《隨機過程與排隊論》

隨機過程與排隊論上一講內(nèi)容回顧隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差k階矩協(xié)方差條件數(shù)學(xué)期望隨機變量的特征函數(shù)5/15/20232精選課件本講主要內(nèi)容隨機過程的基本概念隨機過程的定義隨機過程的分布隨機過程的數(shù)字特征重要隨機過程獨立過程獨立增量過程5/15/20233精選課件第二章隨機過程的基本概念 隨機過程的引入 隨機過程的定義 隨機過程的分布 隨機過程的數(shù)字特征 幾種重要的隨機過程5/15/20234精選課件一、隨機過程的引入 隨機過程產(chǎn)生于二十世紀初，起源于統(tǒng)計物理學(xué)領(lǐng)域，布朗運動和熱噪聲是隨機過程的最早例子。隨機過程理論社會科學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)的各個領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。例如：現(xiàn)代電子技術(shù)、現(xiàn)代通信、自動控制、系統(tǒng)工程的可靠性工程、市場經(jīng)濟的預(yù)測和控制、隨機服務(wù)系統(tǒng)的排隊論、儲存論、生物醫(yī)學(xué)工程、人口的預(yù)測和控制等等。

只要研究隨時間變化的動態(tài)系統(tǒng)的隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，就要用到隨機過程的理論。5/15/20235精選課件 設(shè)有一個生物群體，由于繁殖而產(chǎn)生后代，對于固定的n(n≥1)，令X(n,)表示第n代生物群體的個數(shù)，X(n,)是隨機變量，可取非負整數(shù)值0,1,2,…，而X(n,),n=0,1,2,…是一族隨機變量，即一個隨機過程。例電話問題 設(shè)X(t,)表示某電話臺在[0,t)時間內(nèi)收到用戶的呼喚次數(shù)。對某個固定的t(0t)，X(t,)是一個隨機變量，它可以是任意非負整數(shù)，隨著時間t的變化，就得到一族隨機變量X(t,)，0t，即一個隨機過程。 懸浮在液體中的微粒由于分子的隨機碰撞而作布朗運動。設(shè)X(t,)表示時刻t微粒所處位置的橫座標，當t變化時，X(t,)，0t，是一族隨機變量，即一個隨機過程。 電子元件或器件由于內(nèi)部電子的隨機熱運動所引起的端電壓X(t,)稱為熱噪聲電壓。對于固定的t0，X(t,)是一個隨機變量，隨著t的變化得到一族隨機變量X(t,)，t0，是一個隨機過程。布朗運動熱噪聲生物群體5/15/20236精選課件二、隨機過程的定義設(shè)(Ω,F,P)是一個概率空間，T是一個參數(shù)集(TR)，X(t,)，tT，Ω是TΩ上的二元函數(shù)，如果對于每一個tT，X(t,)是(Ω,F,P)上的隨機變量，則稱隨機變量族{X(t,)，tT}為定義在(Ω,F,P)上的隨機過程(或隨機函數(shù))。簡記為{X(t)，tT}，其中t稱為參數(shù)，T稱為參數(shù)集。5/15/20237精選課件樣本函數(shù)與狀態(tài)空間隨機過程X(t,)是定義在TΩ上的二元函數(shù)：一方面，當tT固定時，X(t,)是定義在Ω上的隨機變量；另一方面，當Ω固定時，X(t,)是定義在T上的函數(shù)，稱為隨機過程的樣本函數(shù)。隨機過程在時刻t所取的值X(t)=x稱為時刻t時隨機過程{X(t),tT}處于狀態(tài)x，隨機過程{X(t),tT}所有狀態(tài)構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間，記為E，即：E＝{x：X(t)=x,tT}5/15/20238精選課件隨機過程的分類按狀態(tài)空間和參數(shù)集分類按狀態(tài)空間和參數(shù)集分類獨立過程獨立增量過程正態(tài)過程泊松過程參數(shù)集T

