結構力學穩(wěn)定計算

結構力學（2）第16章結構的穩(wěn)定計算結構設計應滿足三方面的要求

1、強度

2、剛度

3、穩(wěn)定性(受壓結構，失穩(wěn)時結構計算已經不是在原結構上，而是在變形后的結構形狀上，此謂幾何非線性)薄細構件高強度構件容易失穩(wěn)，需要穩(wěn)定性驗算。基本概念

1、失穩(wěn)（instability）：當荷載超過某一數值時，體系由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)，而喪失原始平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也稱屈曲（buckling）。原先受壓的構件突然發(fā)生彎曲變形，或與受力方向垂直的變形現象2、臨界狀態(tài)：由穩(wěn)定平衡狀態(tài)過度到不穩(wěn)定狀態(tài)的中間狀態(tài)（中性平衡狀態(tài)）。3、臨界荷載：臨界狀態(tài)時相應的荷載。16-1穩(wěn)定問題概述線性非線性非線性(疊加原理不成立)線性(疊加原理成立)原狀態(tài)干擾狀態(tài)取消干擾后的狀態(tài)由于取消干擾后結構可以恢復原狀,所以原狀態(tài)為穩(wěn)定狀態(tài)原狀態(tài)干擾狀態(tài)由于取消干擾后結構無法恢復原狀,所以原狀態(tài)為不穩(wěn)定狀態(tài)取消干擾后的狀態(tài)臨界狀態(tài)兩類失穩(wěn)現象兩種理論分析方法大撓度分析法:考慮大的變形及變形對幾何形狀的影響小撓度分析法:只考慮微小的變形，不考慮變形對幾何形狀的影響，用近似公式計算位移1.完善體系分支點失穩(wěn)2.非完善體系極值點失穩(wěn)3.躍越失穩(wěn)16.2兩類穩(wěn)定問題計算結構失穩(wěn)的兩種基本形式

1、第一類失穩(wěn)（完善體系分支點失穩(wěn)）：結構變形產生了性質上的突變，帶有突然性。Δl/2P>Pcrl(b)彎曲平衡狀態(tài)P2POP1D（c）荷載—位移曲線（P—Δ

曲線）ΔPcrD'CABP(a)直線平衡狀態(tài)l分支點新平衡臨界荷載臨界狀態(tài)小撓度理論大撓度理論(a)偏心受壓桿ΔPePPPOPcr(b)荷載——位移曲線（P—Δ

曲線）ΔPcrCAB2、第二類失穩(wěn)（非完善體系極值點失穩(wěn)）：雖不出現新的變形形式，但結構原來的變形將增大或材料的應力超過其許可值，結構不能正常工作。小撓度理論臨界荷載大撓度理論3.躍越失穩(wěn)1.平衡路徑之前沒有分支點，則體系的狀態(tài)為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。2.平衡路徑之前有分支點，荷載隨位移增大而增大，則體系的狀態(tài)為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。否則體系處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。彈性靜穩(wěn)定平衡的條件完善體系體系處于荷載隨位移增大而增大的狀態(tài)，荷載與位移一一對應，則平衡狀態(tài)為穩(wěn)定衡平狀態(tài)。否則體系處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。非完善體系ΔMA=kθθABPcrxxyyEIPcrBxkΔlyxyΔEIMA=kθθAPcrxyyRBEIyθPcrBxkΔΔAEI無限自由度體系單自由度體系穩(wěn)定問題的自由度：與動力問題相似，確定體系變形狀態(tài)所需要的獨立幾何參數（一般指的是位移,并垂直于力的方向）的數目小撓度理論與大撓度理論的位移計算差異大撓度理論小撓度理論大撓度理論小撓度理論完善體系大撓度理論分析非完善體系大撓度理論分析1.

分支點失穩(wěn)例：圖16-63.

極值點失穩(wěn)完善體系小撓度理論分析非完善體系小撓度理論分析2.

分支點失穩(wěn)4.

極值點失穩(wěn)例：圖16-7例：圖16-9(a)例：圖16-10彈性穩(wěn)定問題的6種情況5.

穩(wěn)定平衡6.

穩(wěn)定平衡單自由度完善體系的分支點失穩(wěn)yθFpBxkΔΔAEI無窮大彈簧的反力

臨界荷載：代入：1.按大撓度理論分支后兩條平衡路徑：

1.

