2022年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2022年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，則A∪B＝（）A．{x|x≤2} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0}2．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1，﹣1），則z（1+i）＝（）A．2 B．2i C．﹣2i D．﹣23．（4分）雙曲線﹣y2＝1的離心率為（）A． B． C． D．4．（4分）在（﹣x）4的展開式中，x2的系數(shù)為（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．45．（4分）下列命題中正確的是（）A．平行于同個(gè)平面的兩條直線平行 B．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行 C．垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行 D．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行6．（4分）已知直線l：ax+by＝1是圓x2+y2﹣2x﹣2y＝0的一條對(duì)稱軸，則ab的最大值為（）A． B． C．1 D．7．（4分）已知角α的終邊繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π后與角β的終邊重合，且cos（α+β）＝1，則α的取值可以為（）A． B． C． D．8．（4分）已知二次函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，將其向右平移2個(gè)單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則不等式g（x）＞log2x的解集是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（0，1）9．（4分）在△ABC中，A＝，則“sinB＜”是“△ABC是鈍角三角形”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（4分）甲醫(yī)院在某段時(shí)間內(nèi)累計(jì)留院觀察的某病疑似患者有98人，經(jīng)檢測后分為確診組和排除組，患者年齡分布如下表：年齡（歲）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，∞）總計(jì)確診組人數(shù)0374014排除組人數(shù)7411519284為研究患病與年齡的關(guān)系，現(xiàn)采用兩種抽樣方式．第一種：從98人中隨機(jī)抽取7人，第二種：從排除組的84人中隨機(jī)抽取7人．用X，Y分別表示兩種抽樣方式下80歲及以上的人數(shù)與80歲以下的人數(shù)之比．給出下列四個(gè)結(jié)論：①在第一種抽樣方式下，抽取的7人中一定有1人在確診組；②在第二種抽樣方式下，抽取的7人都小于20歲的概率是0；③X，Y的取值范圍都是（0，，）；④E（X）＜E（Y）．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、第二部分（非選擇題共110分）填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，則p＝．12．（5分）已知{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a2是a1，S2的等差中項(xiàng)，S4＝15，則q＝，a1＝．13．（5分）若函數(shù)f（x）＝|2x﹣a|﹣1的值域?yàn)閇﹣1，+∞），則實(shí)數(shù)a的一個(gè)取值可以為．14．（5分）已知，是單位向量，且?＝0，設(shè)向量＝λ+μ，當(dāng)λ＝μ＝1時(shí)，＜，＞＝；當(dāng)λ+μ＝2時(shí)，|﹣|的最小值為．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，給出下列四個(gè)結(jié)論：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；③f（x）的最小值為﹣；④f（x）的最大值為1．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（14分）設(shè)函數(shù)f（x）＝2sinxcosx+Acos2x（A∈R）．已知存在A使得f（x）同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：條件①：f（0）＝0；條件②：f（x）的最大值為；條件③：x＝是f（x）圖象的一條對(duì)稱軸．（1）請(qǐng)寫出f（x）滿足的兩個(gè)條件，并說明理由；（2）若f（x）在區(qū)間（0，m）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．17．（14分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD＝2，AA1＝A1D．（1）求證：A1D⊥AB；（2）若直線AB與平面A1DC1所成角的正弦值為，求AA1的長度．18．（14分）《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時(shí)的睡眠對(duì)一天至關(guān)重要（子時(shí)是指23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)）．相關(guān)數(shù)據(jù)表明，人睡時(shí)間越晚，深睡時(shí)間越少，睡眠指數(shù)也就越低．根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對(duì)早睡群體和晚睡群體睡眠指數(shù)的統(tǒng)計(jì)如下表．組別睡眠指數(shù)早睡人群占比晚睡人群占比1[0，51）0.1%9.2%2[51，66）11.1%47.4%3[66，76）34.6%31.6%4[76，90）48.6%11.8%5[90，100]5.6%0.0%注：早睡人群為23：00前入睡的人群，晚睡人群為01：00后入睡的人群．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)早睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)與晚睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)分別在第幾組？（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，睡眠指數(shù)得分在區(qū)間[76，90）內(nèi)的人群中，早睡人群約占80%．從睡眠指數(shù)得分在區(qū)間[76，90）內(nèi)的人群中隨機(jī)抽取3人，以X表示這3人中屬于早睡人群的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，有人認(rèn)為，早睡人群的睡眠指數(shù)平均值一定落在區(qū)間[76，90）內(nèi)．