(工業(yè)機(jī)器人)位姿描述與齊次變換

第二章位姿描述與齊次變換§2.1操作機(jī)器人工作過程分析一、操作機(jī)器人：具有和人類上肢相似的動作功能，用于操作作業(yè)的機(jī)器人，稱為～。二、人類操作過程分析(先看人?。?板擦黑板→講臺：（眼）定位（手）到位(手）抓?。ㄊ直郏┻\(yùn)動（手臂）停止（手）松開…工作方法？手眼協(xié)調(diào)?。幽?？）關(guān)鍵：位置（＋姿態(tài)），動作順序，動作要求三、機(jī)器人的典型工作分析（如何讓機(jī)器人完成？）：

1、軸孔類裝配

兩個基本問題： （1）動作順序及要求； （2）位置及姿態(tài)要求。

2、弧焊作業(yè)： 也需要解決上述兩個基本問題！

3、搬運(yùn)作業(yè)（例如碼垛） （結(jié)論同上）

4、其它操作作業(yè)（噴漆、上下料、點(diǎn)焊、…）

操作機(jī)器人工作任務(wù)描述兩個基本問題！ 關(guān)鍵：位姿描述！四、位姿定義：

位置和姿態(tài)合稱～。 （Position)(orientation)(pose)一、位姿表達(dá)

1、表達(dá)方式： 位置＋姿態(tài)

§2.2位姿描述與變換位姿可以用一個直角坐標(biāo)系表達(dá)，簡記為：三個坐標(biāo)軸空間點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)空間方位（線、面、體）2、特點(diǎn)：

位姿描述是相對的！

坐標(biāo)系在坐標(biāo)系中的位置：點(diǎn)在中的坐標(biāo)值。二、位置描述數(shù)學(xué)表達(dá)式：參考坐標(biāo)系描述對象矢量表達(dá)形式坐標(biāo)值形式三、姿態(tài)描述為了方便起見，先以平面坐標(biāo)系為例進(jìn)行講解，然后推廣到三維情況！如右圖所示，先將平移到，然后繞旋轉(zhuǎn)得到現(xiàn)在求的兩個坐標(biāo)軸在坐標(biāo)系中的姿態(tài)。坐標(biāo)軸的姿態(tài)值可用其單位矢量在參考坐標(biāo)系中的投影值表示！注意！ 由于笛卡兒坐標(biāo)系各個坐標(biāo)軸之間存在內(nèi)部約束，因此坐標(biāo)系的姿態(tài)描述一般是冗余的。例如在平面坐標(biāo)系情況下，只有一個獨(dú)立量

已知某點(diǎn)在中的位置，試求其在中的位置值。四、絕對描述由幾何學(xué)可知，要求出一點(diǎn)在絕對坐標(biāo)系中的位置，關(guān)鍵是求出其在中的位置，然后與坐標(biāo)原點(diǎn)值相加即可得到該點(diǎn)絕對位置。由幾何法，得：寫成矩陣形式？相對坐標(biāo)值分析：

該矩陣的出現(xiàn)是由于相對于旋轉(zhuǎn)造成的，即是由姿態(tài)引起的；（1）矩陣第一列：在中的姿態(tài)；（2）矩陣第二列：在中的姿態(tài)。五、姿態(tài)矩陣由坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的姿態(tài)構(gòu)成的矩陣，稱為～。六、齊次表達(dá)根據(jù)幾何學(xué)知識，上面第四小節(jié)中給定點(diǎn)的絕對位置為：

比較此矩陣與在中的姿態(tài)表達(dá)式，可知：

在中姿態(tài)，記作。寫成三維形式，有：

在中位置，記作分成兩塊，不便于記憶！若寫成如下齊次形式，有：齊次變換矩陣九、多次變換機(jī)器人一般由多個桿件構(gòu)成，為了到達(dá)某一位姿往往需要各個桿件都做出運(yùn)動，因此存在多次變換問題；第四節(jié)中的絕對變換結(jié)果是通過幾何法求得的，不能總用此法計算機(jī)器人位姿（？）。如何計算多次變換結(jié)果？1.幾何法計算結(jié)果：分析：2.運(yùn)動過程分析從運(yùn)動到，可以分解成如下幾個基本變換：平移變換：繞旋轉(zhuǎn)：3.試按照運(yùn)動順序計算相關(guān)基本變換矩陣相乘結(jié)果4.計算結(jié)果比較兩種方法結(jié)果相同！但后一種方法簡單！問題：是否僅僅按照運(yùn)動變換順序?qū)⑾嚓P(guān)的基本變換矩陣相乘，即可以得到齊次變換陣？5.驗證計算（繪圖即可）結(jié)論：

多次變換結(jié)果不僅與變換順序有關(guān)，而且與相對的坐標(biāo)系有關(guān)！ （1）必須正確確定變換順序！ （2）必須正確確定每次變換所相對的坐標(biāo)系的性質(zhì)！

若每次變換都是相對于前一個坐標(biāo)系進(jìn)行的，則變換結(jié)果等于各個基本變換矩陣順序相乘；若每次變換都是相對于參考坐標(biāo)系進(jìn)行的，則變換結(jié)果等于各個基本變換矩陣逆序相乘；問題：上述結(jié)論只是根據(jù)2次變換得到的，適應(yīng)于多次嗎？十、相對變換、絕對變換相對變換：若變換是相對于上一次變換得到的坐標(biāo)系進(jìn)行的，則稱為～。絕對變換：若變換是相對于參考坐標(biāo)系進(jìn)行的，則稱為～。相對變換結(jié)果：