θ=0，Fp為任意值(不穩(wěn)定)

2.

θ>0，Fp=klcosθ(不穩(wěn)定)達到臨界荷載時，位移不斷增大而承載力反而減小，所以位移增大的路徑是不穩(wěn)定的。結論：紅蘭兩條路徑均不穩(wěn)定2.按小撓度理論考慮在小變形情況下，取sinθ=θ、cosθ=1，彈簧的反力臨界荷載（分支點）yθFpBxkΔΔAEI無窮大單自由度完善體系的分支點失穩(wěn)上式可寫為分支后兩條平衡路徑：

1.

θ=0，Fp為任意值(不穩(wěn)定)

2.

θ>0，Fp=kl(隨遇平衡)達到臨界荷載時，位移不斷增大而承載力不增大，所以位移增大的路徑是不穩(wěn)定的。結論：紅蘭兩條路徑均不穩(wěn)定單自由度非完善體系的極值點失穩(wěn)彈簧的反力

極值（臨界）荷載：所以：求極值3.按大撓度理論yθFpBxFRB=kΔΔAEI無窮大εε=0ε=0.01ε=0.1ε=0.2臨界露荷載(極值桂點)和初埋位移e有關單自由列度非完褲善體什系的極通值點拘失穩(wěn)3.按大僑撓度洞理論極值季點之椅后，豈位移悔增大慮而承呀載力初反而算減小擠，所沉以位叔移增梯大的粱過程另是不圣穩(wěn)定啟的4.按小菊撓度礙理論臨界北（極拔值）荷載傘：單自由養(yǎng)度非完集善體退系的極脫值點盛失穩(wěn)yθFpBxkΔΔAEI無窮大εε=難0.毅02ε=除0.是01臨界害（極少值）荷載恐：臨界貨荷載(極值洽點)和初碗位移e無關4.按小咬撓度層理論單自由劃度非完裙善體槍系的極謹值點乞失穩(wěn)接近極臨界顧荷載啦時，爬位移端不斷虎增大學而承粗載力漢幾乎捐不增轎大，斤所以訊位移隱增大釀的過男程是病不穩(wěn)箭定的ΔMAB=kθABFpxlyθ平衡仰方程單自由獎度完善體系的穩(wěn)準定問陸題5.按大受撓度帥理論代入鎖得分支浪點Fpc詢r=k/lθ分支危點Fpc孟r=k/l分支奸后兩認條平閥衡路標徑：1.θ=0，Fp為任婦意值(不穩(wěn)勿定)2.θ>0邁,分支奶后，蒸承載壺力隨舒位移眉增大眠而增幼大。旬在材銜料應夠變容朵許范叉圍內連，不男存在補極值幅，所寇以位盲移增同大的套過程別是穩(wěn)泳定的牧。最慶大荷哀載可選超過哲分支狂臨界宅荷載掛。ΔMAB=kθABFpxlyθ5.按大捏撓度朋理論平衡呈方程單自脊由度非完月善體拘系的穩(wěn)喂定問珠題6.按大寬撓度照理論代入齡得ΔMAB=kθABFpxlyθeθε=岸0.膽05ε=末0.腎01承載進力隨笛位移問增大黎而增稍大。攪在材謠料極揀限應荷變容診許范類圍內誤，不筒存在廳極值依，所霸以位率移增料大的柿過程皆是穩(wěn)洽定的蕩。因譜此對于寧該種許體系漲，如叨采用密大撓裁度理爹論，界不存筒在臨胳界荷采載的過理論叼值?？偨Y完善借體系激失穩(wěn)——分支覆點失窯穩(wěn)非完扔善體程系失光穩(wěn)——極值詳點失席穩(wěn)分支村點失登穩(wěn)形式怪的特利征為卷：存罪在不萬同平舟衡路博徑的饑交叉已，交享叉點么處出療現平營衡的稠兩重庸性。極值垮點失斃穩(wěn)形式鉛的特拖征為恒：只德存在曠一個江平衡回路徑被，但福在平尼衡路削徑上鬼存在調極值嗓。大撓窯度理誓論可得迎精確夢解，小撓為度理伶論能得宰到分珍支點域的解龜，但色路徑池不正腳確。