離散連續(xù)狀態(tài)空間E

離散(離散參數(shù))鏈(連續(xù)參數(shù))鏈

連續(xù)隨機序列隨機過程維納過程平穩(wěn)過程馬爾可夫過程……5/15/20239精選課件三、隨機過程的分布 設(shè){X(t),tT}是一個隨機過程，對于每一個tT，X(t)是一個隨機變量，它的分布函數(shù)F(t,x)＝P{X(t)<x}，tT，xR=(-,+) 稱為隨機過程{X(t),tT}的一維分布函數(shù)。如果對于每一個tT，隨機變量X(t)是連續(xù)型隨機變量，存在非負可積函數(shù)f(t,x)，使得則稱f(t,x)，tT,xR為隨機過程{X(t),tT}的一維概率密度(函數(shù))。此時f(t,x)＝F’x(t,x)，tT，xR5/15/202310精選課件二維分布函數(shù) 設(shè){X(t),tT}是一個隨機過程，對任意s,tT，(X(s),X(t))是一個二維隨機變量，它的聯(lián)合分布函數(shù)F(s,t;x,y)＝P{X(s)<x,X(t)<y}，tT，xR 稱為隨機過程{X(t),tT}的二維分布函數(shù)。5/15/202311精選課件二維概率密度如果(X(s),X(t))是連續(xù)型二維隨機變量，存在非負可積函數(shù)f(s,t;x,y)，使得成立，則稱f(s,t;x,y)，s,tT，x,yR為隨機過程{X(t),tT}的二維概率密度(函數(shù))。此時5/15/202312精選課件n維分布函數(shù) 設(shè){X(t),tT}是一個隨機過程，對任意t1,t2,…,tnT，n維隨機變量(X(t1), X(t2),…,X(tn))的聯(lián)合分布函數(shù) F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn) ＝P{X(t1)<x1,X(t2)<x2,…,X(tn)<xn}，t1,t2,…,tnT，x1,x2,…,xnR 稱為隨機過程{X(t),tT}的n維分布函數(shù)。5/15/202313精選課件n維概率密度 如果(X(t1),X(t2),…,X(tn))是連續(xù)型n維隨機變量，存在非負可積函數(shù)f(t1,t2,…,tn;x1,x2,…, xn)，使得t1,t2,…,tnT；x1,x2,…,xnR成立，則稱f(t1,t2,…,tnT；x1,x2,…,xn)為隨機過程{X(t),tT}的n維概率密度(函數(shù))。此時5/15/202314精選課件n+m維聯(lián)合分布函數(shù)設(shè){X(t),tT}和{Y(t),tT}是兩個隨機過程，對任意s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tmT，把n+m維隨機變量(X(s1),X(s2),…,X(sn),Y(t1),Y(t2),…,Y(tm))的聯(lián)合分布函數(shù)

FXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn)＝P{X(s1)<x1,X(s2)<x2,…,X(sn)<xn, Y(t1)<y1,Y(t2)<y2,…,Y(tm)<ym}，t1,t2,…,tnT，x1,x2,…,xnR稱為隨機過程{X(t),tT}和{Y(t),tT}的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)。5/15/202315精選課件n+m維聯(lián)合概率密度成立，則稱fXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)為隨機過程{X(t),tT}和{Y(t),tT}的n+m維聯(lián)合概率密度(函數(shù))。如果(X(s1),X(s2),…,X(sn),Y(t1),Y(t2),…,Y(tm))是連續(xù)型n+m維隨機變量，存在非負可積函數(shù)fXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)，使得5/15/202316精選課件相互獨立的隨機過程設(shè){X(t),tT}和{Y(t),tT}是兩個隨機過程，如果對任意n,m1，其n+m維聯(lián)合分布滿足FXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn)＝FX(s1,s2,…,sn;x1,x2,…,xn)·FY(t1,t2,…,tm;y1,y2,…,yn)或者其n+m維聯(lián)合概率密度滿足fXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn)＝fX(s1,s2,…,sn;x1,x2,…,xn)·fY(t1,t2,…,tm;y1,y2,…,yn)則稱隨機過程{X(t),tT}和{Y(t),tT}的相互獨立。5/15/202317精選課件n維特征函數(shù)隨機過程{X(t),tT}的n維特征函數(shù)定義為(t1,t2,…,tn;u1,u2,…,un)稱{(t1,t2,…,tn;u1,u2,…,un)，t1,t2,…,tnT，n1}為隨機過程{X(t),tT}的有限維特征函數(shù)族。5/15/202318精選課件例1利用投擲一枚硬幣的試驗，定義隨機過程假定“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率各為0.5，試求：X(t)的一維分布函數(shù)F(0.5,x)和F(1,x)；X(t)的二維分布函數(shù)F(0.5,1;x,y)。5/15/202319精選課件例1(續(xù)1)解：1.由X(t)的定義求得概率分布為：X(0.5)01X(1)-12P0.50.5P0.50.5所以一維分布函數(shù)為：5/15/202320精選課件例1(續(xù)2)2.