試判斷這種說法是否正確，并說明理由．19．（14分）已知函數(shù)f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的方程；（2）若函數(shù)f（x）在x＝0處取得極大值，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)f（x）存在最小值，直接寫出a的取值范圍．20．（15分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的下頂點(diǎn)A和右頂點(diǎn)B都在直線l1：y＝（x﹣2）上．（1）求橢圓方程及其離心率；（2）不經(jīng)過點(diǎn)B的直線l2：y＝kx+m交橢圓C于兩點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)P作x軸的垂線交l1于點(diǎn)D，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為E．若E，B，Q三點(diǎn)共線，求證：直線l2經(jīng)過定點(diǎn)．21．（14分）設(shè)m為正整數(shù)，若無窮數(shù)列{an}滿足|aik+i|＝|aik+i|（i＝1，2，…，m；k＝1，2，…），則稱{an}為Pm數(shù)列．（1）數(shù)列{n}是否為P1數(shù)列？說明理由；（2）已知an＝其中s，t為常數(shù)．若數(shù)列{an}為P2數(shù)列，求s，t；（3）已知P3數(shù)列{an}滿足a1＜0，a8＝2，a6k＜a6k+6（k＝1，2，…），求an．

2022年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，則A∪B＝（）A．{x|x≤2} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0}【分析】進(jìn)行并集的運(yùn)算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，∴A∪B＝{x|x≥﹣1}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的描述法的定義，并集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1，﹣1），則z（1+i）＝（）A．2 B．2i C．﹣2i D．﹣2【分析】利用復(fù)數(shù)幾何意義和運(yùn)算法則直接求解．【解答】解：∵在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1，﹣1），∴z（1+i）＝（1﹣i）（1+i）＝1﹣i2＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．（4分）雙曲線﹣y2＝1的離心率為（）A． B． C． D．【分析】直接利用橢圓方程，求解離心率即可．【解答】解：雙曲線﹣y2＝1可得a＝，b＝1，則c＝＝2，所以e＝＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．4．（4分）在（﹣x）4的展開式中，x2的系數(shù)為（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4【分析】先由二項(xiàng)式定理求通項(xiàng)公式，然后求展開式的項(xiàng)系數(shù)即可．【解答】解：由（﹣x）4的展開式的通項(xiàng)公式為＝（﹣1）r，令，解得r＝0，即x2的系數(shù)為（﹣1）0＝1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理，重點(diǎn)考查了二項(xiàng)式展開式的項(xiàng)系數(shù)，屬基礎(chǔ)題．5．（4分）下列命題中正確的是（）A．平行于同個(gè)平面的兩條直線平行 B．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行 C．垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行 D．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行【分析】對(duì)于A，相交、平行或異面；對(duì)于B，相交或平行；對(duì)于C，相交或平行；對(duì)于D，由面面平行的判定定理得垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行【解答】解：對(duì)于A，平行于同個(gè)平面的兩直線相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行于同一條直線的兩個(gè)平面相交或平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相交或平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由面面平行的判定定理得：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是中檔題．6．（4分）已知直線l：ax+by＝1是圓x2+y2﹣2x﹣2y＝0的一條對(duì)稱軸，則ab的最大值為（）A． B． C．1 D．【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)，代入直線方程，然后利用基本不等式求解即可．【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣2y＝0的圓心（1，1），直線l：ax+by＝1是圓x2+y2﹣2x﹣2y＝0的一條對(duì)稱軸，可得a+b＝1，則ab≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，取等號(hào)，所以ab的最大值為：．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7．（4分）已知角α的終邊繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π后與角β的終邊重合，且cos（α+β）＝1，則α的取值可以為（）A． B． C． D．【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：由于角α的終邊繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π后與角β的終邊重合，故；由于cos（α+β）＝1，所以，整理得（k∈Z），故（k∈Z）；當(dāng)k＝1時(shí)，．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）已知二次函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，將其向右平移2個(gè)單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則不等式g（x）＞log2x的解集是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（0，1）【分析】設(shè)f（x）＝ax2+bx+c（a＜0），由圖象可得f（0）＝1，f（﹣2）＝0，求得c＝1，b＝2a+，再由g（2）＝1，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可得所求解集．