順序相乘！絕對變換結(jié)果：

逆序相乘！十一、左乘、右乘左乘：在某一變換矩陣左面乘以一個矩陣絕對變換右乘：在某一變換矩陣右面乘以一個矩陣相對變換若確定了變換性質(zhì)，就沒必要再標(biāo)出所相對的坐標(biāo)系了！十二、逆變換已知，求物理含義：已知，問如把再變回到，其齊次變換矩陣＝？用途：機(jī)器人運(yùn)動控制！求法： （1）矢量法（不講，請同學(xué)自己做，作業(yè)） （2）解析法設(shè)：由于其逆變換陣仍然為齊次矩陣，因此可以假設(shè)：此外，有：∵∴有：即：利用矩陣塊乘法，得：（利用單位正交矩陣性質(zhì)）則：§2.3非直角坐標(biāo)系描述前面講的是如何用直角坐標(biāo)系進(jìn)行位姿描述及變換，其方法適用于所有機(jī)器人。但對某些機(jī)器人，用其它非直角坐標(biāo)系描述可能更為方便。一、圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)機(jī)器人（圖2－1）典型應(yīng)用場合：機(jī)床上下料位姿描述參數(shù)：圖2－1主要特點(diǎn)：機(jī)構(gòu)特點(diǎn)：運(yùn)動特點(diǎn)：優(yōu)缺點(diǎn)：P-R-P水平面內(nèi)相對姿態(tài)不變特別適合搬運(yùn)，占地大，平衡性差，…二、極坐標(biāo)系極坐標(biāo)機(jī)器人（圖2－2）典型應(yīng)用場合：空間運(yùn)用位姿描述參數(shù)：圖2－2主要特點(diǎn)：機(jī)構(gòu)特點(diǎn)：運(yùn)動特點(diǎn)：優(yōu)缺點(diǎn)：R-R-P極坐標(biāo)式運(yùn)動占地小，工作空間大，運(yùn)動控制較復(fù)雜，…坐標(biāo)系選擇原則：

視方便而定。一般情況下，上述兩種機(jī)器人采用專用坐標(biāo)系更方便。三、RPY(Roll,Pitch,Yaw)角直角坐標(biāo)系位姿描述法： 位置：坐標(biāo)原點(diǎn)，3個參數(shù)； 姿態(tài)：3根坐標(biāo)軸，3×3矩陣，9個參數(shù)。姿態(tài)矩陣9個參數(shù)中只有3個是獨(dú)立的！可否只用3個量完成姿態(tài)描述？如何求得？RPY角（圖2－3）：Roll:（繞本身縱軸－Z軸）側(cè)滾Pitch:（前后-繞Y軸）俯仰Yaw:偏航（繞X軸）側(cè)滾俯仰偏航RPY變換過程：各運(yùn)動均是相對于當(dāng)前的參考坐標(biāo)系進(jìn)行的！圖2－3RPY變換結(jié)果（絕對變換）：四、歐拉角變換過程1（Z-Y-X)：變換過程2(Z-Y-Z)：歐拉變換結(jié)果（相對變換）：第二種3參數(shù)定姿態(tài)法！五、繞過直角坐標(biāo)系原點(diǎn)任意軸旋轉(zhuǎn)（圖2－4）圖2－4用單位矢量表示求從圖可以看出，旋轉(zhuǎn)后有結(jié)果，且結(jié)果是唯一的;關(guān)鍵：可否用基本變換方法加以解決！ 姿態(tài)表達(dá)方法？方法1（人為RPY角或Euler角）：圖中：式中其它方法？帶球腕機(jī)器人運(yùn)動特點(diǎn)：

球腕一般放在機(jī)器人末端；前三個自由度用于實現(xiàn)位姿，后三個用于調(diào)整姿態(tài)；反解簡單；示教方便，便于應(yīng)用！擬人式機(jī)器人（圖3-8）？圖3-8擬人式機(jī)器人§3.3機(jī)器人工作空間一、概念：工作空間： 機(jī)器人反解存在的區(qū)域，稱為～為機(jī)器人可達(dá)位姿的集合。2.靈活工作空間： 在工作空間中，機(jī)器人的末端執(zhí)行器能夠從機(jī)構(gòu)允許的各個方向到達(dá)的位姿點(diǎn)的集合，稱為～3.可達(dá)工作空間： 機(jī)器人末端執(zhí)行器至少能以某一姿態(tài)到達(dá)的區(qū)域，稱為～靈活工作空間≤可達(dá)工作空間＝工作空間對機(jī)器人應(yīng)用有意義的空間：靈活工作空間！機(jī)器人樣本中給出的工作空間：機(jī)械接口的位姿空間二、示例：平面2桿2DOF機(jī)器人（圖3－9）設(shè)圖3-9示例半徑為2l的圓面原點(diǎn)無外徑為，內(nèi)徑為的圓環(huán)可達(dá)空間靈活工作空間在邊界上，只有一種姿態(tài)；在可達(dá)空間內(nèi)，只有2種姿態(tài)；若不可靈活地工作，則會大大降低機(jī)器人使用價值！對圖例機(jī)器人，只需在腕部再增加一個回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)自由度，則可使可達(dá)空間變成靈活工作空間（見黑板）。設(shè)計機(jī)器人時，應(yīng)該保證可達(dá)空間即為靈活工作空間！鑒于此，習(xí)慣上只用“工作空間”術(shù)語！三、工作空間繪制機(jī)器人只能在其工作空間中運(yùn)動，因此，了解其工作空間形狀、大小等是必須的！繪制方法：計算機(jī)繪圖。由計算機(jī)根據(jù)其運(yùn)動學(xué)方程繪出位姿點(diǎn)圖集，例如蒙特卡羅法。手工繪制。對一些簡單的情況，可以人工