對于趴完善炒體系死的分軟支點抽失穩(wěn)脊，無廁論采數用小唇撓度珠理論下，還姿是大角撓度花理論擺，所惜得臨工界荷慰載值嚷是相記同的殃。1、靜力榜法計算蹄思路假定銳體系組處于鋪微變滲形的跌臨界國狀態(tài)，列搞出相逆應的平呢衡方程，釘進而眨求解臨界野荷載敘。計算散步驟（1）確幸定基建本未耕知位抓移，協(xié)取隔斜離體禁、建碎立靜垮力平畝衡方顫程。（2）建滑立平答衡方枕程中濃位移稼有非0解條害件的斃穩(wěn)定方程(特征孔方程)。（3）求斷解穩(wěn)穿定方螺程的朗臨界床荷載械。（4）求補解穩(wěn)豈定方岡程的斬特征懼向量,繪失竟穩(wěn)形準式圖(bu減ck硬li呢ng遠m唱od館e)。16教.3有限臨自由文度體棄系的晚穩(wěn)定—靜力統(tǒng)法討論分支癥點失吸穩(wěn)問題切，按小撓牛度理臺論求臨鉤界荷西載平衡旱方程苗：單自考由度牲體系瓦靜力土法求臨閃界荷渾載（P2板16）q有非0解的框條件代入澆得：臨界越荷載見：問題夸：荷渡載大喘于臨稅界荷月載時蝕角位但移也糠只有0解ΔMAB=kθABFpxlyθ解：設恥轉角q，位習移D=lq單自堡由度谷體系鼻靜力敏法求臨積界荷金載例平衡南方程醒：臨界升荷載代入娃得ΔSABθACFplyθ結點B投影鋸平衡摘方程結點C投影丟平衡挨方程例題16例-1雙自享由度浴體系唉靜力全法求網臨界鈴荷載隔離彩體解法2：（解糞法1詳見P2參18）設B,跳C點的高豎向腸位移潑為y1，y2投影佩平衡霧方程:例題16橡-1矩陣嗎表達沾式:平衡克方程服有非0解條潤件：像滿足蓋穩(wěn)定剃方程(特征方程)解得藝：壓彎蘿剛度等矩陣幾何范剛度地矩陣將逐代入姓平衡腐方程伐得無幟窮多用個解破：位移依有無狐窮多剪個解跡，該狀們態(tài)下的冷體系冶為臨赴界平嗎衡狀拖態(tài)例題16五-1例題16伐-1雙自臨由度灑體系復靜力縮慧法求糞臨界羅荷載解法3：設B，C點的勉豎向鋪位移犧為y1，y2.客A，B，C，D支座呆豎向退反力安為取隔此離體脹，得A，B支座喝反力由以鮮上得俘平衡云方程：平衡炎方程謎有非0解條良件：竹滿足片穩(wěn)定爪方程(特征方程)解得塑：位移觀有無址窮多新個解瓣，該狀命態(tài)下的樹體系策為臨灣界平俘衡狀完態(tài)問題能：荷苦載大冶于臨宮界荷蚊載時沒位移y1,y2也只條有0解靜力循法存在在多裁種解悔法，啄靈活印多變秧，有截利于務處理氏簡單公計算型。但肢靜力孕法缺劣乏規(guī)關律性異，很守難建辰立具必有明醋確物憲理意耕義的決方程慰，因弄此不息適用亦于處蹈理復訊雜問緊題的轟程序供化計增算。Ep=Ve+Vp:總勢妄能to錦ta屢l途po描te廁nt占ia似len脅er泡gyVe:應變芹能st共ra嘴inen延er挪gyVp:荷載壤勢能=-外力憶作功ex濤te遮rn堅al致w印or智k總勢閃能是扶位移(或與座位移爐有關怕的基朵本未頭知量)的2次函凱數，總勢隸能駐觸值的為條件為：炎總勢璃能對諷所有久的位螺移求待導的辛結果嘉為0。若甚有n各位于移基井本未邪知量ai,則總勢溉能駐懼值原遵理(st舞at妨io至na鑰rypr屢in洋ci先pl污e掌ofto降ta磚l雄po但te些nt喂ia核l伙en孔er刷gy)體系瞎靜穩(wěn)躬定平孤衡條滾件：1.總勢煉能為夜駐值(靜力懶平衡)2.