【解答】解：設(shè)f（x）＝ax2+bx+c（a＜0），由圖象可得f（0）＝1，f（﹣2）＝0，則c＝1，4a﹣2b+1＝0，所以f（x）＝ax2+（2a+）x+1，將f（x）的圖象向右平移2個(gè)單位長度得到函數(shù)g（x）＝a（x﹣2）2+（2a+）（x﹣2）+1的圖象．由g（2）＝1，又y＝log2x在（0，2）上遞增，且log21＝0，log22＝1，所以由圖像可得不等式g（x）＞log2x的解集為（0，2）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象和運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．9．（4分）在△ABC中，A＝，則“sinB＜”是“△ABC是鈍角三角形”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】先解三角不等式，再結(jié)合充分必要條件判斷即可．【解答】解：在△ABC中，由sinB＜，則0或，又A＝，則0，即C＝，即△ABC是鈍角三角形，由△ABC是鈍角三角形，當(dāng)B＝時(shí)，sinB＝，即“△ABC是鈍角三角形”不能推出“sinB＜”，即“sinB＜”是“△ABC是鈍角三角形”的充分而不必要條件，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角不等式的解法，重點(diǎn)考查了充分必要條件，屬基礎(chǔ)題．10．（4分）甲醫(yī)院在某段時(shí)間內(nèi)累計(jì)留院觀察的某病疑似患者有98人，經(jīng)檢測后分為確診組和排除組，患者年齡分布如下表：年齡（歲）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，∞）總計(jì)確診組人數(shù)0374014排除組人數(shù)7411519284為研究患病與年齡的關(guān)系，現(xiàn)采用兩種抽樣方式．第一種：從98人中隨機(jī)抽取7人，第二種：從排除組的84人中隨機(jī)抽取7人．用X，Y分別表示兩種抽樣方式下80歲及以上的人數(shù)與80歲以下的人數(shù)之比．給出下列四個(gè)結(jié)論：①在第一種抽樣方式下，抽取的7人中一定有1人在確診組；②在第二種抽樣方式下，抽取的7人都小于20歲的概率是0；③X，Y的取值范圍都是（0，，）；④E（X）＜E（Y）．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查和概率的計(jì)算以及樣本的期望逐項(xiàng)分析即可得答案．【解答】解：對(duì)于①：98人中確診的有14人，若抽取的7人都是84個(gè)排除組的，則可能出現(xiàn)7人都不在確診組，①錯(cuò)誤；對(duì)于②：排除組中小于20歲的人有7人，抽取7人小于20歲的概率為，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：第一種[0，80）有96人，[80，+∞）有2人，第二種[0，80）有82人，[80，+∞）有2人，故設(shè)抽取80歲以上的人數(shù)為M，則M＝0，1，2，當(dāng)M＝0時(shí)，X＝Y(jié)＝0，當(dāng)M＝1時(shí)，，當(dāng)M＝2時(shí)，，故③正確；對(duì)于④：，，，E（X）＜E（Y），E（X）＜E（Y），故④正確；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、第二部分（非選擇題共110分）填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，則p＝2．【分析】由已知結(jié)合拋物線的直線方程列式求得p值．【解答】解：由拋物線y2＝2px，得直線方程為x＝﹣，由題意，，得p＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．12．（5分）已知{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a2是a1，S2的等差中項(xiàng)，S4＝15，則q＝2，a1＝1．【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于首項(xiàng)、公比的方程組，求解即可．【解答】解：設(shè)，由題意知，即，解得q＝2，a1＝1；易知q≠1．故答案為：2；1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）若函數(shù)f（x）＝|2x﹣a|﹣1的值域?yàn)閇﹣1，+∞），則實(shí)數(shù)a的一個(gè)取值可以為1（答案不唯一，符合a＞0即可）．【分析】由題意可得g（x）＝|2x﹣a|的值域?yàn)閇0，+∞），又y＝2x的值域?yàn)椋?，+∞），則a＞0，因此答案可以說大于0的任何數(shù)．【解答】解：令g（x）＝|2x﹣a|，∵函數(shù)f（x）＝|2x﹣a|﹣1的值域?yàn)閇﹣1，+∞），∴g（x）＝|2x﹣a|的值域?yàn)閇0，+∞），又∵y＝2x的值域?yàn)椋?，+∞），∴a＞0∴a的一個(gè)值可以為1．故答案為：1（答案不唯一，符合a＞0即可）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知，是單位向量，且?＝0，設(shè)向量＝λ+μ，當(dāng)λ＝μ＝1時(shí)，＜，＞＝；當(dāng)λ+μ＝2時(shí)，|﹣|的最小值為．【分析】求出||，根據(jù)夾角公式可得＜＞，將||表示為關(guān)于λ的二次函數(shù)，求出最小值即可．【解答】解：當(dāng)λ＝μ＝1時(shí)，，||2＝＝2，∴||＝2，cos＜＞＝＝＝＝，∵＜＞∈[0，π]，∴＜＞＝；當(dāng)λ+μ＝2時(shí)，＝（λ﹣1）+＝（λ﹣1）+（2﹣λ），則||＝（λ﹣1）2+（2﹣λ）2＝2（）2+，當(dāng)時(shí)，|﹣|的最小值為．故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量夾角、向量模的最小值的求法，考查向量運(yùn)算法則、向量夾角余弦公式、二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是中檔題．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，給出下列四個(gè)結(jié)論：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；③f（x）的最小值為﹣；④f（x）的最大值為1．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為①②④．