泛函分析希爾伯特空間中的規(guī)范正交系

§希爾伯特空間中的規(guī)范正交系主要內(nèi)容：規(guī)范正交系，完全規(guī)范正交系，Bessel不等式，Parseval等式，傅里葉展開式，格拉姆-施密特正交化過程。教學(xué)過程一、規(guī)范正交系與Bessel不等式、Paraseval等式1．規(guī)范正交系：設(shè)是內(nèi)積空間的一個不含零的子集，若中向量兩兩正交，則稱為中的正交系，又若中向量的范數(shù)都為1，則稱為中規(guī)范正交系。例1為維歐式空間，則向量集,為中規(guī)范正交系，其中當(dāng)時，；時，。在空間中，定義內(nèi)積為,，，則三角函數(shù)系為中規(guī)范正交系。顯然內(nèi)積空間中規(guī)范正交系是正交函數(shù)系概念的推廣。正交系有以下基本性質(zhì)：對正交系中任意有限個向量成立，（1）事實上，由于中向量兩兩正交，所以。正交系是中線性無關(guān)子集。事實上，設(shè)而且其中為個數(shù)則對任何，有由于因此所以線性無關(guān)。這就證明了是中線性無關(guān)子集。我們在內(nèi)積空間中引入規(guī)范正交系的目地是要把空間中的向量關(guān)于規(guī)范正交系展成級數(shù)，為此，首先介紹一般賦范線性空間中級數(shù)收斂的概念。2．級數(shù)收斂設(shè)是賦范線性空間，是中一列向量，是一列數(shù)，作形式級數(shù)，稱為級數(shù)（3）的項部分和，若存在，使，則稱級數(shù)（3）收斂，并稱為這個級數(shù)的和，記為。若為中規(guī)范正交系，是中有限或可列個向量，且則對每個自然數(shù)，由內(nèi)積連續(xù)性，可以得到，所以可以表示為。3．傅立葉系數(shù)的定義及其性質(zhì)：傅立葉系數(shù)的定義：設(shè)為內(nèi)積空間中的規(guī)范正交系，稱數(shù)集為向量關(guān)于規(guī)范正交系的傅立葉系數(shù)集，而稱為關(guān)于的傅立葉系數(shù)。例3設(shè)，為例2中三角函數(shù)系，記為則對任何關(guān)于的傅立葉級數(shù)集即為：注內(nèi)積空間中向量關(guān)于規(guī)范正交系的傅立葉系數(shù)實際上是數(shù)學(xué)分析中傅立葉系數(shù)概念的推廣。4.傅立葉系數(shù)的性質(zhì)：引理1設(shè)是內(nèi)積空間，是中規(guī)范正交系，任取中有限個向量那么成立（1）；（2），其中為任意個數(shù)。證明因?qū)θ我鈧€數(shù)有令，代入上式即得（1）。另一方面，由上式及結(jié)論（1），我們又有。由此知（2）成立。證畢。注從引理1中（2）的證明中可以看出，在（2）中僅當(dāng)時等號才成立。注從引理1中（2）的證明中還可以看出，若用的線性組合逼近，則取，時為最佳逼近，見下例。例設(shè)是Hilbert空間，是其中的規(guī)范正交系，，證明函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時達到極小值。證明.由于，因此與在同一點達到極小值。記，對，由于，即與正交，從而與正交，于是顯然達到極小值當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)。5.Bessel不等式、Paraseval等式：定理1（Bessel不等式）設(shè)是內(nèi)積空間中的有限或可數(shù)規(guī)范正交系，那么對每個，成立不等式。（4）證明如果中只有有限個向量，則結(jié)論由引理1的（1）立即可得。當(dāng)可數(shù)時，只要在引理1的（1）中令即得（4）式。證畢如果Bessel不等式等號成立，則稱此等式為Parseval等式。引理2設(shè)為Hilbert空間中可數(shù)規(guī)范正交系，那么成立（1）級數(shù)收斂的充要條件為級數(shù)收斂；（2）若，則，故；（3）對任何，級數(shù)收斂。證明（1）設(shè)由于為規(guī)范正交系，所以對任何正整數(shù)和，成立，于是是中柯西點列是柯西數(shù)列。由和數(shù)域的完備性知，（1）成立。（2）前已證過。（3）由Bessel不等式知，級數(shù)收斂，由（1）及（2），知級數(shù)收斂。證畢。推論1設(shè)是中可數(shù)規(guī)范正交系，則對任何證明由引理1，對任何，級數(shù)收斂，所以一般項證畢。注：當(dāng)為是三角函數(shù)系時，推論1即為黎曼－勒貝格引理。6.一般規(guī)范正交系的Bessel不等式。設(shè)是中規(guī)范正交系，其中為一指標集，那么對任一中使的指標至多只有可數(shù)個。事實上，由Bessel不等式，易知對任何正整數(shù)，使的指標至多只有有限個，所以至多為可數(shù)集。