由于擲硬幣試驗是相互獨立的，故(X(0.5),X(1))的聯(lián)合概率密度為：X(1)X(0.5)-1200.250.2510.250.25所以二維分布函數(shù)為：5/15/202321精選課件四、隨機過程的數(shù)字特征 給定隨機過程{X(t),tT}，稱m(t)＝E[X(t)]，tT為隨機過程{X(t),tT}的均值函數(shù)(數(shù)學(xué)期望)。若{X(t),tT}的狀態(tài)空間是離散的，則X(t),tT是離散型隨機變量，X(t)的概率分布為pk(t)＝P{X(t)=Xk}，k=1,2,…，則若{X(t),tT}的狀態(tài)空間是連續(xù)的，則X(t),tT是連續(xù)型隨機變量，X(t)的一維概率密度為f(t,x)為，則5/15/202322精選課件方差函數(shù) 給定隨機過程{X(t),tT}，稱D(t)＝D[X(t)]＝E[X(t)－m(t)]2，tT為隨機過程{X(t),tT}的方差函數(shù)。顯然，D(t)＝E[X(t)－m(t)]2＝E[X2(t)]－m2(t)。稱為隨機過程{X(t),tT}的均方差函數(shù)(標準方差函數(shù))。若X(t),tT是離散型隨機變量，X(t)的概率分布為pk(t)＝P{X(t)=Xk}，k=1,2,…，則若X(t),tT是連續(xù)型隨機變量，X(t)的一維概率密度為f(t,x)為，則5/15/202323精選課件協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù) 給定隨機過程{X(t),tT}，稱C(s,t)＝cov(X(s),X(t))＝E[X(s)－m(s)][X(t)－m(t)]為隨機過程{X(t),tT}的協(xié)方差函數(shù)。顯然，C(s,t)＝E[X(s)X(t)]－m(s)m(t)，C(t,t)＝D(t)＝E[X(t)－m(t)]2。給定隨機過程{X(t),tT}，稱R(s,t)＝E[X(s)X(t)]為隨機過程{X(t),tT}的相關(guān)函數(shù)。顯然，C(s,t)＝R(s,t)－m(s)m(t)，R(s,t)＝C(s,t)＋m(s)m(t)給定隨機過程{X(t),tT}，稱為隨機過程{X(t),tT}的相關(guān)系數(shù)。5/15/202324精選課件互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)給定兩個隨機過程{X(t),tT}和{Y(t),tT}，稱CXY(s,t)＝E[X(s)－mX(s)][Y(t)－mY(t)]，s,tT為隨機過程{X(t),tT}和{Y(t),tT}的互協(xié)方差函數(shù)。其中：mX(s)＝E[X(s)]，mY(t)＝E[Y(t)]。稱RXY(s,t)＝E[X(s)Y(t)]為隨機過程{X(t),tT}和{Y(t),tT}的互相關(guān)函數(shù)。顯然，CXY(s,t)＝RXY(s,t)－mX(s)mY(t)。如果CXY(s,t)＝0，等價地RXY(s,t)＝mX(s)mY(t)，即E[X(s)Y(t)]＝E[X(s)]E[Y(t)]，則稱{X(t),tT}和{Y(t),tT}互不相關(guān)。

如果隨機過程{X(t),tT}和{Y(t),tT}相互獨立，則它們一定互不相關(guān)；反之，如果隨機過程{X(t),tT}和{Y(t),tT}互不相關(guān)，一般不能推出它們相互獨立。5/15/202325精選課件例1給定隨機過程{X(t),t≥0}，X(t)＝X0＋Vt，t≥0其中X0與V是相互獨立的隨機變量，它們都服從N(0,1)。求其數(shù)字特征和一、二維概率密度。解

1.均值函數(shù)m(t)＝E[X(t)]=E(X0)＋tE(V)＝0；2.方差函數(shù)D(t)＝E[X2(t)]-m2(t)=E(X0＋Vt)2-0 ＝E(X02)＋2tE(X0V)+t2E(V2) ＝1+t2；3.一維概率密度

因為X0與V相互獨立且都服從N(0,1)，故X(t)＝X0＋Vt服從正態(tài)分布N(0,1+t2)，所以{X(t),t≥0}的一維概率密度為：5/15/202326精選課件例1(續(xù)1)4.協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù) 因為m(t)=0，所以C(s,t)＝R(s,t)＝E[X(s)X(t)]＝E[X0＋Vs][X0＋Vt] ＝E[X02]+(s+t)E[X0V]+stE[V2]＝1+st 因為X0與V相互獨立且服從N(0,1)，記從而(X(s),X(t))～N(,C)，其中均值=(m(s),m(t))T=(0,0)T，協(xié)方差矩陣C＝5/15/202327精選課件例1(續(xù)2)5.二維概率密度5/15/202328精選課件例2隨機相位正弦波X(t)＝cos(t＋)，-<t<+其中,為常數(shù)，是在[0,2]上均勻分布的隨機變量。求{X(t),-<t<+}的均值函數(shù)、方差函數(shù)、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)。解