【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義、零點(diǎn)定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝，∴f（﹣x）＝＝＝f（x），∴該函數(shù)是偶函數(shù)，故①正確；令函數(shù)f（x）＝＝0，則cosπx＝0，∴（k∈Z），∴（k∈Z），故②正確；∵f（x）＝，∴f′（x）＝，∵f（1）＝﹣，∴f′（1）＝≠0，∴函數(shù)的最小值不可能為﹣，故③錯(cuò)誤；|cosπx|≤1，當(dāng)πx＝kπ（k∈Z）時(shí)取等號(hào)，∴0＜≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，∴≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，∴f（x）＝，故④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考生查三角函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)極值與最值的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（14分）設(shè)函數(shù)f（x）＝2sinxcosx+Acos2x（A∈R）．已知存在A使得f（x）同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：條件①：f（0）＝0；條件②：f（x）的最大值為；條件③：x＝是f（x）圖象的一條對(duì)稱軸．（1）請(qǐng)寫出f（x）滿足的兩個(gè)條件，并說明理由；（2）若f（x）在區(qū)間（0，m）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．【分析】（1）首先分析①②可得A＝0，1，﹣1，逐個(gè)驗(yàn)證條件③即可得結(jié)果；（2）由（1）得函數(shù)的解析式，通過x的范圍求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于m的不等式即可得解．【解答】解：（1）函數(shù)，其中，對(duì)于條件①：若f（0）＝0，則A＝0，對(duì)于條件②：f（x）的最大值為，則，得A＝±1，①②不能同時(shí)成立，當(dāng)A＝0時(shí)，，當(dāng)A＝1時(shí)，，即滿足條件③，當(dāng)A＝﹣1時(shí)，，即不滿足條件③，綜上可得，存在A＝1滿足條件②③；（2）由（1）得，當(dāng)0＜x＜m時(shí)，，由于f（x）在區(qū)間（0，m）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得，即m的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)的最值，屬于難題．17．（14分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD＝2，AA1＝A1D．（1）求證：A1D⊥AB；（2）若直線AB與平面A1DC1所成角的正弦值為，求AA1的長度．【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可證得AB⊥平面AA1D1D，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）取AD的中點(diǎn)O，連接A1O，證明出A1O⊥平面ABCD，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為x、y、z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A1O＝a，其中a＞0，利用空間向量法可得出關(guān)于a的方程，求出a的值，即可求得棱AA1的長．【解答】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，則AB⊥AD，因?yàn)槠矫鍭1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1?平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面AA1D1D，∵A1D?平面AA1D1D，所以，AB⊥A1D．（2）解：取AD的中點(diǎn)O，連接A1O，∵AA1＝A1D，O為AD的中點(diǎn)，則A1O⊥AD，因?yàn)槠矫鍭A1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，A1O?平面AA1D1D，所以，A1O⊥平面ABCD，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為x、y、z的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A1O＝a，其中a＞0，則A（0，﹣1，0）、B（2，﹣1，0）、A1（0，0，a）、C1（2，2，a）、D（0，1，0），，，，設(shè)平面A1C1D的法向量為，則，取x＝a，則，由題意可得，∵a＞0，解得，則．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間中的垂直關(guān)系，線面角的相關(guān)計(jì)算，空間向量的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中等題．18．（14分）《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時(shí)的睡眠對(duì)一天至關(guān)重要（子時(shí)是指23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)）．相關(guān)數(shù)據(jù)表明，人睡時(shí)間越晚，深睡時(shí)間越少，睡眠指數(shù)也就越低．根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對(duì)早睡群體和晚睡群體睡眠指數(shù)的統(tǒng)計(jì)如下表．組別睡眠指數(shù)早睡人群占比晚睡人群占比1[0，51）0.1%9.2%2[51，66）11.1%47.4%3[66，76）34.6%31.6%4[76，90）48.6%11.8%5[90，100]5.6%0.0%注：早睡人群為23：00前入睡的人群，晚睡人群為01：00后入睡的人群．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)早睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)與晚睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)分別在第幾組？（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，睡眠指數(shù)得分在區(qū)間[76，90）內(nèi)的人群中，早睡人群約占80%．從睡眠指數(shù)得分在區(qū)間[76，90）內(nèi)的人群中隨機(jī)抽取3人，以X表示這3人中屬于早睡人群的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，有人認(rèn)為，早睡人群的睡眠指數(shù)平均值一定落在區(qū)間[76，90）內(nèi)．