重慶渝北區(qū)實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

重慶渝北區(qū)實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)x，y滿足的約束條件，則的最大值為（A）8

（B）7

（C）2

（D）1參考答案：B2.“關(guān)注夕陽、愛老敬老”—某馬拉松協(xié)會從2013年開始每年向敬老院捐贈物資和現(xiàn)金.下表記錄了第x年與捐贈的現(xiàn)金y(萬元)的對應(yīng)數(shù)據(jù)，由此表中的數(shù)據(jù)得到了y關(guān)于x的線性回歸方程，則預(yù)測2019年捐贈的現(xiàn)金大約是(

)34562.5344.5

A.5萬元 B.5.2萬元 C.5.25萬元 D.5.5萬元參考答案：C【分析】由已知求出，代入回歸直線的方程，求得，然后取，求得的值，即可得到答案.【詳解】由已知得，，所以樣本點的中心點的坐標(biāo)為，代入，得，即，所以，取，得，預(yù)測2019年捐贈的現(xiàn)金大約是萬元.【點睛】本題主要考查了線性回歸方程以及應(yīng)用，其中解答中熟記回歸直線的方程經(jīng)過樣本中心點是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.下列函數(shù)中，不滿足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x參考答案：C4.已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，P為雙曲線右支上一點，則

最小值為A．

B．

C．2

D．3參考答案：A略5.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓=1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】求得橢圓的a，b，c，運用橢圓的定義和三角形的中位線定理，可得PF2⊥x軸，|PF2|=，|PF1|=，計算即可所求值．【解答】解：橢圓=1的a=3，b=，c==2，由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a=6，由中位線定理可得PF2⊥x軸，令x=2，可得y=±?=±，即有|PF2|=，|PF1|=6﹣=，則=．故選：C．6.等比數(shù)列中，，前3項和為，則公比的值是（

）A.1 B. C.1或 D.或參考答案：C7.如圖，在中，已知，則

A.

B.

C.

D.參考答案：C略8.dx=（）A．﹣ln2 B．ln2 C．﹣2ln2 D．2ln2參考答案：C【考點】定積分．【分析】由dx=﹣dx，再根據(jù)定積分的計算法則計算即可．【解答】解：dx=﹣dx=﹣2lnx|=﹣2ln2，故選：C．9.設(shè)復(fù)數(shù)則復(fù)數(shù)

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

參考答案：C10.集合，，則A∩B=（

）A.{2,4} B.{0,2,4} C.{0,2} D.{0,4}參考答案：B【分析】由可知B是偶數(shù)集，再根據(jù)集合的交運算得到最后結(jié)果。【詳解】因為集合B是偶數(shù)集，所以，故選B.【點睛】本題考查了集合的運算，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列中，當(dāng)整數(shù)時，都成立，則＝

．參考答案：21112.機(jī)器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走”．如圖所示，“海寶”從圓心O出發(fā)，先沿北偏西arcsin方向行走13米至點A處，再沿正南方向行走14米至點B處，最后沿正東方向行走至點C處，點B、C都在圓O上．則在以圓心O為坐標(biāo)原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向的直角坐標(biāo)系中圓O的方程為．參考答案：x2+y2=225考點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：直線與圓．分析：如圖所示：由題意可得sinθ=，OA=13，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得cos∠AOD、OD、AD的值，可得BD的值，再求得OB2=OD2+BD2的值，即可得到圓O的方程．解答：解：如圖所示：設(shè)OA與正北方向的夾角為θ，則由題意可得sinθ=，OA=13，∴cos∠AOD=sinθ=，OD=OA?cos∠AOD=13×=12，AD=OA?sin∠AOD=13×=5，∴BD=14﹣AD=9，∴OB2=OD2+BD2=144+81=225，故圓O的方程為x2+y2=225，故答案為x2+y2=225．點評：本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．13.已知實數(shù)x，y滿足條件，（為虛數(shù)單位），則的最小值是

．參考答案：14.（幾何證明選講選做題）如圖，切于點，割線經(jīng)過圓心，弦于點．已知的半徑為3，，則

．

．參考答案：15.高三（1）班班委會由4名男生和3名女生組成，現(xiàn)從中任選3人參加上海市某社區(qū)敬老服務(wù)工作，則選出的人中至少有一名女生的概率是______________.（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）參考答案：試題分析：從名學(xué)生中選名的種數(shù)為,其中無女生的種數(shù)為,所以至少含有一個女生的概率為.考點：古典概型的計算公式及排列數(shù)組合數(shù)公式的運用．16.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數(shù)列，則cosB的最小值為_____.參考答案：【分析】利用余弦定理和基本不等式可求的最小值.【詳解】因為成等比數(shù)列，所以，由基本不等式可以得到，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為.【點睛】本題考查余弦定理、等比中項和基本不等式，此類問題是中檔題.17.若函數(shù)對任意的恒成立，則

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.中心在原點，焦點在軸上的橢圓的焦距為2，兩準(zhǔn)線間的距離為10.設(shè)過點作直線交橢圓于兩點，過點作軸的垂線交橢圓于另一點（1）求橢圓的方程;（2）求證直線過軸上一定點（3）若過點作直線與橢圓只有一個公共點求過兩點，且以為切線的圓的方程.參考答案：【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題

H8【答案解析】(1)(2)B(1，0).(3)解析：解（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為依題意得：所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，，AP=tAQ，則.

