選修4-2：矩陣與變換習(xí)題集

選修4-2：矩陣與變換習(xí)題集選修4,2:矩陣與變換習(xí)題集,,1、如圖所示，四邊形ABCD和四邊形分別是矩形和平行四邊ABCD形，其中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(,1,2),B(3,2),C(3,,2),1,,2),(3,7),(3,3)(求將四邊形ABCD變成四邊形的變換矩BCABCD陣M(10,,解:該變換為切變變換，設(shè)矩陣M為，，，k1,,yB'1033,,,,,,，則(，，，，，，k123,,,,,,,C'5A?,解得(323k,,k,B310,,x0,，所以，M為(5DC,,1,,3,,2、將曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45?,求所得曲線的方程(xy,1解：由題意，得旋轉(zhuǎn)變換矩陣,,22,,,cos45sin45,22,,,M, sin45cos4522,,,,22o o；O Q-,,22,,,,xx,,,,22,,,,,,設(shè)上的任意點(diǎn)在變換矩陣M作用下為，，xy,lPxy(,)Pxy yy,,22,,,,,,,,22,22,,xxy,,,,,22?,22,,,yxy,,,,,2222yx得(，，12222yx將曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45?,所得曲線的方程為(,,Ixy,1221,,3、已知二階矩陣A的屬于特征值，1的一個(gè)特征向量為，屬于特征值3的一個(gè)特征向,，，3,,1,,量為，求矩陣A(,,1,,abab,,1,labll,,,,,,,,,,,,解：設(shè)A二，由題知二，—3,,,,,,,,,,,,,,cd,33cdiled,，，，，，，，，，，，，，ab,,,31,,cd,,33,即，,ab,,3,,cd,,3,a,2,,b,1,解之得：，c,3,,d,0,21，?A—,,30,,,,,4、如圖矩形在變換的作用下變成了平行四邊形，求變OABCTOABCy'換所對應(yīng)的矩陣（TMB32'Al'BCCAx02-l,,,解法一：（1）由矩形變換成平行四邊形可以看成先將矩形繞著點(diǎn)OABCOABCOABCO0,,,,,,,,,,,,旋轉(zhuǎn)，得到矩形，然后再將矩形作切變變換得到平行四邊形900ABC0ABC,,,oOABC0/ 0,,cos90-sin900-1 ,,故旋轉(zhuǎn)變換矩陣為:,,,,,10sin90cos90,,,,0/ 0,xxxx10,,,,,,,,,,切變變換：，，，，，，，，，，，，，，，yyxyy,,11，，，，，，，，，，10,,?切變變換矩陣為,,-11,,100-10-1 ，，，，，，？矩陣，M,,,,,,,,-111011 ,,,,,,ab,,,解法二：（1）設(shè)矩陣，則點(diǎn)，，AA2,00,2,B2,11,3,,M,,,,,,,,,,,cd,,aba220abab22-1,，，，，，，，，，，，，，aba220abab22-1,，，，，，，，，，，，，，故：，，cdcd123,cdc，，，，，，，，，，20a,,,22c,,即：,21ab,,,,,23cd,,,a,0,,b,,10-1,,，解得：，o? 111 ,,,,d,1,5、設(shè)是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到倍，縱坐標(biāo)伸長到倍的伸壓變換(M23(?)求矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量；M22xy,1,1,,1(?)求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程(MM4920,,解：(?)由條件得矩陣，,10,,,,它的特征值為和，對應(yīng)的特征向量為及；23,,,,01,,,,1,」0,,2,1M,(?),,,1,,0,,3,,22xy,122,,lxy,,1橢圓M在的作用下的新曲線的方程為(496、設(shè)是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到倍，縱坐標(biāo)伸長到倍的伸壓變換(M23(?)求矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量；M22xy,1,1,,1MM(?)求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程(4920,,解：(?)由條件得矩陣，,10,,,,它的特征值為和，對應(yīng)的特征向量為及；23,,,,01,,,,1,,0,,2,1M,(?),,,1,,0,,3,,22xy,122,,lxy,JM橢圓在的作用下的新曲線的方程為(497、二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)(1,,1)與(,2,1)分別變換成點(diǎn)(J,,1)與(0,,2).,1(?)求矩陣M的逆矩陣M;(?)設(shè)直線在變換M作用下得到了直線m:2x,y=4,求的方程(11ababl,lab,20,,,,,,,,,,,,,,解：(？)設(shè)，則有一,—,,,,,,,,,,,,,,,cdcd,1,1cd1,2,,,,,,,,,,,,,,abab,,,,,,120,,,,且所以，解得,,cdcd,,,,,,,122,,a,1,,b,2,,c,3,,d,4,,21,,12,,,1,,所以M二,從而二M31,,,,34-,,,,22,xxxyl22,,,,,,,,,,,,,(?)因?yàn)榍襫i:2,xy,,4,,,,,,,,,yyxy3434，，，，，，，，，所以2(x+2y),(3x+4y)=4,即x+4=0,這就是直線1的方程。8、在直角坐標(biāo)系中,已知?ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)、B(l,1)、C(0,2),求？ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積010,1,,,,這里M=N=,,,,,,,,1010,,,,0,1,,0解:在矩陣N=的作用下，一個(gè)圖形變換為其繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的圖形，，，90,,10,,01,,在矩陣M=的作用下，一個(gè)圖形變換為與之關(guān)于直線對稱的圖形。因此，，y,x,,10,,?ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與?ABC全等，從而其面積等于?ABC的面積，即為121,,,331211,,,,,,9、給定矩陣M=,N=.及向量e二,e=ll,,,e=ll,,,，，12121,,,1,,,33⑴證明M和N互為逆矩陣；⑵證明e和e都是M的特征向量(112121,,,,,,,,,,21102110,,,,,,,,3333證明：(1)因?yàn)镸N==,NM=所以M和N互為逆矩陣(211,,,,,,,,,111,,,,,,1333(2)向量e二在M的作用下，其像與其保持共線，即=,,,,,1,,,,,,11H213,,,,,,,,,,,,,,,333,,,,21,,,,,111,,,,,,33向量e二在M的作用下，其像與其保持共線，即所以e和e是M的特征向量(1210、設(shè)是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到倍，縱坐標(biāo)伸長到倍的伸壓變換(M23(?)求矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量；M22xy,1,1,,1(?)求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程(MM4920,,解：(?)由條件得矩陣，M,,,03,,10,,,,它的特征值為和，對應(yīng)的特征向量為及；23,,,,01,,,,1,,220xy,122,,2,1,,Ixy,,1(?),橢圓在的作用下的新曲線的方程為(MM,,,491,,0,,3,,127,,,,11、已知矩陣，向量.，A,,,,,,4,14,,,,A,,(1)求矩陣的特征值、和特征向量、；,,12125(2)求的值.A,,,l,22f(),解：(1)矩陣的特征多項(xiàng)式為，,,,,,56A,,41,令,21,,,,,,,,當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得.,,,27nm,,,,,,,,mn⑵由得,得.mn,,3,1,12mn,,4,5555,,,,AAA(3)3(),,,,?A,121221435,,,,,,5555,,,,,,,,,,3()323.1122,,,,,,11339,,,,,,01,,0,1,,M,N,12,已知矩陣，。在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線，，，，1010,，，，2x,y,1,0在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的曲線，求曲線的方程FFMN010,110,,,,,,解：由題設(shè)得，設(shè)(X,y)是直線2x,y,1,0上任意一點(diǎn),MN,,,,,,,,,10100,1,,,,,