試判斷這種說法是否正確，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷可得出結(jié)論；（2）分析可知，利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量X的分布列，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求得E（X）的值；（3）取第1組的均值為0，第2組的均值為51，第3組的均值為66，第4組的均值為76，第5組的均值為91，結(jié)合平均數(shù)公式判斷可得出結(jié)論．【解答】（1）解：早睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)估計(jì)在第3組，晚睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)估計(jì)在第2組．（2）解：由題意可知，，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3，，，X的分布列為：X0123P；（3）解：這種說法不正確，理由如下：當(dāng)?shù)?組的均值為0，第2組的均值為51，第3組的均值為66，第4組的均值為76，第5組的均值為91，則睡眠指數(shù)的均值為0×0.001+51×0.111+66×0.346+76×0.486+91×0.056＜0+51×0.12+66×0.35+76×0.5+91×0.06＝72.68＜76．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（14分）已知函數(shù)f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的方程；（2）若函數(shù)f（x）在x＝0處取得極大值，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)f（x）存在最小值，直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）函數(shù)f（x）＝ex（ax2﹣x+1），f（0）＝1．通過求導(dǎo)可得f′（x），可得切線斜率f′（0），利用點(diǎn)斜式可得切線方程．（2）f′（x）＝xex（ax﹣1+2a），f′（0）＝0．通過對(duì)a分類討論，利用取得極大值的條件即可得出結(jié)論．（3）結(jié)合（2）可得：a≤0，或a≥時(shí)，f（x）不存在最小值．對(duì)0＜a＜時(shí)，x→﹣∞時(shí)，f（x）→0．x2是極小值點(diǎn)，．x2＞0．需要f（x2）＝f（）≤0，解得a的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝ex（ax2﹣x+1），f（0）＝1．f′（x）＝ex（ax2﹣x+1+2ax﹣1）＝ex（ax2﹣x+2ax），∴f′（0）＝0，∴曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的方程為y﹣1＝0．（2）f′（x）＝xex（ax﹣1+2a），f′（0）＝0．①若a＝0，則f′（x）＝﹣xex，x＜0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x＞0時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴0是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．②a≠0時(shí)，f′（x）＝axex（x﹣），令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝，下面對(duì)a分類討論：a＝時(shí)，f′（x）＝x2ex≥0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，舍去．a(chǎn)＞時(shí)，x2＜0，列出表格：x（﹣∞，x2）x2（x2，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增0為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，舍去．a(chǎn)＜0時(shí)，x2＜0，列出表格：x（﹣∞，x2）x2（x2，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減0為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，滿足題意．0＜a＜時(shí)，x2＞0，列出表格：列出表格：x（﹣∞，0）0（0，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增0為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，滿足題意．∴a的取值范圍是（﹣∞，）．（3）結(jié)合（2）：a≤0，或a≥時(shí)，f（x）不存在最小值．例如a＞或a＜0，0是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，且f（0）＝1．x→﹣∞時(shí)，f（x）→0，無最小值，舍去．0＜a＜時(shí)，x→﹣∞時(shí)，f（x）→0．x2是極小值點(diǎn)，x2＞0，滿足：a﹣x2+2ax2＝0，x2＝，需要f（x2）＝f（）＝（a﹣x2+1）＝（1﹣2ax2）＝[1﹣2（1﹣2a）]≤0，解得：0＜a≤．因此函數(shù)f（x）存在最小值，a的取值范圍是（0，]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．20．（15分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的下頂點(diǎn)A和右頂點(diǎn)B都在直線l1：y＝（x﹣2）上．（1）求橢圓方程及其離心率；（2）不經(jīng)過點(diǎn)B的直線l2：y＝kx+m交橢圓C于兩點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)P作x軸的垂線交l1于點(diǎn)D，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為E．若E，B，Q三點(diǎn)共線，求證：直線l2經(jīng)過定點(diǎn)．【分析】（1）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)后可求橢圓的方程和離心率；（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則可用此兩點(diǎn)坐標(biāo)表示E，根據(jù)三點(diǎn)共線可得x1y2+x2y1＝2（y1+y2）+x1x2﹣2（x1+x2）+4，利用點(diǎn)在直線可得（2k﹣1）x1x2+（m﹣2k+2）（x1+x2）﹣4m﹣4＝0，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達(dá)定理可得定點(diǎn)．【解答】（1）解：因?yàn)橄马旤c(diǎn)A和右頂點(diǎn)B都在直