦長為直徑4，故A項正確；對于B，，當點P為MN的延長線與圓的交點時，等號成立，故B項正確；對于C，設(shè)點P到直線MN的距離為d，則，因為直線MN過圓心，所以當時，最大為，故C項錯誤；對于D，當MP與圓C相切時，最大，不妨設(shè)，此時，故D項正確.故選：ABD.12．已知函數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的一個周期是C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最大值為【答案】ABD【分析】利用誘導(dǎo)公式判斷與是否相等判斷A，判斷與是否相等判斷B，利用三角函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷C、D.【詳解】已知，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，則，又函數(shù)連續(xù)，故C錯誤；對于D，因為，當時，所以的最大值為，當時，，，也取得最大值，所以的最大值為，故D正確；故選：ABD三、填空題13．的展開式中二項式系數(shù)最大的一項是________（用數(shù)字作答）．【答案】70【分析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)直接求得.【詳解】的二項展開式有9項，其每項的二項式系數(shù)為.由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得：當時，最大.故答案為：70.14．已知向量滿足，對任意的的最小值為，則與的夾角為________．【答案】【分析】利用模的計算得到恒成立，判斷出取等號的條件，即可求出與的夾角.【詳解】因為向量滿足，所以向量滿足.設(shè)與的夾角為所以因為任意的的最小值為，所以恒成立，配方后可得：恒成立，所以當時，取得最小值3，此時，解得：.又因為，所以.因為，所以.故答案為：.15．已知函數(shù)，則不等式的解集是________．【答案】【分析】令，判斷的奇偶性與單調(diào)性，則問題轉(zhuǎn)化為，即，即可得到自變量的不等式，解得即可.【詳解】因為，令，則，則函數(shù)為偶函數(shù)，又，當時，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，由可得，即，即，所以，解得，即不等式的解集是.故答案為：16．設(shè)雙曲線的兩個焦點為、，點是圓與雙曲線的一個公共點，，則該雙曲線的離心率為________．【答案】【分析】運用雙曲線的定義、向量加法及數(shù)量積、余弦定理計算可得結(jié)果.【詳解】由題意知，點P在雙曲線E上，不妨取設(shè)，則由雙曲線的定義知，，①因為O為的中點，所以，所以，又因為點P在圓上，所以，所以，即：，②又因為在△中，由余弦定理得：，即：，③由①②③得，所以.故答案為：.四、解答題17．已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，公差，設(shè)數(shù)列的前項和為，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等比中項的意義、等差數(shù)列前n項和公式求解作答.（2）令，判斷數(shù)列的單調(diào)性，確定正數(shù)項、負數(shù)項，再結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式分段求和作答.【詳解】（1）因為成等比數(shù)列，則有，即，而，解得，則，所以的通項公式是．（2）由（1）知，令，則數(shù)列為遞增數(shù)列，其前4項為負值，從第5項開始為正值，設(shè)的前項和為，則，若，，若，，所以.18．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，二面角的大小為．(1)證明：平面平面；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及等腰三角形的三線合一定理，利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理及二面角的平面角的定義，結(jié)合余弦定理、勾股定理的逆定理及面面垂直的判定定理即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，建立空間直線坐標系，求出相關(guān)點的坐標及直線的方向向量和平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合線面角與向量的夾角的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）設(shè)的中點分別，連接，因為底面是正方形，，所以，，又,平面，所以平面，又平面，所以．所以是二面角的平面角，即，又，所以，解得，因為，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面PBC．（2）由（1）知平面平面，以為坐標原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示則，，，，，，．設(shè)平面的一個法向量為，則,即，令，則，所以．設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.19．某校在一次慶?；顒又?，設(shè)計了一個“套圈游戲”，規(guī)則如下：每人3個套圈，向，兩個目標投擲，先向目標擲一次，套中得1分，沒有套中不得分，再向目標連續(xù)擲兩次，每套中一次得2分，沒套中不得分，根據(jù)累計得分發(fā)放獎品．已知小明每投擲一次，套中目標的概率為，套中目標的概率為，假設(shè)小明每次投擲的結(jié)果相互獨立，累計得分記為．(1)求小明恰好套中2次的概率；(2)求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析；期望為.【分析】（1）分析出小明恰好套中2次包括：套中，各一次和未套中，套中兩次.分別求概率即可得到答案；（2）由題意可得：的可能取值為0，1，2，3，4，5.分別求概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）小明恰好套中2次包括：套中，各一次和未套中，套中兩次.所以套中，各一次的概率為，未套中，套中兩次的概率未，所以小明恰好套中2次的概率.（2）由題意可得：的可能取值為0，1，2，3，4，5，，，，，.所以的分布列為012345所以.20．設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求的最小值．【答案】(1)鈍角三角形，理由見解析(2)【分析】（1）利用二倍角公式得到，即可得到，即可得到或，從而得到或，再說明，即可得解；（2）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，再利用基本不等式計算可得.【詳解】（1）解：為鈍角三角形，證明如下：由，則有，所以，因為，所以，則為銳角．所以，所以或，則或，由題意知，所以，所以，所以，故為鈍角三角形．（2）由（1）知，，由正弦定理，有當且僅當時等號成立，由為銳角，則，所以當時取最小值．21．已知橢圓的長軸長為4，且離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，直線，的斜率之積等于，求的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)列出方程，求解得出橢圓的標準方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達定理結(jié)合得出，再由距離公式、弦長公式得出的面積，最后由基本不等式得出的面積的取值范圍．【詳解】（1）解：橢圓的離心率為，即，長軸長為4，，，，故橢圓的方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立，得，則，，，所以，，，原點到的距離，當時，．當時，，當且僅當時等號成立．綜上，所以的面積的取值范圍是【點睛】關(guān)鍵點睛：解決問題（2）時，關(guān)鍵在于由得出，結(jié)合基本不等式求出的面積的取值范圍.22．已知函數(shù)．(1)若，求．(2)證明：，．【答案】(1);(2)證明見解析.【分析】（1）利用換元法，把題意轉(zhuǎn)化為證明.令，，分類討論：和，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得到，解出；（2）利用分析法，只