的概率密度為1.均值函數(shù)m(t)＝E[X(t)]5/15/202329精選課件例2(續(xù)1)2.相關(guān)函數(shù)5/15/202330精選課件例2(續(xù)2)3.協(xié)方差函數(shù)4.方差函數(shù)5/15/202331精選課件五、重要隨機過程1.獨立過程給定隨機過程{X(t),tT}，如果對任意正整數(shù)n及任意t1,t2,…,tnT，隨機變量X(t1),X(t2),…,X(tn)相互獨立，則稱隨機過程{X(t),tT}為獨立過程。特別，如果X(n),n=1,2,3,…是相互獨立的隨機變量，則稱{X(n),n=1,2,3,…}為獨立隨機序列。獨立過程的n維概率分布由一維概率分布確定：5/15/202332精選課件例如果X(n),n=1,2,3,…是相互獨立的伯努利隨機變量，它們的概率分布律為X(n)010<p<1n=1,2,3,…PqpP+q=1則稱{X(n),n=1,2,3,…}為伯努利隨機序列。伯努利隨機隨機序列是一個獨立隨機序列。其均值 E[X(n)]=p，方差 D[X(n)]=pq，相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)5/15/202333精選課件2.獨立增量過程 設(shè)隨機過程{X(t),tT}，T＝[0,+)， 如果對任意正整數(shù)n2，t1,t2,…,tnT且t1<t2<…<tn，隨機過程的增量

X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1) 是相互獨立的隨機變量，則稱{X(t),tT}為獨立增量過程。5/15/202334精選課件平穩(wěn)獨立增量過程 如果獨立增量過程{X(t),tT}，T＝[0,+)， 對所有的s,tT及h>0,s+h,t+hTX(t+h)-X(s+h)與X(t)-X(s) 有相同的概率分布，則稱{X(t),tT}為平穩(wěn)獨立增量過程。平穩(wěn)獨立增量過程{X(t),tT}的增量X(t+)-X(t)，tT,t+T的概率分布僅依賴于而與t無關(guān)，即僅與時間區(qū)間的長度有關(guān)，而與起點無關(guān)，具有平穩(wěn)性，即增量具有平穩(wěn)性。5/15/202335精選課件例 設(shè){X(n),n=1,2,3,…}是獨立隨機序列，則{Y(n),n=0,1,2,…}是獨立增量過程。 若X(n),n=1,2,3,…是相互獨立且同分布的隨機變量，且則{Y(n),n=0,1,2,…}是平穩(wěn)獨立增量過程。5/15/202336精選課件例 設(shè){X(n),n=1,2,3,…}是相互獨立同分布的伯努利隨機變量序列X(n)010<p<1n=1,2,3,…PqpP+q=1則稱{Y(n),n=0,1,2,…}為二項計數(shù)過程(隨機游動)。 二項計數(shù)過程是一個獨立增量過程。其一維概率分布 Y(n)~B(n,p)，均值函數(shù) E[Y(n)]=np，方差函數(shù) D[Y(N)]=pq，5/15/202337精選課件例二維概率分布協(xié)方差函數(shù)一般5/15/202338精選課件獨立增量過程的性質(zhì)如果{X(t),t0}是平穩(wěn)獨立增量過程，X(0)＝0，則均值函數(shù) m(t)＝at，a為常數(shù)；方差函數(shù) D(t)＝2t，為正常數(shù)；協(xié)方差函數(shù)C(s,t)＝2min(s,t)。獨立增量過程的有限維分布由一維分布和增量分布決定。5/15/202339精選課件證明1）設(shè)m(t)＝E[X(t)]，則 m(t+s)＝E[X(t+s)] ＝E[X(t+s)-X(s)+X(s)-X(0)] ＝E[X(t+s)-X(s)]+E[X(s)-X(0)] ＝E[X(t)]+E[X(s)] ＝m(t)+m(s) 由數(shù)學(xué)分析知識知： m(t)＝at，其中常數(shù)a＝m(1)。f(x)連續(xù)，若f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(x)=kx。5/15/202340精選課件證明(續(xù)1)2）設(shè)D(t)＝D[X(t)]，則 D(t+s)＝D[X(t+s)] ＝D[X(t+s)-X(s)+X(s)-X(0)] ＝D[X(t+s)-X(s)]+D[X(s)-X(0)] ＝D[X(t)]+D[X(s)]＝D(t)+D(s) 由數(shù)學(xué)分析知識： D(t)＝2t，其中2＝D(1)為正常數(shù)。f(x)連續(xù)，若f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(x)=kx。5/15/202341精選課件證明(續(xù)2)3）C(s,t)＝E{[X(t)]-m(t)][X(s)-m(s)]}＝E[X(t)X(s)]-m(s)m(t)＝E{[X(t)-X(s)+X(s)]X(s)}-m(s)m(t)一般地，C(s,t)＝2min(s,t)。假設(shè)t>s，否則變形為E{[X(s)-X(t)+X(t)]X(t)}-m(s)m(t)＝E[X(t)-X(s)]E[X(s)]+E[X2(s)]-m(s)m(t)＝m(t-s)m(s)