結(jié)合，得.設(shè)B(x，0)，則，，所以，直線過軸上一定點B(1，0).（3）設(shè)過點的直線方程為：代入橢圓方程得：.依題意得：即得：

且方程的根為.當(dāng)點位于軸上方時，過點與垂直的直線與軸交于點,直線的方程是：

.所求的圓即為以線段為直徑的圓，方程為：同理可得：當(dāng)點位于軸下方時，圓的方程為：【思路點撥】（1）依題意得：2c=2，=10，求出a，c，b，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），=t，證明=t，即可得出結(jié)論．（3）設(shè)過點A的直線方程為：y=k（x﹣5），代入橢圓方程得（4+5k2）x2﹣50k2x+125k2﹣20=0．依題意得：△=（50k2）2﹣4（4+50k2）（125k2﹣20）=0，由此能求出過B，D兩點，且以AD為切線的圓的方程19.設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x3﹣x2﹣x+a．（Ⅰ）求f（x）的極值；（Ⅱ）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，只需討論滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值．（2）曲線f（x）與x軸僅有一個交點，可轉(zhuǎn)化成f（x）極大值＜0或f（x）極小值＞0即可．【解答】解：（1）令f'（x）=3x2﹣2x﹣1=0得：．又∵當(dāng)x∈（﹣∞，）時，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（，1）時，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0；∴與x2=1分別為f（x）的極大值與極小值點．∴f（x）極大值=；f（x）極小值=a﹣1（2）∵f（x）在（﹣∞，）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x→﹣∞時，f（x）→﹣∞；又f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞∴當(dāng)f（x）極大值＜0或f（x）極小值＞0時，曲線f（x）與x軸僅有一個交點．即或a﹣1＞0，∴a∈（﹣∞，）∪（1，+∞）20.設(shè)函數(shù)．（1）若不等式對恒成立，求a的值；（2）若f(x)在內(nèi)有兩個極值點，求負(fù)數(shù)a的取值范圍；（3）已知，，若對任意實數(shù)k，總存在正實數(shù)，使得成立，求正實數(shù)s的取值集合．參考答案：（1）=；（2）；（3）【分析】（1）討論，和三種情況，分別計算得到答案.（2）求導(dǎo)得到，討論，，三種情況，分別計算得到答案.（3）在上是增函數(shù)，其值域為，若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，值域為，記，則根據(jù)得到答案.【詳解】（1）若，則當(dāng)時，，，，不合題意；若，則當(dāng)時，，，，不合題意；若，則當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，滿足題意，因此=．（2），，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此

點，在（i）當(dāng)時，，，在內(nèi)至多有一個極值點．（ii）當(dāng)時，由于，所以，而，，，因此在上無零點，在上有且僅有一個零點，從而上有且僅有一零點，在內(nèi)有且僅有一個極值點．（iii）當(dāng)時，，，，因此在上有且僅有一個零點，從而在上有且僅有兩個零點，在內(nèi)有且僅有兩個極值點．綜上所述，的取值范圍為．（3）因為對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得成立，所以函數(shù)的值域為．在上是增函數(shù)，其值域為，對于函數(shù)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)．若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，其值域為，又，不符合題意，舍去；若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，值域為，由題意得，即

①記，則當(dāng)時，，在上單調(diào)減函數(shù)．當(dāng)時，，在上為單調(diào)增函數(shù)．所以，當(dāng)時，有最小值，從而恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時，

②由①②得，，所以．綜上所述，正實數(shù)的取值集合為．【點睛】本題考查了恒成立問題，存在性問題，極值點，意在考查學(xué)生對于函數(shù)和導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用.21.已知數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前2n項和.參考答案：（1）因為，，成等比數(shù)列，所以，又因為數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，，，，所以，解得，所以.（2）由（1）可知，因為，所以.所以.

22. 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2-x，a∈R． (Ⅰ)當(dāng)時，求函數(shù)y=f(x)的極值； (Ⅱ)是否存在實數(shù)b∈(1,2)，使得當(dāng)x∈(-1,b]時，函數(shù)f(x)的最大值為f(b)？若存在，求實數(shù)a的取值范圍，若不存在，請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時，， 則，化簡得（x>-1） ∴函數(shù)f(x)在(-1,0)，(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，且f(0)=0，， ∴函數(shù)y=f(x)在x=1處取到極小值為，在x=0處取到極大值為0； (Ⅱ)由題意 (1)當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減, 此時，不存在實數(shù)b∈(0,1)，使得當(dāng)x∈(-1,b]時，函數(shù)f(x)的最大值為f(b)； (2)當(dāng)a>0時，