2023屆廣西柳州市新高三摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題

廣西柳州市2023屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，若復(fù)數(shù)的虛部與復(fù)數(shù)的虛部相等，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．－1 B． C．－2 D．14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為()A．2 B． C． D．5．若，則（

）A． B． C． D．6．若，則（

）A．－ B． C． D．7．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（

）A．2 B．－3 C．－2 D．08．已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則k＝（

）A． B． C． D．9．今年中國(guó)空間站將進(jìn)入到另一個(gè)全新的階段—正式建造階段，首批參加中國(guó)空間站建造的6名航天員，將會(huì)分別搭乘著神舟十四號(hào)和神舟十五號(hào)載人飛船，接連去往中國(guó)空間站，并且在上面“會(huì)師”.中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙安排2人，夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙安排1人.若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（）A．44種 B．48種 C．60種 D．50種10．若直線是曲線的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)在區(qū)間[0，]上不單調(diào)，則的最小值為（

）A．9 B．7 C．11 D．311．已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．12．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知直線是曲線的一條切線，則b＝___．14．展開式中的系數(shù)為___（用數(shù)字作答）．15．已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓上的一點(diǎn)，則的最大值為___．16．在正方體中，點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有下面四個(gè)命題：①直線DE與直線AC所成角為定值；②點(diǎn)E到直線AB的距離為定值；③三棱錐的體積為定值；④三棱錐外接球的體積為定值．其中所有真命題的序號(hào)是______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答17．在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知．(1)求角A的大??；(2)若，，求△ABC的面積．18．已知數(shù)列{}滿足，．(1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．年北京冬奧會(huì)的申辦成功與“億人上冰雪”口號(hào)的提出，將冰雪這個(gè)冷項(xiàng)目迅速炒“熱”．北京某綜合大學(xué)計(jì)劃在一年級(jí)開設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校一年級(jí)學(xué)生中抽取了人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興趣的占，而男生有人表示對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)沒有興趣．(1)完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？有興趣沒興趣合計(jì)男女合計(jì)(2)先從樣本對(duì)冰球有興趣的學(xué)生中按分層抽樣的方法取出名學(xué)生，再從這人中隨機(jī)抽取人，記抽取的人中有名男生，求的分布列和期望．20．如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且PM與面ABC所成角的正切值為，求二面角的平面角的余弦值．21．已知函數(shù)．（1）討論當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)性．（2）證明：．22．已知平面上動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）到F（0，1）的距離比Q（x，y）到直線的距離小1，記動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程．(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，－1），過點(diǎn)P作曲線C的切線，切點(diǎn)為A，若過點(diǎn)P的直線m與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，證明：．參考答案：1．B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再利用交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，即，所?故選：B.2．D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得的值，利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)的虛部與復(fù)數(shù)的虛部相等，則，則，因此，.故選：D.3．A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算求解即可【詳解】故選：A4．C【解析】【詳解】試題分析：時(shí)，成立，第一次進(jìn)入循環(huán)：；成立，第二次進(jìn)入循環(huán)：；成立，第三次進(jìn)入循環(huán)：，不成立，輸出，故選C.【名師點(diǎn)睛】解決此類型問題時(shí)要注意：第一，要明確是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，并根據(jù)各自的特點(diǎn)執(zhí)行循環(huán)體；第二，要明確圖中的累計(jì)變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化；第三，要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會(huì)判斷什么時(shí)候終止循環(huán)體，爭(zhēng)取寫出每一個(gè)循環(huán)，這樣避免出錯(cuò).5．A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較大小.【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，，，而，所以，?故選：A.6．B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可【詳解】由題意，，故故選：B7．C【解析】【分析】作出平面區(qū)域，結(jié)合圖像求直線在軸截距的最小值，通過平移直線可得在在點(diǎn)處取到最小值，代入運(yùn)算求解．【詳解】根據(jù)題意可得平面區(qū)域，如圖所示：∵目標(biāo)函數(shù)，即，則求直線在軸截距的最小值結(jié)合圖像可得在點(diǎn)處取到最小值故選：C．8．B【解析】【分析】圓心到直線的距離為，則,而，所以，解方程即可求出答案.【詳解】圓的圓心，所以圓心到直線的距離為，則，而，所以，解得：.故選：B.9．A【解析】【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理，利用間接法即可求解.【詳解】解：由題意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙安排2人，夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙安排1人，共有種方案；若甲、乙兩人同時(shí)在天和核心艙做實(shí)驗(yàn)，則有種方案；若甲、乙兩人同時(shí)在問天實(shí)驗(yàn)艙做實(shí)驗(yàn)，則有種方案.所以甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則共有不同的安排方案.故選：A.10．C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出的關(guān)系式，再求出函數(shù)含有數(shù)0的單調(diào)區(qū)間即可判斷作答.【詳解】因直線是曲線的一條對(duì)稱軸，則，即，由得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則，解得，所以的最小值為11.故選：C11．B【解析】【分析】作出函數(shù)的圖像，設(shè)，從而可化條件為方程有兩個(gè)根，利用數(shù)形結(jié)合可得，，根據(jù)韋達(dá)定理即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖像如下，由圖像可得，關(guān)于的方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，有兩個(gè)根，不妨設(shè)為；且，又故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程、由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力，屬于中檔題.12．B【解析】【分析】利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及雙曲線定義，用表示，再在兩個(gè)直角三角形中借助勾股定理求解作答.【詳解】依題意，直線都過點(diǎn)，如圖，有，，設(shè)，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法，由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.13．2【解析】【分析】求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線方程即可得解.【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則，所以切點(diǎn)為，代入，得，所以.故答案為：2.14．【解析】【分析】寫出展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)榈恼归_式通項(xiàng)為，，在中，，在中，令，可得，所以，展開式中的系數(shù)為.故答案為：.15．9【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義，整理代換可得，結(jié)合圖形可得，運(yùn)算求值．【詳解】根據(jù)題意可得：則點(diǎn)B為橢圓的左焦點(diǎn)，取橢圓的右焦點(diǎn)∴，即∵，即點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AF的延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：9．16．①③【解析】【分析】由線面垂直的性質(zhì)定理得線線垂直判斷①，由正方體的性質(zhì)，可通過到的距離來計(jì)算到的距離，從而判斷②，根據(jù)棱錐體積公式，判斷③，想象在不同位置時(shí)外接球的半徑的變化，判斷④．【詳解】易證平面，平面，所以恒有，直線DE與直線AC所成角為90°，所以①是真命題．點(diǎn)E到直線AB的距離與點(diǎn)E到直線的距離有關(guān)，所以②是假命題．因?yàn)?，由線面平行的判定定理可得平面，故點(diǎn)E到平面的距離d為定值，則為定值，所以③是真命題．平面，在上變化，例如點(diǎn)E在處和在的中點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的外接球半徑不同，故其外接球的體積不是定值，所以④是假命題．故答案為：①③17．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合內(nèi)角的范圍求解即可；（2）由余弦定理與面積公式求解即可(1)由已知及正弦定理知：．因?yàn)镃為銳角，則，所以．因?yàn)锳為銳角，則(2)由余弦定理，．則，即即，因?yàn)?，則所以△ABC的面積．18．(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列定義可證，可得是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式代入運(yùn)算；（2）因?yàn)?，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式整理運(yùn)算．(1)由題意可得：∵所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列則，即因此{(lán)}的通項(xiàng)公式為(2)由（1）知，令則所以．．綜上．19．(1)填表見解析，有的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”(2)分布列見解析，期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，計(jì)算的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）分析可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可計(jì)算得出的值.(1)解：（1）由題意可知，樣本中女生人數(shù)為，樣本中，對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興趣的女生人數(shù)為，根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：有興趣沒興趣合計(jì)男女合計(jì)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到，，所以，有的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”(2)解：由題意得，按分層抽樣方法抽取出來的人中，有個(gè)男生對(duì)冰球感興趣，有個(gè)女生對(duì)冰球感興趣，則的可能取值為、、，，，，所以的分布列如下表所示：所以，的期望為．20．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）證明：連接OB．法一：通過證明，得到，即可證明PO⊥平面ABC；法二：通過勾股定理證明到，又因?yàn)榧纯勺C明PO⊥平面ABC；（2）由（1）知，PO⊥面ABC∴OM為PM在面ABC上的射影，則∠PMO為PM與面ABC所成角，可得出，M為BC的中點(diǎn)．法一：作ME⊥AC于E，∴E為OC的中點(diǎn)，作交PA于F，連MF，∠MFE即為二面角的平面角，求出，代入求出的值，即可求出的值.法二:分別以O(shè)B，OC，OP為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，分別求出面AMP和面APC的法向量，由二面角的公式即可求出答案.(1)證明：連接OB．法一：∵，∴，即△ABC是直角三角形，又O為AC的中點(diǎn)，∴又∵，∴∴．∴，OB、AC平面ABC∴PO⊥平面ABC．法二：連接，，O為AC的中點(diǎn)∴因?yàn)椤?/p>