駐值賴為極擊小值湯（穩(wěn)居定）16鍛.3有限俱自由濟度體幼系的虎穩(wěn)定—能量博法體系令應變冊能：荷載巴勢能挽：體系駛總勢性能：1.總勢迅能為遺駐值(靜力鈴平衡)穩(wěn)定慌體系嶼的靜輝平衡康問題(單自贈由度)滿足豬總勢替能駐良值原貌理的服兩個斷條件,所以噸位移為靜器力平乳衡位憲移2.駐值訂為極結小值?。ǚ€(wěn)聯定）滿足半第一股條件,則體帶系處營于靜天力平燦衡狀羨態(tài)（1）穩(wěn)定平脊衡狀井態(tài)：滿奪足第輸一條稍件,又滿天足第孫二條跨件位移乳變化陶則總劈燕勢能紫增加,所以剝體系愛穩(wěn)定.（2）不穩(wěn)呀定平裙衡狀產態(tài)：滿請足第歇一條別件，斬不滿挽足第邀二條姻件。位移爸增加醫(yī)總勢虧能反讀而減咸少,所以儀體系清不穩(wěn)鞋定（3）中性肚平衡爹狀態(tài)(臨界些狀態(tài))：滿俗足第歐一條震件,又滿眾足第反二條可件。但位脹移變涂化而倘總勢至能不慢變(恒為0),所以性體系拌處于白臨界矮狀態(tài)總勢加能駐痰值原擺理（P2登17）體系擱靜穩(wěn)陵定平點衡條司件：1.基本泡未知裝位移援為0時，固總勢齊能為撒駐值(0頁)2.駐值異為極慕小值靜力參平衡想有三患種狀與態(tài)荷載桑勢能：彈簧鹿應變腸能：B點豎晶向位淹移能量掙法計蛛算臨箭界荷花載(單自秧由度雞體系)總勢能：ΔMAB=kθABFpxlyθ臨界撤荷載當q=0，總鏈勢能Ep為駐寄值，滿足擴第一雜條件,平衡當q=0，溉，駐撥值為克極小供值，滿足第春二條績件,穩(wěn)定隊平衡當q=0，，駐值握為極大暮值，不滿符足第二樸條件,不穩(wěn)撕定平話衡當q=0，省，Ep=0,臨界療穩(wěn)定喜平衡例題16貨-1雙自攝由度緣瑞體系救能量澇法求太臨界融荷載（P2閥18）體系限應變酷能：荷載桂勢能金：解：設B,源C點的政豎向鼠位移就為y1，y2線性螺代數績學基絨礎復甜習-齊次2次式咬的矩匆陣表江達式例題16蹈-1（P2瞎18）體系欄總勢能：總勢哲能駐昌值條歪件平衡先方程慰矩陣旨表達譽式[K]:壓彎鋪剛度迷矩陣[S]:幾何面剛度蛛矩陣{y}:位移幸向量齊次2次式表示賣法（P1懼05）{y傍}不等浩于{0}的條釀件：夢穩(wěn)定緣瑞方程我（特少征方蜂程）即例題16距-1雙自簽由度腸體系撈能量您法解得溪兩個獅特征邊值：平衡思方程討：其中敵最小雄特征如值為退臨界量荷載將勸代豪入平緊衡方恒程[P練22銅0式(g勞)]得無適窮多雨個解義：代入固總勢虧能方喇程[P右22智0式(a應)]得：（P2趣19圖16凡-1都4a）將悟代入抄平衡味方程[P蹦22圣0式(g射)]得無炮窮多梁個解伸：代入挽總勢況能方聚程[P料22蛇0式(a榨)]得：（P2測19圖16懲-1鼓4b）當荷旬載達終到特驚征值遇時，肺位移肥有無強窮多舅個解洪，只響要位思移滿浮足特捏征向桃量比比值，即便齒位移悼無窮云大，省總勢繩能恒撞為0。y1=角-y2EPFp<1忙00:穩(wěn)定賺平衡梨狀態(tài)(總勢鉛能正定)Fp=1業(yè)00:臨界汁狀態(tài)(總勢漂能半正倒定)Fp>1練00:不穩(wěn)湖定平快衡狀壇態(tài)(總勢莫能不定)總勢銹能與綢位移詞的關園系曲河線當荷俗載小于特征寸值10責0時，去總勢忍能駐摧值為洋極小像值，監(jiān)位移竿增大茂總勢向能也趴增大，體系殃處于穩(wěn)定取平衡狀態(tài)艱。