函數(shù)的綜合問題

集合與函數(shù)概念

1.3函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.4函數(shù)的綜合問題1．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用．2．理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．3．會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)．基礎梳理1．分段函數(shù)是指在定義域的不同子集上解析式不同的函數(shù)，如函數(shù)f(x)＝就是一個簡單的分段函數(shù).在求分段函數(shù)的值f(x0)時，一定首先要判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代相應的解析式；分段函數(shù)的值域應是其定義域內(nèi)不同子集上各解析式的取值范圍的并集．2．奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反．3．抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題是函數(shù)內(nèi)容的難點之一，其性質(zhì)常常是隱而不漏，但一般情況下大多是以常見函數(shù)為背景，通過代數(shù)表述給出函數(shù)性質(zhì)．4．奇偶性與單調(diào)性的綜合是重點問題．例如：設f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，若x1＜0且x1＋x2＞0，則()A．f(－x1)＞f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)＜f(－x2)D．f(－x1)與f(－x2)大小不確定解析：x2＞－x1＞0，f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(－x1)＝f(x1)．又f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．答案：A思考應用1．有同學認為分段函數(shù)f(x)＝是兩個函數(shù)，這種看法正確嗎？解析：

這種看法不正確.盡管看起來分段函數(shù)由多個解析式構(gòu)成，但它實際上是一個函數(shù)，不是多個函數(shù)，它的圖象是唯一確定的，但圖象由多段組成的．處理分段函數(shù)的有關問題時，必須根據(jù)不同的區(qū)間來選擇相對應的函數(shù)解析式，這是解答分段函數(shù)問題的要點．2．設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，在區(qū)間[b,c)上也是增函數(shù)，能說函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,c)上是增函數(shù)嗎？解析：若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,c)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,c)上是增函數(shù)．否則，可能出現(xiàn)如圖情況，此時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,c)上不是增函數(shù)．3．我們知道，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．若函數(shù)f(x)的圖象既關于原點對稱，又關于y軸對稱，這樣的函數(shù)存在并且唯一嗎？解析：這樣的函數(shù)是存在的，如函數(shù)f(x)＝0.但并不唯一，如函數(shù)f(x)＝0(－1<x<1)，函數(shù)f(x)＝0(－2<x<2)等，這樣的函數(shù)在每個點處的函數(shù)值都是0，但定義域可以是關于原點對稱的任意一個數(shù)集．自測自評2．設函數(shù)f(x)對任意x、y滿足：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，則f(－1)的值為()A．－2B．±C．±1D．23．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(2)＝0，則使f(x)<0的x的取值范圍是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)A

D

求分段函數(shù)的解析式如下圖，直角梯形OABC位于直線x＝t(0≤t≤5)右側(cè)的圖形的面積為f(t)，試求函數(shù)f(t)的解析式．跟蹤訓練1．某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()解析：法一：特殊取值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，選B.法二：設x＝10m＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6時，答案：B根據(jù)遷分段兔函數(shù)躍求值漿或求謠范圍設集博合A＝西函數(shù)f(x)＝持，若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，則x0的取敵值范悶圍是()點評距：與分蜂段函乏數(shù)結(jié)湯合考富查簡逗單不推等式捎的求偶解等夢問題致是高瘡考命崇題的顆一個欺方向漸，這平種題崖型具墊有一海定的帥難度襯，值徐得同這學們敲注意嫁．處血理要濟點是汁將分脖段函咸數(shù)的羊解析秧式適誤當?shù)呢敺湃肜瓕獦?gòu)的不祥等式諸中．跟蹤卡訓練2．已幣知函沙數(shù).其中f1(x)＝＋1，f2(x)＝－2x＋2.若x0∈，x1＝f(x0)，f(x1)＝x0，求x0的值研究棚抽象還函數(shù)展的性棋質(zhì)設f(x)定義豎于實蓄數(shù)集構(gòu)上，捧當x＞0時，f(x)＞1，且伐對于孟任意狀實數(shù)x、y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，求排證：f(x)在R上為襲增函許數(shù)．證明市：由f(x＋y)＝f(x)·f(y)中取x＝y(tǒng)＝0，得f(0燈)＝f2(0機)，若f(0岔)＝0，令x＞0，y＝0，則f(x)＝0，與f(x)＞1矛盾任．∴f(0覽)≠0，即手有f(0迎)＝1.當x＞0時，f(x)＞1＞0，當x＜0時，席－x＞0，f(－x)＞1＞0，而f(x)·f(－x)＝f(0字)＝1，∴f(x)＝座＞0熊.又當x＝0時，f(0深)＝1＞0，∴x∈R，f(x)＞0.設賄－∞＜x1＜x2＜＋∞，則x2－x1＞0，f(x2－x1)＞1.∴f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)f(x2－x1)＞f(x1)．∴y＝f(x)在R上為個增函據(jù)數(shù)．點評貍：抽象巷函數(shù)加所滿洞足的填關系月式，命應看優(yōu)作給短定的格運算睬法則詢，而地變量烘的賦屢值或著變量葵及數(shù)扇值的晌分解艦與組召合都快應盡怖量與呀已知婚式或腹所給余關系秩式及東所求擦的結(jié)忘果相炊關聯(lián)攔．跟蹤榜訓練3．已總知函匹數(shù)f(x)(x∈R，x≠0)對任握意不麗等于易零實謎數(shù)x1、x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，試軟判斷垂函數(shù)f(x)的奇贈偶性布．解析伶：取x1＝－1，x2＝1得：f(－1)＝f(－1)＋f(1碰)，∴f(1予)＝0.又取x1＝x2＝－1得：f(1屬)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0.再取x1＝x，x2＝－1則有f(－x)＝f(x)＋f(－1)，即f(－x)＝f(x)，∵f(x)的定耀義域判關于洽原點觀對稱券，∴f(x)為偶壤函數(shù)航．一、泥選擇捧填空蛛題1．如嗓果f(x)是定癢義在R上的花偶函牙數(shù)，唉它在[0，＋∞)上是防減函態(tài)數(shù)，劉那么煎下述榆式子種中正滋確的美是()B2．已橫知定奶義在R上的麗奇函暴數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6剃)的值滴為()A．－1B．0C．1掌D．2解析俗：∵f(x)為R上奇廁函數(shù)凈，∴f(0穗)＝0.∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(6播)＝f(4＋2)＝－f(4傾)＝－f(2＋2)＝f(2在)＝－f(0吳)＝0.答案伸：B1．函數(shù)展是數(shù)竭學的覺核心舌內(nèi)容旋，構(gòu)細造函態(tài)數(shù)是其應用壁函數(shù)熟知識皺的關錢鍵，雷大多陸數(shù)函橡數(shù)均塞可找迷到函幅數(shù)表鍵達式店．2．函炕數(shù)的學定義價域是拍函數(shù)嫌的第苦一要喬素，頌一般杏研究汗任何譜函數(shù)州從研掙究定椅義域起開始筆，最簡終結(jié)確果也淋要符霞合定搬義域寨的要沸求，集實際姨問題昆中定策義域蠅要根席據(jù)實袋際情楚況確舒定．3．大黑多數(shù)布函數(shù)纏均要寸考察當函數(shù)肌的