由此可以形式地作級數(shù)（6）其中和式理解成對所有使的指標相加。因此Bessel不等式可以寫成。二、完全規(guī)范正交系與傅里葉級數(shù)、Gram-Schmidt正交化過程問題：向量可以寫成由傅立葉系數(shù)所作級數(shù)（6）的和的條件是什么？1、完全規(guī)范正交系的定義。設(shè)是內(nèi)積空間中的規(guī)范正交系，如果，（8）則稱是中的完全規(guī)范正交系。2、完全規(guī)范正交系的判定及其等價條件根據(jù)定義，利用本章§2引理3，立即可得下列定理。定理2設(shè)是Hilbert空間中完全規(guī)范正交系，那么完全。注從定理可知，在完全規(guī)范正交系中不能再加進新的向量，使之成為更大的規(guī)范正交系。定理3是Hilbert空間中完全規(guī)范正交系對所有，成立Parseval等式。證明充分性：設(shè)Parseval等式對所有成立，若不完全，由定理2，存在，。所以對任何有由于對該成立Parseval等式，所以即這與矛盾。必要性：設(shè)是中完全規(guī)范正交系，對任何，設(shè)其非零傅立葉系數(shù)為由引理2，級數(shù)收斂，設(shè)其和為，則對任何正整數(shù)，有。又對中一切使的向量，有因此，。由的完全性，得到即，所以。由此得到，即Paraseval等式成立。證畢。注由定理3的證明可以看出，當(dāng)是Hilbert空間中完全規(guī)范正交系時，中每個向量都可以展成級數(shù)（9）上式稱為向量關(guān)于規(guī)范正交系的傅立葉展開式。推論2設(shè)是中Hilbert空間中規(guī)范正交系，若Parseval等式在的某個稠密子集上成立，則完全。證明設(shè)則是中閉線性子空間，因在上Parseval等式成立，由定理3，易知對中每個向量，都成立，所以，因而由于是閉線性子空間，故有，但因所以即是中完全規(guī)范正交系。證畢。注利用推論2可以證明例2中三角函數(shù)系是中完全規(guī)范正交系，所以任何都可展開成傅立葉級數(shù)，其中等式右端級數(shù)是指在中平方平均收斂，分別為例3中關(guān)于三角函數(shù)系的傅立葉級數(shù)。3、Gram-Schmidt正交化過程與完全規(guī)范正交系的存在性由上所述，完全規(guī)范正交系是研究Hilbert空間的重要工具，那么是否每個非零Hilbert空間都有完全規(guī)范正交系，以及如何去得到完全規(guī)范正交系？為此首先介紹一般的Gram-Schmidt正交化過程。引理3設(shè)是內(nèi)積空間中有限或可列個線性無關(guān)向量，那么必有中規(guī)范正交系，使對任何正整數(shù)有。證明令，則且令，因為線性無關(guān)，所以且令則，且顯然如果已作了其中，并且兩兩正交，滿足，則令，由線性無關(guān)，知令則且。又顯然滿足。這樣一直下去，即可得到所要求的規(guī)范正交系。證畢。引理3的過程稱為Gram-Schmidt正交化過程。注：實際上是向量在空間上的投影。定理4每個非零Hilbert空間必有完全規(guī)范正交系。證明只對可分的情況證明，設(shè)為可分HiIbert空間，則存在有限或可列個向量使，不妨設(shè)為中的線性無關(guān)子集，否則可取中線性無關(guān)子集。由引理3，存在有限或可數(shù)的規(guī)范正交系使對任何自然數(shù)，成立所以，由張成的線性空間包含，因此即是中完全規(guī)范正交系。證畢。4、兩個Hilbert空間的同構(gòu)同構(gòu)映射的定義與的Hilbert維數(shù)的定義：可以證明，如果及同為Hilbert空間的完全規(guī)范正交系，那么和具有相同的基數(shù)，稱這個基數(shù)為的Hilbert維數(shù)。若，則定義的Hilbert維數(shù)為0。由Gram-Schmidt正交化過程易知，當(dāng)是有限維空間時，Hilbert維數(shù)與線性維數(shù)一致。為了研究Hilbert空間及其上的線性算子，把一個抽象的Hilbert空間表示稱一個具體的Hilbert空間會使得處理問題方便很多。設(shè)和是兩個內(nèi)積空間，若存在到上的映射，使對任何及數(shù)滿足（10）則稱和同構(gòu)，并稱為到上的同構(gòu)映射。同構(gòu)判定定理：定理5兩個Hilbert空間與同構(gòu)與具有相同的Hilbert維數(shù)。證明若與同構(gòu)，為到上的同構(gòu)映射為到上的同構(gòu)映射，由（10）易知將中完全規(guī)范正交系映射成中完全規(guī)范正交系，并且是一對一的，所以與具有相同的Hilbert維數(shù)。反之，若與的Hilbert維數(shù)相同，不妨設(shè)否則結(jié)論是平凡的。設(shè)和分別為和中完全規(guī)范正交系，由假設(shè)，和具有相同的基數(shù)，所以可將與分別寫成，，其中為與和等基數(shù)的指標集