當荷象載大于特征達值10躬0時，聰總勢符能駐史值為棄極大悲值，墾位移餡增大禾總勢襲能反沈而減錫小，體系央處于不穩(wěn)籮定平虛衡狀態(tài)恐。當荷并載等于特征轟值10皮0時，趁位移歌增大丸而總林勢能練不變禽（恒片為0），逢體系腹處于臨界狀態(tài)壇。Fp<1恢00，正墊定(全凹)Fp=10貌0，半正柿定(臨界驕全凹)10央0<Fp<300不定(半凹凸)Fp=300，半負吳定(臨界漲全凸)Fp>300，負膽定(全凸)求單自裳由度偉體系臨界督荷載(1捉)求應倘變能Ve(2商)求荷喉載勢能Vp(3完)令總披勢能Ep=Ve+Vp=0求臨趴界荷唐載能量丑法計拒算臨暴界荷沃載求多自匆由度旨體系臨界緞荷載(1毀)求應疏變能Ve，壓顛彎剛聽度矩蔽陣[K](2勿)求荷密載勢能Vp，幾墾何剛核度矩綁陣[S](3寇)列平緒衡方蘭程，祝代入刪特征必方程工求特滑征值民，最愧小特冬征值鋒為臨閘界荷刷載(4)將臨盞界荷叨載帶僅入平沸衡方晨程求織特征都向量持，確定鞠失穩(wěn)猾變形送形式(bu項ck黨li熊ng伏m硬od衫e)。特征瞞方程平衡寄方程(1析)應變能：(2毛)荷載擊勢能：(3朝)體系鉆總勢能：臨界谷荷載習題.單自宵由度早體系肚能量尚法求臨菜界荷鐵載解：設角認位移q應變能：習題-雙自本由度四體系維能量例法(1另)壓彎芬剛度醫(yī)矩陣剩：解：慕如右衰圖所褲示，像設橫捏向位鳳移為D1，D2荷載宋勢能里：(2伴)幾何瀉剛度仇矩陣愧：總勢能：勢能貴駐值牽條件宴：平衡候方程苦：(3逼)穩(wěn)定林方程：(或特鞭征方懷程)代入席解得棄特征虜值（幸最小坑特征殖值是籮臨界權荷載仿）Bu途ck憐li論ng吧m拌od森e(4逮)特征守向量能量員法求盛三自柏由度逃體系漁臨界絞荷載應變悶能：(1索)壓彎樓剛度廢矩陣吼：解：織設B,持C,斑D點的爆豎向堪位移女為D1，D2,D3荷載橡勢能無：(2熄)幾何柔剛度犧矩陣揪：總勢能：勢能業(yè)駐值靈條件：平衡寨方程斑：(3翠)穩(wěn)定稠方程：(或特腫征方呼程)代入憑后，交用Ja使ko費bi法解等得特活征值銹（最匙小特里征值吹是臨仁界荷舉載）Bu漂ck裳li兇ng記m先od線e:(4態(tài))特征緩向量劣：能量司法求剩七自足由度資體系碰臨界莫荷載應變鳳能：解：月設B,活C,五D，E，F，G，H點的既豎向究位移殃為D1，D2,D3,D4,D5,D6,D7荷載芒勢能么：總勢能：平衡催方程淚：特征艦矩陣對角攔化1、解議題思渾路先對很變形政狀態(tài)孝建立醫(yī)平衡患方程驚，然隱后根油據平益衡形短式的流二重來性建宰立特鋸征方線程，拆最后吳由特曉征方廚程求談出臨角界荷哭載。2、步源驟（1）取公隔離村體建艷立靜市力平衡體方程(2階微關分方西程)。（2）求烤解微匙分方價程,得撓隱曲線疼方程偵通解（3）將侵邊界懸條件元代入吹撓曲庸線方型程得賭基本栽未知靜量方帆程確定醉穩(wěn)定方程(特征頑方程)。（4）求縣解穩(wěn)幣定方裹程中暢的臨五界荷救載(特征權值)。（5）求繩解基校本未可知量境方程循中的蛙特征衰向量障，確胃定撓巨曲線歐方程,繪失勞穩(wěn)形寒式圖(bu腔ck患li隔ng模m燭od猛e)。16僚.4無限舅自由趁度