∴，∴∴，OB、AC平面ABC．∴PO⊥平面ABC．(2)由（1）知，PO⊥面ABC∴OM為PM在面ABC上的射影，∴∠PMO為PM與面ABC所成角，∴，∴，在△OMC中由正弦定理可得，∴M為BC的中點(diǎn)．法一：作ME⊥AC于E，∴E為OC的中點(diǎn)，作交PA于F，連MF∴MF⊥PA

∴∠MFE即為所求二面角的平面角，∴∴法二：分別以O(shè)B，OC，OP為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系M（，，0）．記為面AMP的法向量則．面APC的法向量．易知所成角為銳角記為21．（1）見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，按和兩類討論，得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）要證，即證．構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知對(duì)于二次函數(shù)．當(dāng)時(shí)，恒成立，f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有2個(gè)大于零的零點(diǎn)，分別是，當(dāng)，f(x)在單調(diào)遞增；當(dāng)，f(x)在和單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時(shí)，f(x)在（0，＋∞）單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)f(x)在單調(diào)遞增；單調(diào)遞減．（2）證明：要證，即證．（方法一）設(shè)，則，在（0，＋∞）上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以在（?）上存在唯一的零點(diǎn)m，且，即．所以h(x)在（0，m）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，．因?yàn)?，所以等?hào)不成立，所，所以，從而原不等式得證（方法二）不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，